八年级上册数学全册教学案.docx
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八年级上册数学全册教学案
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14.1.4多项式除以单项式
一、学习目标:
1.多项式除以单项式的运算法则及其应用.
2.多项式除以单项式的运算算理.
二、重点难点:
重 点:
多项式除以单项式的运算法则及其应用
难 点:
探索多项式与单项式相除的运算法则的过程
三、合作学习:
回顾单项式除以单项式法则
学生动手,探究新课
.
计算下列各式:
÷m
÷a
÷2xy.
2.
提问:
①说说你是怎样计算的
②还有什么发现吗?
总结法则
.
多项式除以单项式:
先把这个多项式的每一项除以___________,再把所得的商______
2.
本质:
把多项式除以单项式转化成______________
四、精讲精练
例:
÷3a;
÷;
[2-y-8x]÷2x
(4)÷(-2ab2)
随堂练习:
教科书练习
五、小结
、单项式的除法法则
2、应用单项式除法法则应注意:
A、系数先相除,把所得的结果作为商的系数,运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号
B、把同底数幂相除,所得结果作为商的因式,由于目前只研究整除的情况,所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数;
c、被除式单独有的字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏;
D、要注意运算顺序,有乘方要先做乘方,有括号先算括号里的,同级运算从左到右的顺序进行.
E、多项式除以单项式法则
第三十四学时:
14.2.1
平方差公式
一、学习目标:
1.经历探索平方差公式的过程.
2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.
二、重点难点
重 点:
平方差公式的推导和应用
难 点:
理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式.
三、合作学习
你能用简便方法计算下列各题吗?
(1)XX×1999
(2)998×1002
导入新课:
计算下列多项式的积.
(1)(x+1)(x-1)
(2)(m+2)(m-2)
(3)(2x+1)(2x-1)
(4)(x+5y)(x-5y)
结论:
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
即:
(a+b)(a-b)=a2-b2
四、精讲精练
例1:
运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2)
(2)(b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y)
例2:
计算:
(1)102×98
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
随堂练习
计算:
(1)(a+b)(-b+a)
(2)(-a-b)(a-b)
(3)(3a+2b)(3a-2b)
(4)(a5-b2)(a5+b2)(5)(a+2b+2c)(a+2b-2c)(6)(a-b)(a+b)(a2+b2)
五、小结:
(a+b)(a-b)=a2-b2
第三十五学时:
4.2.2.
完全平方公式
(一)
一、学习目标:
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何解释.
二、重点难点:
重 点:
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用
难 点:
理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算
三、合作学习
Ⅰ.提出问题,创设情境
一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块塘,…
(1)第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?
(2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?
(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖?
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?
多多少?
为什么?
Ⅱ.导入新课
计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______;
(2)(m+2)2=_______;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________;(4)(m-2)2=________;
(5)(a+b)2=________;(6)(a-b)2=________.
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)这两个数的积的二倍的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
四、精讲精练
例1、应用完全平方公式计算:
(1)(4m+n)2
(2)(y-)2
(3)(-a-b)2
(4)(b-a)2
例2、用完全平方公式计算:
(1)1022
(2)992
随堂练习
第三十六学时:
14.2.2
完全平方公式
(二)
一、学习目标:
1.添括号法则.
2.利用添括号法则灵活应用完全平方公式
二、重点难点
重 点:
理解添括号法则,进一步熟悉乘法公式的合理利用
难 点:
在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的.
三、合作学习
Ⅰ.提出问题,创设情境
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则.
(1)4+(5+2)
(2)4-(5+2)
(3)a+(b+c)
(4)a-(b-c)
去括号法则:
去括号时,如果括号前是正号,去掉括号后,括号里的每一项都不变号;
如果括号前是负号,去掉括号后,括号里的各项都要变号。
.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1)a+b-c=a+(
)
(2)a-b+c=a-(
)
(3)a-b-c=a-(
)
(4)a+b+c=a-(
)
2.判断下列运算是否正确.
