届河北省衡水市全国普通高中高三四月大联考数学文试题解析版.docx

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届河北省衡水市全国普通高中高三四月大联考数学文试题解析版

2019届河北省衡水市全国普通高中高三四月大联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合

，

，则

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】先求出集合

再求交集

【详解】

∵

，

，

∴

.

故选A.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，解题的关键是求出集合

，并注意集合

中

，属于简单题。

2．已知复数

满足

，其中

为虚数单位，则

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】先将复数化成

形式，再求模。

【详解】

∵

，∴

，∴

.故选C.

【点睛】

本题考查复数的除法运算以及复数的模，解题的关键是将复数化成

形式，属于简单题。

3．已知

，且

为第三象限角，则

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由题可求得

，从而可得

【详解】

∵

，∴

.

∵

，

∴

，即

，

又∵

为第三象限角，∴

.

故选B.

【点睛】

本题考查三角函数的诱导公式，解题的关键是求出

，再结合

可得答案。

属于简单题。

4．已知正项等比数列

的前

项和为

，且

，

，则

（）

A．

B．

C．31D．32

【答案】A

【解析】先由题求出

又因为

，∴

【详解】

在正项等比数列

中，∵

，又

，

∴

，又

，∴

，

，∴

.

故选A.

【点睛】

本题考查等比数列的基本性质以及求和公式，属于简单题。

5．古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：

在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（）

A．

B．

C．

或

D．

【答案】D

【解析】由题可知圆柱的底面半径与球的半径

相等，高等于球的直径

，分别求体积即可。

【详解】

由已知可知，该几何体的轴截面如图所示，

即圆柱的底面半径与球的半径

相等，高等于球的直径

，

所以

.

故选D.

【点睛】

本题考查简单几何体，解题的关键是找到圆柱的底面半径与球体半径以及圆柱的高与球体半径之间的等量关系，属于一般题。

6．已知抛物线

：

的焦点为

，过焦点

的直线

交抛物线于

，

两点，

的中点为

，若

，则点

到

轴的距离为（）

A．3B．

C．1D．

【答案】B

【解析】先设出

两点坐标，由题可知

，解出

，再求点

到

轴的距离。

【详解】

设

，

，则由抛物线的定义，可知

，

又∵

，∴

，得

，

∴点

到

轴的距离为

.

故选B.

【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦，弦长

，而

到

轴的距离是

点的横坐标。

7．2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优.据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率与人均月收入分别绘制成折线图（如图一）与不完整的条形统计图（如图二）.请从图中提取相关的信息：

①10月份人均月收入增长率为

左右；

②11月份人均月收入为2047元；

③从上图可知该地9月份至12月份人均月收入比8月份人均月收入均得到提高.

其中正确的信息个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【解析】由图逐个分析，①设10月份人均月收入增长率为

，列式解得

；

②，11月份人均月收入为

元，③由图明显正确。

【详解】

对于①，设10月份人均月收入增长率为

，则

，解得

，故①正确；

对于②，11月份人均月收入为

元，故②错误；

对于③，从图中易知8月人均月收入最低，所以该地9月份至12月份人均月收入均得到提高，故③正确.

综上，正确的选项有2个.

故选C.

【点睛】

本题考查统计问题以及图表分析能力，属于一般题。

8．在如图所示的

中，点

，

分别在边

，

上，且

，

，则

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】以

作为基底表示

.

【详解】

由题得，

.

故选D.

【点睛】

本题考查向量的基底表示，解题的关键是以

作为基底表示

，属于一般题。

9．已知函数

为

上的偶函数，则不等式

的解集为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由

为

上的偶函数可得

，所以

即为

，从而求出不等式的解集。

【详解】

因为

为

上的偶函数，所以

，即得

，

所以

，

则

即为

，

所以

，即

，

所以

，解得

或

.

故选B.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性以及不等式，解题的关键是求出

，属于一般题。

10．已知函数

图象的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为

，将其向右平移

个单位后得到函数

的图象，若函数

图象的一条对称轴方程为

，则

的值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】先由题求得

，再求出函数

的解析式，然后根据三角函数的对称轴求

的值。

【详解】

由题得，

，又

，所以

，所以

，从而

，所以

.

因为函数

图象的一条对称轴方程为

，

所以

，则

，

，

则

，

.

因为

，所以

.

故选C.

【点睛】

本题考查三角函数的简单性质以及平移变换，属于一般题。

11．某几何体被一平面所截后剩下几何体的三视图如图所示，则该剩下几何体的体积为（）

A．10B．15C．20D．25

【答案】A

【解析】由三视图画出原几何体的直观图，再求体积。

【详解】

由三视图可知该剩下几何体是底面是边长为2的正方形，其中有四条侧棱长分别为4，3，2，1的几何体

（如图所示），

由三视图可知

，

，

，

.

因为四边形

是平面截原几何体所得的截面，

所以四边形

为平行四边形.

