《高职应用数学》教案.docx

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《高职应用数学》教案

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课程名称：

高职应用数学

总学时：

64

课程章节

第1章基础知识

课时分配

8

教学目标

1．掌握指数、对数、方程、不等式等代数基础知识

2．理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法

3．掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性

4．把实际问题抽象概括为函数问题

教学重点、难点

1.理解函数的概念

2.能把实际问题抽象概括为函数问题

授课方式

讲授法，板书

教学内容

1.1代数基础知识

1.2函数

1.3建立函数关系

教学过程

1.1代数基础知识

一、指数幂及其运算

1、整数指数幂

（1）正整数指数幂：

（n为正整数）．

（2）零指数幂：

（）．

（3）负整数指数幂：

（，n为正整数）．

（4）整数指数幂的运算法则：

（，，m，n为整数）

；；

；．

2、分数指数幂

1）n次根式

一般地，如果（，），则称x为a的n次方根．

（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根可以记作．

（2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用和表示，其中称为a的n次算术根；负数没有偶次方根．

（3）0的n次方根是0，记作．

我们把形如（，）的式子称为n次根式，其中，n称为根指数，a称为被开方数．

2）分数指数幂定义

，

为分数指数幂，其中．

整数指数幂的运算法则对有理数指数幂也适用，前提是必须使运算法则中出现的每一个有理数指数幂都有意义，即当为有理数时，有

，

，

．

二、对数及其运算

1、对数的概念

如果，那么b称为以a为底N的对数，记作

其中，a称为对数的底数（简称底），N称为真数．

通常，我们称形如的等式为指数式，称形如的等式为对数式．由对数的定义可知，当时，

．

性质：

（1）零和负数没有对数，即；

（2），即1的对数为0；

（3），即底的对数为1．

2、积、商、幂的对数

设，，则

，．

因为

，

所以

．

当时，对数的运算法则：

三、方程

1、直线方程

一次函数的图像是一条直线l，其解析式可以看作一个关于的二元一次方程，直线l上的任意一点都满足方程．此时，我们把方程称为直线l的方程．

1）直线的点斜式方程

已知直线l经过点，且斜率为k．设点为直线l上不同于点的任意一点，由斜率公式可得

整理得

点也满足上述方程．由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程．

2）直线的斜截式方程

设直线l与x轴交于点，与y轴交于点，则a称为直线l在x轴上的截距（或横截距）；b称为直线l在y轴上的截距（或纵截距）．

设直线l与y轴的交点为，且直线l的斜率为k，则直线l的方程为

即

3）直线的一般式方程

把形如（不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程．

2、一元二次方程

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程．一元二次方程的一般形式为．

1）公式法

一般地，式子称为一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示，即．

当时，方程的实数根可写为

若，方程有两个不相等的实数根，即；

若，方程有两个相等的实数根，即；

若，方程无实数根．

2）因式分解法

设物体经过xs后落回地面，这时它离地面的高度为0m，即

．

此方程的左边可以因式分解，得

．

这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0．我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积等于0．所以

或．

于是，方程的两个根为

，．

四、不等式

1、不等式的概念及基本性质

用不等号（，，，，）表示不等关系的式子称为不等式．

性质1（传递性）如果，，则．

性质2（加法性质）如果，则．

性质3（乘法性质）如果，，则；如果，，则．

2、含有绝对值的不等式

1）或型不等式

对于任意实数，都有，并且

的几何意义为：

数轴上表示实数x的点到原点O的距离．

由绝对值的几何意义可知，不等式表示的是数轴上到原点的距离小于3的所有点的集合；不等式表示的是数轴上到原点的距离大于3的所有点的集合．

不等式的解集为；不等式的解集为．

一般地，不等式的解集为；不等式的解集是．

2）或型不等式

对于或型不等式，可以把看成一个整体，从而转化为或型不等式来求解．

例如，求解不等式时，可先设，则不等式化为

，

其解集为

，即．

根据不等式的性质，可以求出，即原不等式的解集为．

3、区间的概念

1）有限区间

实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，例如，集合可以用数轴上位于与之间的一条线段（不包括端点）来表示．

由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点．不含端点的区间称为开区间，含有两个端点的区间称为闭区间．

集合表示的就是开区间，记作．集合表示的就是闭区间，记作．

只含左端点的区间称为右半开区间，例如，集合表示的区间就是右半开区间，记作；只含右端点的区间称为左半开区间，例如，集合表示的区间就是左半开区间，记作．

综上所述，设a，b为任意实数，且，则有

①开区间：

；

②闭区间：

；

③右半开区间：

；

④左半开区间：

．

以上的开区间、闭区间、右半开区间和左半开区间统称为有限区间．

2）无限区间

集合可以用数轴上位于3右侧的一条射线（不包括端点）来表示，如图1-6所示．

由图可以看出，集合所表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可以将其记作，其中符号“”读作“正无穷大”，表示右端点可以任意大，而并非某个具体的数．