(1)2a-b-=2a-(b-)
(2)m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b)
(3)2x-3y+2=-(2x+3y-2)
(4)a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)
添括号法则:
添上一个正括号,扩到括号里的不变号,添上一个负括号,扩到括号里的要变号。
五、精讲精练
例:
运用乘法公式计算
(1)(x+2y-3)(x-2y+3)
(2)(a+b+c)2
(3)(x+3)2-x2
(4)(x+5)2-(x-2)(x-3)
随堂练习:
教科书练习
五、小结:
去括号法则
六、作业:
教科书习题
第三十七学时:
14.3.1用提公因式法分解因式
一、学习目标:
让学生了解多项式公因式的意义,初步会用提公因式法分解因式
二、重点难点
重 点:
能观察出多项式的公因式,并根据分配律把公因式提出来
难 点:
让学生识别多项式的公因式.
三、合作学习:
公因式与提公因式法分解因式的概念.
三个矩形的长分别为a、b、c,宽都是m,则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m
既ma+mb+mc=m(a+b+c)
由上式可知,把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c),作为多项式ma+mb+mc的另一个因式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
四、精讲精练
例1、将下列各式分解因式:
(1)3x+6;
(2)7x2-21x;(3)8a3b2-12ab3c+abc(4)-24x3-12x2+28x.
例2把下列各式分解因式:
(1)a(x-y)+b(y-x);
(2)6(m-n)3-12(n-m)2.
(3)a(x-3)+2b(x-3)
通过刚才的练习,下面大家互相交流,总结出找公因式的一般步骤.
首先找各项系数的____________________,如8和12的最大公约数是4.
其次找各项中含有的相同的字母,如(3)中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最___________的.
课堂练习
.写出下列多项式各项的公因式.
(1)ma+mb
2)4kx-8ky
(3)5y3+20y2
(4)a2b-2ab2+ab
2.把下列各式分解因式
(1)8x-72
(2)a2b-5ab
(3)4m3-6m2
(4)a2b-5ab+9b
(5)(p-q)2+(q-p)3
(6)3m(x-y)-2(y-x)2
五、小结:
总结出找公因式的一般步骤.:
首先找各项系数的大公约数,
其次找各项中含有的相同的字母,相同字母的指数取次数最小的.
注意:
(a-b)2=(b-a)2
六、作业1、教科书习题
2、已知2x-y=1/3,xy=2,求2x4y3-x3y4
3、(-2)XX+(-2)XX
4、已知a-2b=2,,4-5b=6,求3a(a-2b)2-5(2b-a)3
第三十八学时:
14.3.2
用“平方差公式”分解因式
一、学习目标:
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;
2.使学生掌握用平方差公式分解因式
二、重点难点
重 点:
掌握运用平方差公式分解因式.
难 点:
将单项式化为平方形式,再用平方差公式分解因式;
学习方法:
归纳、概括、总结
三、合作学习
创设问题情境,引入新课
在前两学时中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即在一个多项式中,若各项都含有相同的因式,即公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项,不具备相同的因式,是否就不能分解因式了呢?
当然不是,只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本学时我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
1.请看乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(1)
左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是
a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)
左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否是因式分解?
利用平方差公式进行的因式分解,第
(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
a2-b2=(a+b)(a-b)
2.公式讲解
如x2-16
=(x)2-42
=(x+4)(x-4).
9m2-4n2
=(3m)2-(2n)2
=(3m+2n)(3m-2n)
四、精讲精练
例1、把下列各式分解因式:
(1)25-16x2;
(2)9a2-b2.
例2、把下列各式分解因式:
(1)9(m+n)2-(m-n)2;
(2)2x3-8x.
补充例题:
判断下列分解因式是否正确.
(1)(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2.
(2)a4-1=(a2)2-1=(a2+1)•(a2-1).
五、课堂练习教科书练习
六、作业1、教科书习题
2、分解因式:
x4-16
x3-4x
4x2-(y-z)2
3、若x2-y2=30,x-y=-5求x+y
第三十九学时:
14.3.2
用“完全平方公式”分解因式
一、学习目标:
.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤,多方法的分解因式
二、重点难点:
重点:
让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法
难点:
让学生学会观察多项式特点,恰当安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式
三、合作学习
创设问题情境,引入新课
完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2
讲授新课
.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
将完全平方公式倒写:
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.
凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方,将它写成平方形式,便实现了因式分解
用语言叙述为:
两个数的平方和,加上(或减去)这两数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
练一练.下列各式是不是完全平方式?
(1)a2-4a+4;
(2)x2+4x+4y2;
(3)4a2+2ab+b2;
(4)a2-ab+b2;
四、精讲精练
例1、把下列完全平方式分解因式:
(1)x2+14x+49;
(2)(m+n)2-6(m+n)+9.
例2、把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2;
(2)-x2-4y2+4xy.
课堂练习:
教科书练习
补充练习:
把下列各式分解因式:
(1)(x+y)2+6(x+y)+9;
(2)4(2a+b)2-12(2a+b)+9;
五、小结:
两个数的平方和,加上(或减去)这两数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
六、作业:
1、
2、分解因式:
X2-4x+4
2x2-4x+2
(x2+y2)2-8(x2+y2)+16
(x2+y2)2-4x2y2
45ab2-20a
-a+a3
a-ab2
a4-1
(a2+1)2-4
(a2+1)+4
第四十学时:
15.1.1从分数到分式
一学习目标
【学习过程】
一、阅读教材
二、独立完成下列预习作业:
、单项式和多项式统称整式.
2、表示
÷
的商,可以表示为
.
3、长方形的面积为10,长为7cm,宽应为
cm;长方形的面积为S,长为a,宽应为
.
4、把体积为20的水倒入底面积为33的圆柱形容器中,水面高度为
cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为
.
一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.
◆◆分式和整式统称有理式◆◆
三、合作交流,解决问题:
分式的分母表示除数,由于除数不能为0,故分式的分母不能为0,即当B≠0时,分式才有意义.分子分母相等时分式的值为1、分子分母互为相反数时分式的值为-1.
、当x
时,分式有意义;
2、当x
时,分式有意义;
3、当b
时,分式有意义;
4、当x、y满足
时,分式有意义;
四、课堂测控:
、下列各式,,,,,,,,x+y,,,,,0中,
是分式的有
;
是整式的有
;
是有理式的有
3、下列各式中,无论x取何值,分式都有意义的是(
)
A.
B.
c.
D.
4、当x
时,分式的值为零
5、当x
时,分式的值为1;当x
时,分式的值为-1.
第四十一学时:
§16.1.2分式的基本性质--约分
自主合作学习
一、学习目标
二、学习过程
阅读教材
独立完成下列预习作业:
、分式的分子与分母同乘(或除以)一个不为0的整式,分式的值不变.
即
或
(c≠0)
2、填空:
⑴
;
⑵
;
(b≠0)
3、利用分式的基本性质:
将分子和分母的公因式约去,这样的分式变形叫做分式的约分;经过约分后的分式,其分子与分母没有公因式,像这样的分式叫做最简分式.
三、合作交流,解决问题:
将下列分式化为最简分式:
⑴
⑵
⑶
四、课堂测控:
.分数的基本性质为:
分式的分子分母同乘(或除以)一个不为0的整式,分式的值不变.
用字母表示为:
2.把下列分数化为最简分数:
(1)=
;
(2)=
;(3)=
.
分式的基本性质为:
.
3、填空:
①
②
③
④
4、分式,,,中是最简分式的有(
)
A.1个
B.2个
c.3个
D.4个
第四十二学时:
§16.1.2分式的基本性质--通分
自主合作学习
一、学习目标
二、学习过程
阅读教材
独立完成下列预习作业:
、利用分式的基本性质:
将分式的分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,使几个分式化为分母相同的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.
2、根据你的预习和理解找出:
①与的最简公分母是
;
②与的最简公分母是
;
③
与最简公分母是
;④与的最简公分母是
.
★★如何确定最简公分母?
一般是取各分母的所有因式的最高次幂的积
三、合作交流,解决问题:
、通分:
⑴与
⑵,
2、通分:
⑴与;
★⑵,.
四、课堂测控:
、分式和的最简公分母是
.分式和的最简公分母是
.
