完整word版新人教版高中数学课堂笔记必修一docx.docx
《完整word版新人教版高中数学课堂笔记必修一docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整word版新人教版高中数学课堂笔记必修一docx.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整word版新人教版高中数学课堂笔记必修一docx
第一章集合与函数概念
第一集合
一、集合有关概念
1.集合的含
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:
世界上最高的山
(2)元素的互异性如:
由HAPPY的字母成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:
{⋯}如:
{我校的球},{太平洋,大西洋,
印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的球},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实
数集R
1)列法:
{a,b,c⋯⋯}
2)描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
4)Venn:
4、集合的分:
有限集
含有有限个元素的集合
(1)
无限集
含有无限个元素的集合
(2)
空集
不含任何元素的集合
例:
{x|x2=-5}
二、集合的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
AB有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是
同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,作AB
或BA
2.“相等”关系:
A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相
等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
②真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,
记作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算交集并集补集
类型
定由所有属于A且由所有属于集合A
义属于B的元素所或属于集合B的元
组成的集合,叫做素所组成的集合,
A,B的交集.记叫做A,B的并
作AB(读作‘A集.记作:
AB(读交B’),即作‘A并B’),即
AB={x|xA,AB={x|xA,
设S是一个集合,A
是S的一个子集,由S中所有不属于
A的元素组成的集合,叫做S中子集A
的补集(或余集)
记作CSA,即
且xB}.或xB}).CSA=
{x|xS,且xA}
韦
A
B
A
B
恩
图1
图2
图
示
性A
A=A
A
A=A
A
Φ=Φ
A
Φ=A
S
A
(CuA)(CuB)
=Cu(AB)
AB=BAAB=BA(CuA)(CuB)
ABAABA=Cu(AB)
质ABBABBA(CuA)=U
A(CuA)=Φ.
第二节函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它
的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值
的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对
应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到
集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x
称为f、g的复合函数。
∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x
∈A)
第三节函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间
D内的任意两个自变量x1,x2,当x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1称为y=f(x)的单调减区间.
注意:
函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的
图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
1○任取x1,x2∈D,且x12○作差f(x1)-f(x2);
3○变形(通常是因式分解和配方);
4○定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5○下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数
的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”
注意:
函数的单调区间只能是其定义域的子区间
相同的区间和在一起写成其并集.
u=g(x),y=f(u)
不能把单调性
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—
f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
2○确定f(-x)与f(x)的关系;
3○作出相应结论:
若f(-x)=f(x)
或f(-x)-f(x)=0
,则f(x)
是偶函数;若
f(-x)=
-f(x)
或f(-x)+f(x)=0
,则
f(x)
是奇
函数.
注意:
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条
件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的
定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
4)消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1○利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
2利用图象求函数的最大(小)值
○
3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
○
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则
函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则
函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:
一般地,如果xn
a,那么x叫做a的n次方根,
其中n>1,且n∈N*.
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是
0,记作n
0
0。
当