新人教版九年级下册数学全册教案28 1 锐角三角函数.docx
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新人教版九年级下册数学全册教案281锐角三角函数
28.1锐角三角函数
第1课时正弦
教学目标
知识技能
1．通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值，引出正弦概念．
2．理解正弦概念并能根据正弦概念正确进行计算．
数学思考与问题解决
1．通过探究当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值，从而得出正弦概念，培养学生由特殊到一般的归纳推理能力．
2．经过概念的发现与学习，认识数学中存在很多规律，学会思考，善于发现．
情感态度
引导学生体验数学活动中充满着探索与发现，并使之能积极参与数学学习活动，学会用数学的思维方式思考、发现、总结、验证．
重点难点
重点：
正确认识、理解正弦概念，会根据边长求出正弦值．
难点：
引导学生比较、分析并得出：
在直角三角形中，对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值．
教学设计
一、情境引入
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（多媒体演示学校操场上的国旗图片）
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1.5米．然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小明怎样算出的吗？
师：
通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度．实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．
这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：
锐角的正弦．
（教师提出问题，引导学生思考，怎样才能求出旗杆的高度？
问题的提出，目的在于引出新课和引起学生思考．
学生思考尝试：
能否求出旗杆高度？
）
二、新知探究
问题1：
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
分析：
问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即
＝
＝
，
可得AB＝2BC＝70m．即需要准备70m长的水管．
问题2：
若使出水口的高度为40m，那么需要准备多长的水管？
结论：
80m.
因此在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
.
问题3：
在等腰直角三角形中，你能算出45°角的对边与斜边的比值吗？
结论：
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
.
问题4：
在不同的直角三角形中，是不是当锐角A的度数相同时，它们的对边与斜边的比也是一个固定值呢？
分析：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么
与
有什么关系？
分析：
由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
所以
＝
，即
＝
.
结论：
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
（教师提出问题，学生小组内讨论解答，分组回答结论并简要阐述理由．
教师简要讲评，总结：
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
引出正弦概念．）
（注：
用相似证明，学生想不到或有疑问时教师注意点拨．）
三、概念学习
在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.
结论：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边和斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA.
板书：
sinA＝
＝
（举例说明：
如当a＝1，c＝3时，sinA＝
）．
注意：
（1）sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；
（2）正弦的三种表示方式：
sinA、sin56°，sin∠DEF；
（3）sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
（教师边讲解边板书概念，强调写法和注意事项，举例求正弦值．
学生理解，并尝试回答．）
四、例题讲解
例如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
分析：
根据图
（1）、
（2）分别找出对边与斜边，结合正弦定义求出结果．
解：
（由教师根据学生阐述写出）
（教师结合定义提问分析，学生回答理解，并阐述解题过程．
教师板书解答过程，强调规范性．）
五、巩固提高
1．教材第64页练习：
学生独立完成（其中两生板演）．
2．补充练习：
（1）三角形在正方形网格纸中的位置如图
（1）所示，则sinα的值是（）
A.
B.
C.
D.
（答案：
C）
图
（1）图
（2）
（2）如图
（2），在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（）
A.
B.
C.
D.
（答案：
A）
（学生独立完成，小组内核对完成情况，教师简单讲评．）
六、总结提升
回顾正弦概念，认识正弦值的求法（可以让学生总结）．
学生自我总结，认识提高，教师强调注意事项．
七、布置作业
教材习题28.1第1题（只求正弦）．
（学生独立完成．）
板书设计
一、情景引入四、例题讲解
二、新知探究五、巩固提高
三、概念学习六、总结提升
正弦定义正弦写法注意七、布置作业
第2课时余弦和正切
教学目标
知识技能
1．通过探究使学生知道同正弦一样，当直角三角形中的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值，在此基础上引出余弦、正切的概念．
2．理解余弦、正切的概念并能根据余弦、正切的概念正确进行计算．
数学思考与问题解决
1．结合正弦概念得出余弦、正切的概念，培养学生类比推理能力．
2．通过三角函数概念的学习，认识数学中存在很多规律，学会思考，善于发现．
情感态度
引导学生体验数学活动中充满着探索与发现，学会用数学的思维方式思考、发现、总结、验证，并学会应用．
重点难点
重点：
正确认识理解余弦、正切的概念，会根据边长求出余弦值、正切值．
难点：
引导学生类比正弦概念，正确理解余弦、正切的概念．
教学设计
一、情境引入
1．观察不同大小的三角板，当角是30°、45°、60°时，它们的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值有什么规律？
谈谈你的看法．
2．是不是在直角三角形中，当锐角的度数一定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比也是不变的常数？
（教师提出问题，引导学生思考，通过特殊直角三角形中特殊角的对边、邻边、斜边之间的关系发现规律，由特殊到一般，引起学生思考．）
二、新知探究
问题：
在不同的直角三角形中，是不是当锐角A的度数相同时，它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值呢？
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么
与
有什么关系？
分析：
由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，所以
＝
，即
＝
.