2、化简:
3、分式,,,中已为最简分式的有(
)
A、1个
B、2个
c、3个
D、4个
4、化简分式的结果为( )
A、
B、
c、
D、
5、若分式
的分子、分母中的x与y同时扩大2倍,则分式的值(
)
A、扩大2倍
B、缩小2倍
c、不变
D、是原来的2倍
6、不改变分式的值,使分式
的各项系数化为整数,分子、分母应乘以(
)
A、10
B、9
c、45
D、90
7、不改变分式
的值,使分子、分母最高次项的系数为整数,正确的是(
)
A、
B、
c、
D、
8、通分:
⑴与
⑵与
第四十三学时§16.2.1分式的乘除
自主合作学习
一、学习目标
二、学习过程
阅读教材
独立完成下列预习作业:
、观察下列算式:
⑴
⑵
请写出分数的乘除法法则:
乘法法则:
分子乘以分子作为积的分子、分母乘以分母作为积的分母
;
除法法则:
除以一个数等于乘以这个数的倒数
.
2、分式的乘除法法则:
(类似于分数乘除法法则)
乘法法则:
分子乘以分子作为积的分子、分母乘以分母作为积的分母
;
除法法则:
除以一个数等于乘以这个数的倒数.
3、分式乘方:
即分式乘方,是把分子、分母分别乘方.
三、合作交流,解决问题:
、计算:
⑴
;
⑵
2、计算:
⑴
;
⑵
.
4、计算:
⑴
⑵
四、课堂测控:
、计算:
第四十四学时:
§16.2.2分式的加减
自主合作学习
一、学习目标
二、学习过程
阅读教材
独立完成下列预习作业:
、填空:
①与的
相同,称为
分数,+=
,法则是
;
②与的
不同,称为
分数,+=
,运算方法为
;
2、与
的
相同,称为
分式;
与的
不同,称为
分式.
3、分式的加减法法则同分数的加减法法则类似
①同分母分式相加减,分母
,把分子
;
②异分母分式相加减,先
,变为同分母的分式,再
.
4.,的最简公分母是
.
5、在括号内填入适当的代数式:
三、合作交流,解决问题:
、计算:
⑴+
⑵-
⑶+
2、计算:
⑴
⑵+
⑶
⑷++
3、计算:
四、课堂测控:
3、计算:
⑴
⑵
第四十五学时:
§16.2.3整数指数幂
自主合作学习
一、学习目标
二、学习过程
阅读教材
独立完成下列预习作业:
、回顾正整数幂的运算性质:
⑴同底数幂相乘:
.⑵幂的乘方:
.
⑶同底数幂相除:
.⑷积的乘方:
.
⑸
.
⑹
当a
时,.
2、根据你的预习和理解填空:
3、一般地,当n是正整数时,
4、归纳:
1题中的各性质,对于m,n可以是任意整数,均成立.
三、合作交流,解决问题:
、计算:
⑴
⑵
2、计算:
⑴
⑵
四、课堂测控:
、填空:
⑴;.
⑵;.
⑶;.⑷;(b≠0).
2、纳米是非常小的长度单位,1纳米=米,把1纳米的物体放到乒乓球上,如同将乒乓球放到地球上,1立方毫米的空间可以放
个1立方纳米的物体,(物体间的间隙忽略不计).
3、用科学计数法表示下列各数:
①0.000000001=
;②0.0012=
;
③0.000000345=
;④-0.0003=
;
⑤0.0000000108=
;⑥5640000000=
;
4、计算:
⑴
⑵
⑶
5、计算:
⑴
⑵
第四十六学时§16.3-1分式方程
自主合作学习
一、学习目标
二、学习过程
阅读教材
独立完成下列预习作业:
、问题:
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
分析:
设江水的流速为千米/时,则轮船顺流航行速度为
千米/时,逆流航行速度为
千米/时;顺流航行100千米所用时间为
小时,逆流航行600千米所用时间为
小时.
根据两次航行所用时间相等可得到方程:
方程①的分母含有未知数,像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
我们以前学习的方程都是整式方程,分母中不含未知数.
★★2、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为正式方程.
其具体做法是:
去分母、解整式方程、检验.
三、合作交流,解决问题:
、试解分式方程:
⑴
⑵
解:
方程两边