最新高考数学理第七章不等式 73习题及答案.docx
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最新高考数学理第七章不等式73习题及答案
1．若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为（ ）
A．0B．1
C.D．2
答案 D
解析 由题意作出可行域如图中阴影部分所示，当z＝x＋2y经过点A（0,1）时，目标函取得最大值，且zmax＝0＋2×1＝2.
2.已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝（ ）
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A．3B．2
C．－2D．－3
答案 B
解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函z＝ax＋y的最大值为4，即目标函对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D（0,4）的直线，由图可知，目标函在点B（2,0）处取得最大值，故有a×2＋0＝4，解得a＝2.故选B.
3．若变量x，y满足约束条件，则z＝3x＋2y的最小值为（ ）
A．4B.
C．6D.
答案 B
解析 作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线y＝－x＋经过点A时z取得最小值．由
得，此时，zmin＝3×1＋2×＝.
4．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为（ ）
A．2B．－2
C.D．－
答案 D
解析 如图，作出
所表示的平面区域，作出目标函取得最小值－4时对应的直线y－x＝－4，即x－y－4＝0.显然z的几何意义为目标函对应直线x－y＋z＝0在x轴上的截距的相反，故该直线与x轴的交点（4,0）必为可行域的顶点，又kx－y＋2＝0恒过点（0,2），故k＝＝－.故选D.
5．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实a的值为（ ）
A.或－1B．2或
C．2或1D．2或－1
答案 D
解析 画出约束条件下的可行域，如图所示．令z＝0，画出直线y＝ax.
当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则必须使得直线y＝ax与x＋y－2＝0平行，此时a＝－1；
当a>0时，则直线y＝ax与2x－y＋2＝0平行，此时a＝2.
6．已知不等式组（a>0）表示的平面区域的面积是，则a等于（ ）
A.B．3
C.D．2
答案 A
解析 画出平面区域，可知该区域是一个三角形，其面积等于·2h＝，所以h＝.解方程组得y＝，所以＝，解得a＝，选A.
7．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实k的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）B．（1，＋∞）
C．（－1,1）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
答案 D
解析 已知直线y＝k（x－1）－1过定点（1，－1），画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．
当直线y＝k（x－1）－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k（x－1）－1的斜率的范围为（－∞，－1），即实k的取值范围是（－∞，－1）．当直线y＝k（x－1）－1与y＝x平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k>1时，也可形成三角形，综上可知k<－1或k>1.
8．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，－1B．2，－2
C．1，－2D．2，－1
答案 B
解析 首先画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域为阴影部分．
x＋y＝1，x＋y＝－1，x－y＝1，x－y＝－1这四条直线的交点为（0,1），（0，－1），（1,0），（－1,0），由图形可知，当过点（0,1）时，x＋2y取得最大值2，过点（0，－1）时，x＋2y取得最小值－2.
9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A.12万元B．16万元
C．17万元D．18万元
答案 D
解析 根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，
则目标函为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A（2,3）时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，故选D.
10．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
答案 3
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，
由可行域知，在点A（1,3）处，取得最大值3.
11．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
答案
解析 在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A处，z取得最大值，且zmax＝.
12.若实x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________．
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答案 3
解析 ∵x2＋y2≤1，∴6－x－3y>0，令t＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|，当2x＋y－2≥0时，t＝x－2y＋4.点（x，y）可取区域Ⅰ内的点（含边界）．
通过作图可知，当直线t＝x－2y＋4过点A时，t取最小值，∴tmin＝－＋4＝3.
当2x＋y－2<0时，t＝8－3x－4y，点（x，y）可取区域Ⅱ内的点（不含线段AB）．
通过作图可知，此时t>8－3×－4×＝3.
综上，tmin＝3，即|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.
13．实x、y满足
（1）若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
（2）若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．
解 由作出可行域如图中阴影部分所示．
（1）z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（OA斜率不存在）．
而由得B（1,2），则kOB＝＝2.
∴zmax不存在，zmin＝2，
∴z的取值范围是[2，＋∞）．
（2）z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．
因此x2＋y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为|OB|2.
由得A（0,1），
∴|OA|2＝（）2＝1，
|OB|2＝（）2＝5.
∴z的最大值为5，没有最小值．
故z的取值范围是（1,5]．
14.某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？
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解 设A，B两种金属板各取x张，y张，用料面积为z，
则约束条件为目标函z＝2x＋3y.
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．
z＝2x＋3y变成y＝－x＋，得斜率为－，在y轴上截距为，且随z变的一组平行直线．
当直线z＝2x＋3y过可行域上点M时，截距最小，z最小，解方程组得M点的坐标为（5,5）．
此时zmin＝2×5＋3×5＝25（m2）．
两种金属板各取5张时，用料面积最省．
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