届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测数学试题word版含答案.docx
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届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测数学试题word版含答案
2019届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测
数学试题
考生注意：
1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另附答题纸．
2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号等信息．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.计算：
__________．
2.计算行列式
的结果是_________．（其中
为虚数单位）
3．与双曲线
的渐近线相同，且经过点
的双曲线的方程是_________．
4．从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案共有__________种．（结果用数值表示）
5．已知函数
（
）的反函数为
，则函数
的图像经过的定点的坐标为 ．
6．在
的展开式中，
的系数是
，则实数
__________．
7．已知点
到直线
的距离不小于3，则实数
的取值范围是 .
8．类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于
点且单位长度相同）称为斜坐标系．在斜坐标系
中，若
（其中
分别为斜坐标系的
轴、
轴正方向上的单位向量，
），则点
的坐标为
.若在斜坐标系
中，
，点
的坐标为
，则点
到原点
的距离为.
9．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为
，则该圆锥的侧面积等于.
10．已知函数
是实数集
上的增函数，则实数
的取值范围为．
11.已知函数
，若将函数
的图像向左平移
个单位
，所得图像关于
轴对称，则实数
的取值集合为.
12.已知函数
若对任意
，都有
恒成立，则实数
的取值范围为.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知无穷等比数列
的各项之和为
，首项
，则该数列的公比为【】
A．
B．
C．
D．
或
．
14.设全集
，则
【】
A．
B．
C．
D．
．
15．两条相交直线
、
都在平面
内，且都不在平面
内．若有甲：
和
中至少有一条直线与
相交；乙：
平面
与平面
相交，则甲是乙的【】
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件．
16．若曲线
与曲线
恰有两个不同交点，则实数
的取值范围为【】
A．
B．
C．
D．
．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在正三棱柱
中,
异面直线
与
所成角的大小为
．
（1）求正三棱柱
的体积；
（2）求直线
与平面
所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在△
中，角
的对边分别是
，设向量
且
.
（1）求证：
；
（2）若
，试确定实数
的取值范围.
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角
始终为
（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设
.
（1）当三点
不共线时，求直角△
的周长；
（2）
设探照灯照射在正方形ABCD内部区域
的面积为S（平方百米），试求S的最大值.
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
如图,已知满足条件
（其中
为虚数单位）的复数
在复平面
对应点的轨迹为圆
（圆心为
）.设复平面
上的复数
对应的点为
，定直线
的方程为
，过
的一条动直线
与直线
相交于
点,与圆
相交于
两点，
是弦
中点.
（1）若直线
经过圆心
，求证：
与
垂直；
（2）当
时，求直线
的方程；
（3）设
试问
是否为定值？
若为定值，请求出
的值；若
不为定值，请说明理由.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）
已知数列
的通项公式为
，（
N*）．
（1）若
，
，
成等差数列，求
的值；
（2）是否存在
（
且
N*）与
，使得
，
，
成等比数列？
若存在，求出
的取值集合；若不存在，请说明理由；
（3）求证：
数列
中的任意一项
总可以表示成数列
中的其它两项之积．
2019届上海市静安区上学期期末教学质量检测
高三数学试题参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.0；2.
；3.
；4.60种；5．
；6．
7.
；8．
；9．
；10．
11.
；12.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.B；14.D；15.C；16．A．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：
（1）
是异面直线
与
所成的角，所以
=
………2分
因为
，所以
，………………4分
于是，三棱柱体积
………6分
（2）过B作BD
AC，D为垂足，则BD
平面
，
是直线
与平面
所成的角，………………8分
，（
），
所以直线
与平面
所成的角为
………………14分
（
，
）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：
（1）
且
，
………2分
又
即
又
中
或
即
或
……5分
若
，则
且
，
，
………………………………………………6分
（2）由
可得
………………8分
设
，则
，
………………10分
……………11分
在
上单调增
实数
的取值范围为（
（开区间）………………………………14分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：
（1）
，所以
，
；
因为点
不共线，所以
，
;
=
;………………5分
直角△
的周长=
=2………………6分
（2）
………………8分
………………12分
当
时，等号成立．………………13分
探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为
平方百米．……14分
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
解:
（1）由已知，圆心
……………………2分
则
.故
.
所以直线
与
垂直.…………………4分
（直线
经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为
）
（2）当直线
与
轴垂直时,易知
符合题意;………………5分
当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
.…………6分
由于
所以
………………7分
由
解得
.………………9分
故直线
的方程为
或
.………………10分
（3）当
与
轴垂直时,易得
又
，则
故
.………………11分
当
的斜率存在时,设直线
的方程为
代入圆的方程
得
.则
即
………13分
.又由
得
则
.
故
.
综上,
的值与直线
的斜率无关,且
.……16分
（3）另解:
连结
并延长交直线
于点
连结
由
（1）知
又
所以四点
都在以
为直径的圆上,由相交弦定理得
.……………16分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）
解：
（1）
，
，
，
∵
，
，
成等差数列，∴
，…………2分
化简得
∵
N*，∴
．……………………4分
（2）假设存在这样的
，
满足条件，
，
，
，
∵
，
，
成等比数列，∴
，………………6分
去分母,展开得
化简得
∵
N*，∴
，当
时,
;当
时,
；等等．……………………8分
一般的,设
则
.……9分
∵
N*，∴
需为36的公约数,
的取值集合为
（或者列举
）……………………11分
（3）即证存在
，
，使得
……………………12分
即证：
，
…………15分
令
，则
∴对任意
，
即数列中的任意一项
总可以表示成数列中的其它两项之积．
……………………18分
注:
直接构造出
与
亦可，例如：
，所以
.
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