同理可得
＝
即
＝
.
结论：
（1）在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比都是一个固定值．
（2）在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．
（教师提出问题，学生小组内讨论，尝试如何证明，并阐述理由．
教师引导学生运用相似知识加以说明，进一步理解函数值的意义．通过证明引导学生得出结论．）
三、概念学习
1．余弦、正切的概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝
＝
.
同样把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作tanA，即
tanA＝
＝
.
2．锐角三角函数：
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
注意：
（1）熟记三个锐角三角函数的比例式子，sinA＝
，sinB＝
；cosA＝
，cosB＝
；tanA＝
，tanB＝
，这是习惯用法，能清晰地比较出各锐角三角函数的关系．
（2）锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在．
（根据对问题的认识与理解，类比正弦概念得出余弦、正切的概念．
学生理解概念，认识正弦、正切、余弦都只与角的大小有关，并且是个比值，也是数值．
教师引导学生根据各三角函数的表达式，尝试认识各三角函数之间的关系．）
四、例题讲解
例如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．
分析：
（1）根据余弦、正切的定义，要求出cosA、tanA的值必须求出哪个边的值？
（2）怎样求出AC的值？
解：
由勾股定理得AC＝＝＝8，
因此sinA＝
＝
＝
，
cosA＝
＝
＝
，
tanA＝
＝
＝
.
（教师：
（1）引导学生读题逐步分析，如何才能求出余弦值、正切值（结合定义，加深对定义的理解）．
（2）板书解题过程，并强调书写的规范性．
学生：
结合概念理解，尝试分析，理解并学会知识间的综合运用，以及由角求边的运用．）
五、巩固提高
1．教材第65页练习：
第1题，学生在练习本上写，部分学生在黑板上演示（目的在于规范学生的书写过程），第2题可由学生思考后自己阐述结论和理由．
2．补充练习：
如图：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．
①sinA＝________＝________；
②cosA＝________＝________；
③tan∠ACD＝________＝________.
（答案：
①
，
，sin∠BCD任填两个即可；②
，
，cos∠BCD任填两个即可；③tanB，
，
任填两个即可．）
（学生独立完成，小组内核对完成情况，教师简单讲评．）
六、总结提升
学生小结，回顾余弦、正切、锐角三角函数等概念，总结根据概念求三角函数值的方法．
（学生根据所学尝试总结，注重方法规律的总结，教师适当引导讲评，多鼓励．）
七、布置作业
习题28.1第1题（求出余弦值和正切值）．
（学生在作业本上完成，注意书写要规范．）
板书设计
第4课时用计算器求角的三角函数值
教学目标
知识技能
1．让学生学会计算器中一些功能键的使用．
2．会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求角．
数学思考与问题解决
1．通过计算器的使用了解计算器的部分功能，熟练使用计算器．
2．认识使用计算器可以解决部分复杂问题，通过求角或求值探讨三角函数问题的某些规律，进一步认识三角函数的某些性质．
情感态度
通过计算器的使用，了解计算器在解决复杂计算问题中的重要作用，感受计算器比人们手工计算的优势，了解科学在人们日常生活中的重要作用，热爱科学、学好文化知识．
重点难点
重点：
运用计算器求角或求值的方法．
难点：
运用计算器处理三角函数中的值或角等问题．
教学设计
一、情境引入
已知：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，你能求出∠A、∠B的度数吗？
分析：
在Rt△ABC中，根据已知能求出∠A、∠B的三角函数值，如：
tanA＝
，另一图中tanA＝
，但怎么求出∠A、∠B的度数呢？
（教师提出问题，引导学生思考：
已知不是特殊角的三角函数值，怎么求出角的度数？
）
二、新知探究
用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，知道某锐角的三角函数值也可以求出角的度数．
问题1：
求出下列各角的三角函数值．
（1）sin37°24′；
（2）cos21°28′30″；（3）tan52°45′.