设

与

交于点

，

与

交于点

，则易知

既为

的中位线，也为

的中位线，故所求的几何体的体积为

.

故选A.

【点睛】

本题考查三视图，解题的关键是找到原几何体的三视图，属于一般题。

12．若不等式

有且仅有两个正整数解，则实数

的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】不等式

有且仅有两个正整数解等价于

有且仅有两个正整数解，令

，

，则问题转化为函数

的图像有两个交点。

【详解】

由题得，

，∴不等式

有且仅有两个正整数解等价于

有且仅有两个正整数解.记

，∴函数的图象是过定点

的直线.又记

，∴

，令

，∴当

时，

，

单调递增；当

时，

，

单调递减，如图所示，

要使

有且仅有两个正整数解，数形结合可知，只需满足

，即

.故选A.

【点睛】

含参的不等式可转化为函数问题，解本题的关键是能构造函数

，

利用导函数解决，属于难题。

二、填空题

13．已知圆

：

与双曲线

：

的渐近线相切，则

__________．

【答案】1

【解析】因为圆与双曲线的渐近线相切，所以求圆心到渐近线的距离即可求得半径。

【详解】

双曲线

的渐近线方程为

.依题意，得

，即

.

【点睛】

解此题的关键是理解圆心到渐近线的距离是圆的半径，利用点到直线的距离公式即可，属于简单题。

14．若变量

，

满足

，则

的最大值为__________．

【答案】11

【解析】由不等式组画出平面区域，再求最大值。

【详解】

作出不等式组表示的平面区域（如图所示的阴影部分），

∵

表示直线在

轴上的截距，

∴作直线

：

，将直线

向不等式组表示的平面区域内平行移动，数形结合易知，当直线过点

时，直线在

轴上的截距最大.

由

得

，∴

，

∴

的最大值为

.

【点睛】

此题考查线性规划问题，解题的关键是画出平面区域，属于一般题。

15．现有一场专家报告会，张老师带甲，乙，丙，丁四位同学参加，其中有一个特殊位置可与专家近距离交流，张老师看出每个同学都想去坐这个位置，因此给出一个问题，谁能猜对，谁去坐这个位置.问题如下：

某班10位同学参加一次全年级的高二数学竞赛，最后一道题只有6名同学

，

，

，

，

，

尝试做了，并且这6人中只有1人答对了.听完后，四个同学给出猜测如下：

甲猜：

或

答对了；乙猜：

不可能答对；丙猜：

，

，

当中必有1人答对了；丁猜：

，

，

都不可能答对，在他们回答完后，张老师说四人中只有1人猜对，则张老师把特殊位置给了__________．

【答案】丁

【解析】分别假设甲、乙、丙三名同学猜对，结合条件判断与题目是否矛盾。

【详解】

若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错.因为甲，乙，丙，丁四人中只有1人猜对，所以丁猜对.故张老师把特殊位置给了丁.

【点睛】

本题考查简易逻辑，属于一般题。

16．在

中，

，

，

，点

在边

上，且

，则

__________．

【答案】

【解析】由题

，求出

的模,即为线段

的长，

【详解】

由

，得

，即

，

所以

，两边平方得，

，

所以

.

【点睛】

本题考查解三角形问题，解题的关键是求出

，属于一般题。

三、解答题

17．在数列

中，

，

.

（1）求

，

；

（2）证明：

数列

为等差数列，并求数列

的通项公式；

（3）求数列

的前

项和

.

【答案】

（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）分别令

代入

可求

，

；

（2）将

的左右两边同时除以

（3）由

（2）可知

，再用裂项相消法求前

项和。

【详解】

解：

（1）由题得，

，

则

，即

，

解得

，

又

，

则

，即

，

解得

.

（2）∵

，

∴

，

且

，

∴数列

是以3为首项，2为公差的等差数列，

∴

，

∴

.

（3）由

（2）可知，

，

∴

，

∴

.

【点睛】

本题考查裂项相消法求数列的和以及证明等差数列，属于一般题。

18．如图，在四边形

中，

是

的中点，

为正三角形，

，

，

.将

沿直线

折起，使

到达

处，

到达

处，此时平面

平面

.

（1）求证：

；

（2）求点

到平面

的距离.

【答案】

（1）见解析

（2）

【解析】

（1）先由题证明

，再证明

平面

则可得

；

（2）用等体积转化法

，求点

到平面

的距离。

【详解】

解：

（1）由

，

，

，

可知

，

∴

，

又∵平面

平面

，且平面

平面

.

∴

平面

，

又

平面

，

∴

.

（2）取

的中点

，连接

.

∵

为正三角形，∴

也为正三角形，

∴

.

由

，知

.

∵平面

平面

，平面

平面

，

∴

平面

，

又∵

为

对应的点，

∴

为

的中点，

∴点

到底面

的距离为

，

，

，

又

，

，∴

，

又

，

∴

，∴

，

∴

，

.

设

点到平面

的距离为

.

∵

，

∴