同理，集合表示的区间可记作，其中符号“”读作“负无穷大”．

类似地，集合表示的区间记作，是右半开区间；集合表示的区间记作，是左半开区间．

设a，b为任意实数，且，则有

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）实数集R如果用区间来表示，可以记作．

以上这5种区间统称为无限区间．

4、邻域的概念

设点与是两个实数，且，则称集合为点的邻域，记作，其中将称为邻域中心，将称为邻域半径．

有时还要用到去掉中心的邻域，即集合，称为点的去心邻域，记作．

5、一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为

或．

①当时，方程有两个不相等的实数解和（），对应函数的图像与x轴有两个交点，即，．此时不等式的解集为，不等式的解集为．

②当时，方程有两个相等的实数解，对应函数的图像与x轴只有一个交点，即．此时不等式的解集为，不等式的解集为．

③当时，方程没有实数解，对应函数的图像与x轴没有交点．此时不等式的解集为R，不等式的解集为．

1.2函数

一、函数的概念与性质

1、函数的概念

设有两个变量x和y，D是一个非空数集，若当变量x在集合D内任取一个值，变量y依照一定法则f，总有确定的值与之对应，则称变量y是x的函数，记为

，，

其中，D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量．

对于确定的，与之对应的称为函数在处的函数值，记作

．

当x取遍D中的一切数值时，对应的函数值y的集合称为函数的值域，记作M，即

．

定义域

函数的两要素

对应法则

解析法

函数的表示方法表格法

图示法

2、函数的性质

1）单调性

设函数在区间I内有定义，若对区间I内的任意两点，当时，有，则称在区间I内单调增加，区间I称为单调增区间；当时，有，则称在区间I内单调减少，区间I称为单调减区间．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

2）奇偶性

设函数的定义域关于原点对称（即若，则），若对于任意的，都有，则称为偶函数；若对于任意的，都有，则称为奇函数．

3）有界性

设函数在区间I上有定义，如果存在一个正数，使得与任一所对应的函数值都满足不等式，则称函数在I内有界；如果这样的M不存在，则称函数在I内无界．

4）周期性

设函数在区间D上有定义，若存在常数，对于任意的，恒有，则称是以为周期的周期函数．

通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期，例如，的周期是，的周期是．函数是周期函数，但不存在最小正周期．

二、基本初等函数

1、常数函数

常数函数的定义域为，对应法则是对于任何，所对应的函数值恒等于常数C．其函数图像为平行于轴的直线．

2、幂函数

幂函数的定义域和值域由a而定，但在内都有定义，且其图像都经过点．

3、指数函数

指数函数的定义域为，值域为，图像都经过点．当时，单调增加；当时，单调减少．指数函数的图像均在x轴上方.

4、对数函数

对数函数是指数函数的反函数．对数函数的定义域为，值域为，图像都经过点．当时，单调增加；当时，单调减少．对数函数的图像在y轴的右方．

当时，简记为，它是常见的对数函数，称为自然对数．其中，为无理数．

5、三角函数

三角函数有：

正弦函数，余弦函数；

正切函数，余切函数；

正割函数，余割函数．

（1）和的定义域为，值域为，都以为周期．是奇函数，是偶函数．

（2）的定义域是，的定义域是，它们都以为周期，且都是奇函数．

6、反三角函数

反三角函数是各三角函数在其特定单调区间上的反函数．

（1）反正弦函数是正弦函数在区间上的反函数，其定义域为，值域为．

（2）反余弦函数是余弦函数在区间上的反函数，其定义域为，值域为．

（3）反正切函数是正切函数在区间内的反函数，其定义域为，值域为．

（4）反余切函数是余切函数在区间内的反函数，其定义域为，值域为．

三、复合函数

设y是u的函数，u是x的函数．如果的值域与的定义域的交集不是空集，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，其中u称为中间变量．

例如，，，它们复合而成的复合函数为．

利用复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成若干个简单函数．

分解的原则是：

由外向里，逐层分解．

分解的结果是：

分解成的每个简单函数都是基本初等函数或由基本初等函数经过有限次四则运算后形成的函数．

四、初等函数和分段函数

1、初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成，并且用一个式子表示的函数称为初等函数．

2、分段函数

引例自2018年8月1日起，北京巡游出租车（不含电动车）白天的基本收费标准是：

行驶里程如果不超过3公里，则收费13元；如果超过3公里，则超出的部分按每公里2.3元收费；另外每运次加收1元燃油附加费．那么每运次的行驶里程数公里与费用元之间的关系为

以上的函数关系不是用一个式子表示的，而是在自变量不同范围内用不同的表达式来表示的，这样的函数称为分段函数．

常见的分段函数：

①绝对值函数

②符号函数

1.3建立函数关系

一、工程技术中函数的建立

例要造一个圆柱形油罐，其体积为定值V，试求油罐的表面积与底圆半径的函数关系．

解设油罐的底圆半径为r，油罐的高为h，因，故

．

油罐的表面积为

，

将代入上式得所求函数为

，．

例某工厂建造一个小型车间，要求车间借助现有的一面墙建成两块矩形，设平行于原有墙面的矩形边长为x，现有材料只够砌50m长的墙壁，试求围成的车间面积S与边长x的函数关系．

解设矩形的宽为y，根据题意有，得

．

车间面积为

，．

例弹簧在汽车悬吊系统中广泛应用，在弹性限度内，弹簧伸长量与受力大小成正比．现在有一弹簧受力4N，伸长了0.01m，求该弹簧的伸长量与受到的力之间的函数关系．

解设弹簧受力为FN时，其伸长量为lm，由题意可知

（k为比例常数）．

将已知条件时，