第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第二节 平面向量的基本定理及坐标表示高考数学理总复习含答案.docx

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第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第二节平面向量的基本定理及坐标表示高考数学理总复习含答案

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示

【最新考纲】　1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量ɑ，有且只有一对实数λ1，λ2，使ɑ＝λ1e1＋λ2e2．

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量ɑ，有且只有一对实数x、y，使ɑ＝xi＋yj，把有序数对（x，y）叫做向量ɑ的坐标，记作ɑ＝（x，y）．

3．平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设ɑ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

ɑ＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），ɑ－b＝（x1－x2，y1－y2），

λɑ＝（λx1，λy1），|ɑ|＝

．

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标为向量的坐标．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），则

＝（x2－x1，y2－y1），|

|＝

．

4．平面向量共线的坐标表示

设ɑ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.ɑ∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

1．（质疑夯基）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）在△ABC中，

，

可以作为基底．（　　）

（2）在△ABC中，设

＝ɑ，

＝b，则向量ɑ与b的夹角为∠ABC.（　　）

（3）若ɑ，b不共线，且λ1ɑ＋μ1b＝λ2ɑ＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.（　　）

（4）若ɑ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则ɑ∥b的充要条件可以表示成

＝

.（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）√　（4）×

2．（2015·四川卷）设向量ɑ＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，则实数x＝（　　）

A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．6

解析：

∵ɑ∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.

答案：

B

3．已知平面向量ɑ＝（2，－1），b＝（1，3），那么|ɑ＋b|等于（　　）

A．5B.

C.

D．13

解析：

因为ɑ＋b＝（2，－1）＋（1，3）＝（3，2），

所以|ɑ＋b|＝

＝

.

答案：

B

4．已知向量ɑ＝（2，4），b＝（－1，1），则2ɑ－b＝（　　）

A．（5，7）B．（5，9）

C．（3，7）D．（3，9）

解析：

2ɑ－b＝（4，8）－（－1，1）＝（5，7）．

答案：

A

5．在下列向量组中，可以把向量ɑ＝（3，2）表示出来的是（　　）

A．e1＝（0，0），e2＝（1，2）

B．e1＝（－1，2），e2＝（5，－2）

C．e1＝（3，5），e2＝（6，10）

D．e1＝（2，－3），e2＝（－2，3）

解析：

由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B（事实上，ɑ＝（3，2）＝2e1＋e2）．

答案：

B

一个区别

在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量

＝ɑ，点A的位置被向量ɑ唯一确定，此时点A的坐标与ɑ的坐标统一为（x，y）．但表示形式与意义不同，如点A（x，y），向量ɑ＝

＝（x，y），向量坐标中既有大小信息又有方向信息．

两点提醒

1．若ɑ，b为非零向量，当ɑ∥b时，ɑ，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．

2．若ɑ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则ɑ∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0，不能表示成

＝

，因为x2，y2有可能等于0.

三个结论

1．若ɑ与b不共线，λɑ＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．已知

＝λ

＋μ

（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.

3．平面向量的基底中一定不含零向量．

一、选择题

1．已知点A（1，3），B（4，－1），则与向量

同方向的单位向量为（　　）

A.

　　　　　　B.