初二期中复习最短路径+角平分线+全等三角形综合.docx
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初二期中复习最短路径+角平分线+全等三角形综合
（一）最短路径
知识点：
“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：
找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧
例：
已知：
如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
（根据：
两点之间线段最短.）
二、两点在一条直线同侧
例：
图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
三、一点在两相交直线内部
例1：
已知：
如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
例2：
如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？
（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
D
例3：
某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
F
例4：
如图：
C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
4、综合应用
例1：
如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：
DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，问如何恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
例2：
（二）角平分线性质判定
1、角平分线的性质定理：
注意两点：
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等
（2）一对全等三角形
经典例题透析
类型一：
角平分线性质的应用
1、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:
DB=3:
5
求：
D到AB的距离。
思路点拨:
点到直线的距离是经过该点作直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。
举一反三：
【变式】如图，∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.
求证：
AE=CF
类型二：
角平分线的判定
2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：
AF为∠BAC的平分线。
思路点拨：
由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。
总结升华：
应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。
如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。
举一反三：
【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O
（1）若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。
（2）若D，E不是垂足，是否有同样的结论？
并证明你的结论。
类型三、角平分线的综合应用
一、已知角平分线，构造三角形
例题:
如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。
求证：
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。
求证：
∠BAP＋∠BCP=180°。
三、作垂线段
当题目的已知中出现角平分线的时候，我们立刻想到它的作用有两种：
1、把已知角平分两个相等的小角；2、角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等。
例1如图，已知：
∠A=90º，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC，求证：
CP平分∠DCB。
分析：
因为已知PD平分∠ADC，所以我们过P点作PE⊥CD，垂足为E，则PA=PE，由P是AB的中点，得PB=PE，即CP平分∠DCB。
证明：
作PE⊥CD，垂足为E，
作图综合：
如图1所示，校园内有两条公路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置距离两块宣传牌一样远，并且到两条公路的距离也一样远。
请你画出灯柱的位置P。
分析：
线与线相交成点，所以要想作出满足条件的点，就相当于作出相应的两条直线，它们的交点就是所求作的点。
2、直角三角形的全等问题：
直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！
直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。
例1：
图1，已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，问CD=AB吗？
[变形1]：
请说明△BCE是直角三角形。
[变形2]：
两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，
在同一条直线上，连结CD．（彩图为提示）
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：
结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：
CD⊥BE
[变形3]、如图2，在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，
问△BHD≌△ACD，为什么？
[变形4]：
如图3，已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？
说明理由。
[变形5]：
如图4，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，于是他认定DB的高度也为2米，你觉得对吗?
请说明理由。
例二：
如图1，已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°，问BD=AB+ED吗?
[分析]：
（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；
（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；
（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：
如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。
[变形1]：
如图7，如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。
[注意]：
两条线段的关系包括：
大小关系（相等，一半，两倍之类）；位置关系（垂直，平行之类）
[变形2]：
如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，
求证：
DE=BF
[分析]：
注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。
[变形3]：
如图8，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，
如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。
[分析]：
说明相等的边所在的三角形全等，
题中“AB=AC”，发现：
AB在Rt△ABD中，AC在Rt△CAE中，
所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等（如图9）
于是：
已经存在了两组等量关系：
AB=AC，直角=直角，
再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。
[变形4]：
在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。
你能说出其中的道理吗？
（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时，DE=AD-BE。
说说你的理由。
（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系。
（三）等腰三角形、等边三角形的全等
[必备知识]：
如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；反之，也成立。
例三：
已知在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，请问BD=CE吗？
[分析]这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，
分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，
关键还是在于：
说明“相等的边（角）所在的三角形全等”
[变形2]：
过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。
[变形3]：
如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD，CE，请说明它们相等
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