定积分证明题方法总结六篇.docx
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定积分证明题方法总结六篇
定积分证明题方法总结六篇
定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1）三角代换
2）根幂代换
3）倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法（反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1）比较定理：
若在同一区间[a,b]上，总有
f（x）>=g（x）,则>=（）dx
2）利用被积函数所满足的不等式比较之a）
b）当0可积。
●定理设f（x）在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质
●性质如果在区间[a,b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg（x）dx。
●推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。
●性质设m及m分别是函数f（x）在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf（x）dx≤m（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：
∫abf（x）dx=f（）（b-a）。
4、关于广义积分
设函数f（x）在区间[a,b]上除点c（a
定积分的应用
1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）
●直角坐标系下（含参数与不含参数）
●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）（扇形面积公式s=r2θ/2）
●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积v=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）
●平行截面面积为已知的立体体积（v=∫aba（x）dx,其中a（x）为截面面积）
●功、水压力、引力
●函数的平均值（平均值y=1/（b-a）*∫abf（x）dx）
一、不定积分的概念和性质
若f（x）f（x），则f（x）dxf（x）c，c为积分常数不可丢！
性质1f（x）dxf（x）或df（x）dxf（x）dx或
df（x）dxf（x）dx
性质2f（x）dxf（x）c或df（x）f（x）c
性质3[f（x）g（x）]dx
或[f（x）g（x）]dx
二、基本积分公式或直接积分法
基本积分公式f（x）dxg（x）dxg（x）dx；kf（x）dxkf（x）dx.f（x）dx
kdxkxc
xxdx1x1c（为常数且1）1xdxlnxcax
edxecadxlnacxx
cosxdxsinxcsinxdxcosxc
dxdx22tanxcsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxc
secxtanxdxsecxccscxcotxdxcscxc
dxarctanxcarccotx
c（）1x2arcsinxc（arccosxc）
直接积分法：
对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。
代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法：
1.第一类换元法（凑微分法）
g（x）dxf（（x））（x）dxf（（x））d（x）
注
（1）常见凑微分：
u（x）f（u）du[f（u）c]u（x）.
111dxd（axc）,xdxd（x2c）,2dc）,dxd（ln|x|
c）a2x1dxd（arctanx）d（arccotxd（arcsinx）d（arccosx）1+x2
（2）适用于被积函数为两个函数相乘的情况：
若被积函数为一个函数，比如：
e2xdxe2x1dx，若被积函数多于两个，比如：
sinxcosx1sin4xdx，要分成两类；
（3）一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成（x）；
（4）若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；
2.第二类换元法
f（x）dxx（t）f（（t））（t）dtf（（t））（t）dtt1（x）g（t）ct1（x）常用代换类型:
（1）对被积函数直接去根号;
（2）到代换x1;t
（3）三角代换去根号
x
atantxasect、
xasint（orxacost）
f（xdx，t
f（xx，x
asect
f（xx，xasint
f（xx，xatantf（ax）dx，ta
x
f（xx，t
三、分部积分法：
uvdxudvuvvduuvuvdx.