分析：
教师结合问题讲述用计算器求锐角三角函数值的方法．
（不同型号的计算器使用方法不同．）
例如：
求sin37°24′的值，利用计算器的键，再输入角度值37°24′，得到结果：
sin37°24′≈0.6074（输入度数时注意用“键”或用小数度数）．
答案：
（1）sin37°24′≈0.6074；
（2）cos21°28′30″≈0.9306；（3）tan52°45′≈1.315.
结论：
直接求出，取近似值即可．
问题2：
已知下列锐角三角函数值，求出其对应的锐角的度数．
（1）sinB＝0.9759；
（2）cosB＝0.7859；（3）tanB＝0.7355.
分析：
结合问题讲解用计算器求锐角的度数的方法．
（不同型号的计算器使用方法不同）
例如：
求sinB＝0.9759中∠B的度数，可以按照下面的方法操作：
依次按键，然后输入函数值0.9759，得到∠B≈77°23′44″或77.40°.
答案：
（1）∠B≈77°23′44″或77.40°
（2）∠B≈38°12′或38.20°
（3）∠B≈36°20′或36.33°
注意：
按度分秒键就可以转换成用度分秒表示的角．
结论：
已知三角函数值求角的度数需要用第二功能键．
（教师：
结合例子讲解说明计算器的用法，和学生一起操作求出结果．
学生：
理解教师讲解，并结合教师叙述边听边操作，尝试求出结果．）
三、例题讲解
例1用计算器求下列三角函数的值（保留4个有效数字）．
（1）sin46°25′40″；
（2）cos56°40′；
（3）tan46°35′20″.
解：
（1）sin46°25′40″≈0.7245；
（2）cos56°40′≈0.5495；
（3）tan46°35′20″≈1.057.
例2已知下列锐角三角函数值，求出其对应的锐角的度数．
（1）sinA＝0.2046；
（2）cosA＝0.7958；（3）tanA＝3.280.
解：
（1）∠A≈11.81°或11°48′22″；
（2）∠A≈37.27°或37°16′9″；
（3）∠A≈73.04°或73°2′41″.
注意：
因大多数结果都是近似值，所以在具体的解题过程中严格按题目要求完成并取近似值．
（教师：
提出问题，核对答案，总结方法．
学生：
按题目要求自己独立完成，小组内核对答案，并交流计算器的使用方法．）
四、规律探索
用计算器求出下列各角的三角函数值，说明你的发现，并尝试验证．
（1）sin62°25′30″
（2）sin80°（3）sin12°25′
（4）cos27°34′30″（5）cos10°（6）cos77°35′
再举几个例子试一试．
结论：
（1）sinA＝cos（90°－∠A）．
（2）运用计算器可以进行大量复杂的计算，我们也可以通过计算发现、验证某些数学规律．
（教师：
引导、提示学生思考，归纳学生最后的总结，讲评鼓励．
学生：
用计算器求出结果，注意总结发现并表达．）
设计意图：
目的在于通过此题让学生明白很多数学规律可以运用先进的计算手段去发现、验证．
五、巩固提高
教材第68页练习第1，2题．
（学生自己完成，小组内核对答案，没问题可以不讲评．）
六、总结提升
教师阐述、强调：
（1）重点在于掌握用计算器求三角函数值和根据三角函数值求锐角的使用方法．
（2）计算器的众多作用：
进行复杂计算，通过计算验证数学问题、解决实际问题等．
（教师总结，学生认识理解．）
七、布置作业
教材习题28.1第5题做在作业本上，第6，7题做在练习本上．
（学生根据要求完成．）
板书设计
1、情境引入五、巩固提高
二、新知探究六、总结提升
三、例题讲解例1例2七、布置作业
四、规律探索
升级会员 