双曲线的性质知识讲解.docx
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双曲线的性质知识讲解
双曲线的性质
【学习目标】
1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.
2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.
3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.
【要点梳理】
要点一、双曲线的简单几何性质
双曲线
（a＞0，b＞0）的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a.
对称性
对于双曲线标准方程
（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线
（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线
（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为
A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作
。
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率
。
由c2=a2+b2，可得
，所以
决定双曲线的开口大小，
越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。
所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线
，所以离心率
。
渐近线
经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是
。
我们把直线
叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴
实轴长=
，虚轴长=
离心率
渐近线方程
要点诠释：
双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：
看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
要点三、双曲线的渐近线
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为
，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为
，则可设双曲线方程为
，根据已知条件，求出
即可。
（3）与双曲线
有公共渐近线的双曲线
与双曲线
有公共渐近线的双曲线方程可设为
（
，焦点在
轴上，
，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为
，因此等轴双曲线可设为
.
要点四、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：
c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。
双曲线
，如图：
（1）实轴长
，虚轴长
焦距
，
（2）离心率：
；
（3）顶点到焦点的距离：
，
；
（4）
中结合定义
与余弦定理，将有关线段
、
、
和角结合起来.
（5）与焦点三角形
有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式
相结合的方法进行计算与解题，将有关线段
、
、
，有关角
结合起来，建立
、
之间的关系.
【典型例题】
类型一：
双曲线的简单几何性质
例1．求双曲线
的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.
【解析】把方程化为标准方程
，由此可知实半轴长
，虚半轴长
，∴
∴双曲线的实轴长
，虚轴长
，顶点坐标
，焦点坐标
，
离心率
，渐近线方程为
【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示.
举一反三：
【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（ ）
A．
B．－4C．4D.
【答案】A
【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为
，则k的值等于（）
A．－2B．1C．－1D．
【答案】C
例2．方程
表示双曲线，求实数m的取值范围。
【解析】由题意得
或
或
。
∴实数m的取值范围为
。
【总结升华】方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号。
举一反三：
【变式1】求双曲线
的焦距。
【答案】8
【变式2】设双曲线
的渐近线方程为
，则
的值为
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【变式3】双曲线
的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝_______________．
【答案】
∵OABC是正方形，∴∠AOB＝45°，
即直线OA方程为y＝x，此为双曲线的渐近线，因此a=b，又由题意
，
∴
．故填2．
类型二：
双曲线的渐近线
例3.根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线
有共同的渐近线，且过点
；
（2）一渐近线方程为
，且双曲线过点
【解析】
（1）解法一：
当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为
由题意，得
，解得
，
所以双曲线的方程为
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为
由题意，得
，解得
，
（舍去）
综上所得，双曲线的方程为
解法二：
设所求双曲线方程为
（
），
将点
代入得
，
所以双曲线方程为
即
（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是
.
故设双曲线方程为
，
∵点
在双曲线上，
∴
，解得
，
∴所求双曲线方程为
.
【总结升华】求双曲线的方程，关键是求
、
，在解题过程中应熟悉各元素（
、
、
、
及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。
若已知双曲线的渐近线方程
，可设双曲线方程为
（
）.
举一反三：
【变式1】中心在原点，一个焦点在（0,3），一条渐近线为
的双曲线方程是（）
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【变式2】（2015春黑龙江期末）与双曲线
有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设双曲线方程为
，
因为双曲线过点（2,2），所以k=3,故选B。
【变式3】设双曲线
的渐近线方程为
，则
的值为
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【变式4】双曲线
与
有相同的（）
A．实轴B．焦点C．渐近线D．以上都不对
【答案】C
类型三：
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
例4.已知
是双曲线
的左、右焦点,过
且垂直于
轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若
是正三角形,求双曲线的离心率。
【解析】∵
，
是正三角形，
∴
，
∴
，
∴
【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式，从而求出
举一反三：
【变式1】
（1）已知双曲线
的离心率
，
过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为
，求双曲线的方程.
（2）求过点（-1,3），且和双曲线
有共同渐近线的双曲线方程.
【答案】
（1）
（2）
【变式2】已知双曲线
=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为（0,b），且AB⊥BF，则双曲线的离心率为（）
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【变式3】（2015山东文）过双曲线
（a＞0,b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .
【答案】
【解析】双曲线
的右焦点为（c，0）.不妨设所作直线与双曲线的渐近线
平行，其方程为
，代入
求得点P的横坐标为
，由
，得
，解之得
（舍去，因为离心率
），故双曲线的离心率为
.
例5.已知双曲线
（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．
【解析】由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得：
|PF2|＝
，又|PF2|≥c－a，
所以
，
，
∴
，即e的最大值为
.
【总结升华】离心率的取值范围和最值问题关键是要找到双曲线几何量的不等关系；如定义、韦达定理等；从而求出e的范围.
举一反三：
【变式1】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．1－2B．1C．1【答案】D
【变式2】已知过双曲线
右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
【答案】 （1，
）
类型五：
双曲线的焦点三角形
例6．若F1，F2是双曲线
的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
【解析】 由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，所以c＝5.
由双曲线的定义得，
||PF1|－|PF2||＝2a＝6.
上式两边平方得，
|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝100，
由余弦定理得，
，
所以∠F1PF2＝90°.
【总结升华】 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．
举一反三：
【变式】已知双曲线
，P为双曲线上一点，
是双曲线的两个焦点，并且
，求
的面积。
【答案】
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