高中数学 第三章《几类不同增长的函数模型》教案 新人教A版必修1.docx

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高中数学第三章《几类不同增长的函数模型》教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第三章《几类不同增长的函数模型》教案新人教A版必修1

教学目标：

知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．

过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．

情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．

教学重点：

重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．

教学程序与环节设计：

教学过程与操作设计：

环节

教学内容设计

师生双边互动

创

设

情

境

材料：

澳大利亚兔子数“爆炸”

在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．

师：

指出：

一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的

组

织

探

究

例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：

每天回报40元；

方案二：

第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：

第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

探究：

1）在本例中涉及哪些数量关系？

如何用函数描述这些数量关系？

2）分析解答（略）

3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？

师：

创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．

生：

阅读题目，理解题意，思考探究问题．

师：

引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．

生：

观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．

师：

引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．

环节

教学内容设计

师生双边互动

组

织

探

究

4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？

5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？

师：

引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势．

生：

对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据．

师：

引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．

生：

通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．

例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：

在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：

万元）随销售利润（单位：

万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：

．

问：

其中哪个模型能符合公司的要求？

探究：

1）本例涉及了哪几类函数模型？

本例的实质是什么？

2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？

师：

引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．

生：

进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．

师：

引导学生分析问题使学生得出：

要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择．

环节

呈现教学材料

师生互动设计

组

织

探

究

3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．

生：

分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求．

师：

引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．

生：

进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．

探

究

与

发

现

幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：

你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告．

师：

引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析．

生：

仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告．

师：

对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．

巩

固

与

反

思

尝试练习：

1）教材P116练习1、2；

2）教材P119练习．

小结与反思：

通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．

生：

通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用．

师：

培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美．

环节

呈现教学材料

师生互动设计

作

业

与

回

馈

教材P127

习题32（A组）第1~5题；

（B组）第1题

课

外

活

动

收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；

有时同一个实际问题可以建立多个函数模型．具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？

2019-2020年高中数学第三章《函数的极值与导数》教案新人教A版选修1-1

教学目标：

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；

3.掌握求可导函数的极值的步骤；

教学重点：

极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点：

对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.

教学过程：

创设情景

观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？

此点附近的图像有什么特点？

相应地，导数的符号有什么变化规律？

放大附近函数的图像，如图3.3-9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．

3.3-9

3.3-8

对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？

附：

对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号

新课讲授

（1）导入新课

观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点

函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大

二、学生活动

学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.

三、数学建构

极值点的定义:

观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有

各点的函数值都大，我们说f（0）是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f

（2）是函数的一个极小值。

一般地，设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f（）是函数的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说f（）是函数的一个极小值。

极大值与极小值统称极值。

取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

请注意以下几点：

（让同学讨论）

（ⅰ）极值是一个局部概念。

由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。

并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的。

即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。

即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>。

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

极值点与导数的关系:

]

复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。

但反过来不一定。

若寻找函数极值点,可否只由=0求得即可?

探索:

x=0是否是函数=x的极值点?

（展示此函数的图形）

在处，曲线的切线是水平的,即=0，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。

如果使，那么在什么情况下是的极值点呢？

观察下左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。

因此，的左侧附近只能是增函数，即，的右侧附近只能是减函数，即，同理，如下右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即，

从而我们得出结论（给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单调性之间的关系）：

若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。

结论：

左右侧导数异号是函数f（x）的极值点=0

反过来是否成立?

各是什么条件?

点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.

学生活动

函数y=f（x）的导数y/与函数值和极值之间的关系为（D）

A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值

B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值

C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值

D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

四、数学应用

例1．（课本例4）求的极值

解：

因为，所以

。

下面分两种情况讨论：

（1）当>0,即，或时；

（2）当<0,即时.

当x变化时，，的变化情况如下表：

-2

（-2,2）

2

+

0

－

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

因此，当时，有极大值，并且极大值为；

当时，有极小值，并且极小值为。

函数的图像如图所示。

课堂训练:

求下列函数的极值

让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：

一般地，如果函数在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值：

①确定函数的定义域；②求导数；③求方程=0的根，这些根也称为可能极值点；

④检查在方程＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。

（最好通过列表法）

强调:

要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f'（x0）=0左右侧导数的符号

例题2（案例分析）

函数

在x=1时有极值10，则a，b的值为（C）

A、或

B、或

C、D、以上都不对

略解:

由题设条件得：

解之得

通过验证，都合要求，故应选择A

上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验

注意：

f/（x0）=0是函数取得极值的必要不充分条件

练习:

庖丁解牛篇（感受高考）

1、（xx年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　A）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

注意：

数形结合以及原函数与导函数图像的区别

2、已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.

答案（Ⅰ）=1;（Ⅱ）

例3求y=（x2－1）3+1的极值

解：

y′=6x（x2－1）2=6x（x+1）2（x－1）2

令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1

当x变化时，y′，y的变化情况如下表

-1

（-1,0）

0

（0,1）

1

－

0

－

0

+

0

+

↘

无极值

↘

极小值0

↗

无极值

↗

∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0

五：

回顾与小结：

1、极值的判定方法；2、极值的求法

注意点：

1、f/（x0）=0是函数取得极值的必要不充分条件

2、数形结合以及函数与方程思想的应用

3、要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f'（x0）=0左右侧导数的符号.