完整版二次函数交点问题解析式应用.docx
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完整版二次函数交点问题解析式应用
二次函数的交点问题
巧解方法：
1、二次函数与x轴、y轴的交点：
分别令y=0,x=0；
2、二次函数与一次、反比例函数或者与其他函数等的相点：
联立两个函数表达式，解方程.
例1、如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．
例2、已知抛物线y＝x2-2x-8，
（1）求证：
该抛物线与x轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积
例3、.如图，抛物线
经过直线
与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与
轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使
：
5：
4的点P的坐标。
例4、已知抛物线y=
x2+x-
．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．
训练题
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m=．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围．
9．抛物线y=x2－2
x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（）
A．3个B．2个C．1个D．无
11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则
的值是（）
A．－3B．3C．
D．－
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）
A．0＜－
＜1B．0＜－
＜2C．1＜－
＜2D．－
=1
13．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：
无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
函数解析式的求法
例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；
1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。
例二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a（x－h）2+k求解。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。
例三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a（x－x1）（x－x2）。
5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
6．抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。
例4、一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．
（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
例5、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．
（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：
市场售价和种植成本的单位：
元/102kg，时间单位：
天）
训练题
1．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。
2．抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝，c＝.
3．若抛物线与x轴交于（2，0）、（3，0），与y轴交于（0，－4），则该二次函数的解析式。
4．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
（1）当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）
（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=
（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）
（4）当x=1时，y=0;x=0时,y=－2，x=2时，y=3
（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）
5．当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1时，且与y轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式。
7．知二次函数图象顶点坐标（－3，
）且图象过点（2，
），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。
8．已知二次函数图象与x轴交点（2,0），（－1,0）与y轴交点是（0,－1）求解析式及顶点坐标。
9．若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x=
对称，那么图象还必定经过哪一点？
10．y=－x2+2（k－1）x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。
11．抛物线y=（k2－2）x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y=－
x+2上，求函数解析式。
二次函数的应用
例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
例2、.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：
若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售（y）箱与每箱售价x（元）之间的函数关系式．（注明范围）
（2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润＝售价－进价）．
（3）求出
（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？
最大利润为多少？
例3、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上
（1）.设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
（2）.设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
训练题：
1、y=3x2-x＋2,当x时，y随x的增大而减小，当x时，y有最大值
2、周长为60cm的矩形，设其一边为xcm，则当x=_____时，矩形面积最大，为_______.
3、若抛物线的对称轴是x=3，函数有最小值为8，且过（0,26），则其解析式为____________.
4、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
5、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件。
为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且
。
如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
6、如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体。
（墙体的最大可用长度a=10米）设AB=
，长方形ABCD的面积为
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45平方米更大的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？
如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
7、某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价40元，每年销售该产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系。
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支），当销售单价x为何值时，年获利最大？
并求这个最大值；
（3）若公司希望这种产品一年的销售获利不低于40万元，借助
（2）中函数的图像，请你帮助该公司确定销售单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大你认为销售单价应定为多少元？
8、如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求
（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.
（2）当x取何值时，四边形CGEF的面积S取得最小值
9、已知：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y.
D
C
B
F
E
A
（1）用含y的代数式表示AE.
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围.
（3）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值.
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