中考数学试题分类汇编之十四 最值类题.docx
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中考数学试题分类汇编之十四最值类题
2020年中考数学试题分类汇编之十四
最值类题
1、选择题
10．（2020成都）（3分）关于二次函数，下列说法正确的是
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为
【解答】解：
二次函数，
该函数的对称轴是直线，在轴的左侧，故选项错误；
当时，，即该函数与轴交于点，故选项错误；
当时，或，即图象与轴的交点坐标为和，故选项错误；
当时，该函数取得最小值，故选项正确；
故选：
．
9.（2020贵阳）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（）
A.无法确定B.C.1D.2
【答案】C
【详解】解：
由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：
C．
12．（3分）（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．2B．2C．6D．3
解：
设C（m，0），
∵CD＝2，∴D（m+2，0），
∵A（0，2），B（0，4），
∴AC+BD，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN），
如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，
∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）
P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ2，
∴AC+BD的最小值为2．
故选：
B．
12．（2020山东泰安）（4分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．1B．C．21D．2
【解答】解：
如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B的圆上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，
∴OMCD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，
∴CD＝21，
∴OMCD，即OM的最大值为；
故选：
B．
2、填空题
25．（2020成都）（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．
【解答】解：
连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
当点与重合时，的值最大，此时，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为，．
15（2020河南）.如图，在扇形中，平分交狐于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，先作扇形关于对称的扇形连接交于，再分别求解的长即可得到答案．
【详解】解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形连接交于，
则
此时点满足最短，
平分
而的长为：
最短为
故答案为：
17.（2020四川绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为。
答案：
【解析】解：
∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，
∴∠DAC=∠ABC=60°
∠DAC=∠CAB=30°，
∴∠ACB=90°。
当M在AC上时，M到AC的距离最小。
如图
：
AC=,
在RT△AMD中，AM=AD=4×=2.
∴CM=AC-AM=-2=.
故填：
。
18.（2020无锡）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．
解：
如图1，作DG∥AC，交BE于点G，
∴，
∵,∴
∵∴
∴
∵AB=4，∴
∴若面积最大，则面积最大，
如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为，
∴面积最大值为
+
故答案为：
15．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6 ．
【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A'关于BC对称，可得AD＝A'D，进而得出AD+DE＝A'D+DE，当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD的最小值为6．
【解答】解：
如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH，AA'＝2，∠C＝30°，
∴Rt△CDE中，DECD，即2DE＝CD，
∵A与A'关于BC对称，
∴AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，
∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，
此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'23，
∴AD+DE的最小值为3，
即2AD+CD的最小值为6，
故答案为：
6．
18．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为 ．
【解答】解：
如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，．
四边形是正方形，
，，，
，，
，关于对称，，，
，
，，，共线，
，
，，四边形是平行四边形，
，，
，，
的最小值为．
16．（2020江苏连云港）（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 2 ．
解：
如图，连接，取的中点，连接，过点作于．
，，，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的，设交于．
直线与轴、轴分别交于点、，
，，，，
，
，，，
，，
，
当点与重合时，△的面积最小，最小值，
故答案为2．
18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 99 ．
【解答】解：
作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AMAB3，
∴OA3，
∴CM＝OC+OM＝33，
∴S△ABCAB•CM6×（33）＝99．
故答案为：
99．
3、解答题
22．（2020安徽）（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
（1）判断点是否在直线上，并说明理由；
（2）求，的值；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【解答】解：
（1）点是在直线上，理由如下：
直线经过点，
，解得，
直线为，
把代入得，
点在直线上；
（2）直线与抛物线都经过点，且、两点的横坐标相同，
抛物线只能经过、两点，
把，代入得，
解得，；
（3）由
（2）知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．
28．（2020成都）（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：
在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）设抛物线的解析式为．
将代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是．
（3）符合条件的点的坐标为或．
，
直线的解析式为，
设，
①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
．
②当点在直线左侧时，
由①的方法同理可得点的坐标为，．
此时点的坐标为．
25.（2020福建）已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线，求证：
当时，；
（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．
【答案】
（1）；
（2）详见解析；（3）的最小值为．
【解析】
【分析】
（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）利用反证法证明即可；
（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：
（1）对于，
当时，，所以；
当时，，，所以，
又因为，所以或，
若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．
若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．
故可设二次函数的表达式为，
依题意，二次函数的图象过，两点，
所以，解得
所求二次函数的表达式为．
（2）当时，直线与直线不重合，
假设和不平行，则和必相交，设交点为，
由得，
解得，与已知矛盾，所以与不相交，
所以．
（3）如图，
因为直线过，所以，
又因为直线，所以，即，
所以，，
所以，所以，
设，则，
，
所以，
所以
所以当时，的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．
25．（2020天津）已知点是抛物线（，，为常数，，）与轴的一个交点．
（I）当，时，求该抛物线的顶点坐标；
（II）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；
②取的中点，当为何值时，的最小值是？
解：
（1）当，时，抛物线的解析式为．
抛物线经过点，
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