注
（1）u的选取原则：
按“反对幂三指”的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;
（2）uvdx要比uvdx容易计算；
（3）适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：
arcsinx1dx，
u
v
（4）多次使用分部积分法：
uu求导vv积分（t；
一、原函数
定义1 如果对任一xi，都有
f（x）f（x）或df（x）f（x）dx
则称f（x）为f（x）在区间i上的原函数。
例如：
（sinx）cosx，即sinx是cosx的原函数。
[ln（xx2）
原函数存在定理：
如果函数f（x）在区间i上连续，则f（x）在区间i上一定有原函数，即存在区间i上的可导函数f（x），使得对任一xi，有f（x）f（x）。
注1：
如果f（x）有一个原函数，则f（x）就有无穷多个原函数。
设f（x）是f（x）的原函数，则[f（x）c]f（x），即f（x）c也为f（x）的原函数，其中c为任意常数。
注2：
如果f（x）与g（x）都为f（x）在区间i上的原函数，则f（x）与g（x）之差为常数，即f（x）g（x）c（c为常数）
注3：
如果f（x）为f（x）在区间i上的一个原函数，则f（x）c（c为任意常数）可表达f（x）的任意一个原函数。
1x2，即ln（xx2）是1x2的原函数。
二、不定积分
定义2 在区间i上，f（x）的带有任意常数项的原函数，成为f（x）在区间i上的不定积分，记为f（x）dx。
如果f（x）为f（x）的一个原函数，则
f（x）dxf（x）c，（c为任意常数）
三、不定积分的几何意义
图5—1设f（x）是f（x）的一个原函数，则yf（x）在平面上表示一条曲线，称它为f（x）f（x）的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f（x）的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f（x）．
在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yf（x）c，再从中确定一个满足条件y（x0）y0（称为初始条件）的原函数yy（x）．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点（x0,y0）的积分曲线．
四、不定积分的性质（线性性质）
[f（x）g（x）]dxf（x）dxg（x）dx
k为非零常数）kf（x）dxkf（x）dx（
五、基本积分表
∫-ln|cscx|+c
∫tanxdx=-ln|cosx|+c=ln|secx|+c
∫secxdx=ln|cot（x/2）|+c
=（1/2）ln|（1+sinx）/（1-sinx）|+c
=-ln|secx-tanx|+c=ln|secx+tanx|+c
∫cscxdx=ln|tan（x/2）|+c
=（1/2）ln|（1-cosx）/（1+cosx）|+c
=-ln|cscx+cotx|+c=ln|cscx-cotx|+c
∫sec（x）dx=tanx+c
∫csc（x）dx=-cotx+c
∫secxtanxdx=secx+c
∫cscxcotxdx=-cscx+c
∫dx/（a+x）=（1/a）arctan（x/a）+c
∫dx/√（a-x）=arcsin（x/a）+c
∫dx/√（x+a）=ln|x+√（x+a）|+c
∫dx/√（x-a）=ln|x+√（x-a）|+c
∫√（x-a）dx=（x/2）√（x-a）-（a/2）ln|x+√（x-a）|+c∫√（x+a）dx=（x/2）√（x+a）+（a/2）ln|x+√（x+a）|+c∫√（a-x）dx=（x/2）√（a-x）+（a/2）arcsin（x/a）+c
六、第一换元法（凑微分）
设f（u）为f（u）的原函数，即f（u）f（u）或f（u）duf（u）c如果u（x），且（x）可微，则 df[（x）]f（u）（x）f（u）（x）f[（x）]（x）dx
即f[（x）]为f[（x）]（x）的原函数，或
f[（x）]（x）dxf[（x）]c[f（u）c]u（x）[f（u）du]因此有
定理1 设f（u）为f（u）的原函数，u（x）可微，则
f[（x）]（x）dx[f（u）du]
公式（2-1）称为第一类换元积分公式。
u（x）u（x） （2-1）
f[（x）]（x）dxf[（x）]d（x）[f（u）du]u（x）
1f（axb）d（axb）1[f（u）du]f（axb）dxuaxb
摘要:
结合实例分析介绍了不定积分的四种基本计算方法。
为使学生熟练掌握,灵活运用积分方法,本文将高等数学中计算不定积分的常用方法,简单进行了整理归类。
关键词:
积分方法 第一类换元法第二类换元法 分部积分法不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。
熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。
在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。
这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。
对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。
1直接积分法
直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。
直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。
一、原函数与不定积分的概念
定义1.设f（x）是定义在某区间的已知函数，若存在函数f（x），使得f（x）或df
f（x）
（x）f（x）dx
,则称f（x）为f（x）的一个原函数
定义2.函数
f（x）的全体原函数f（x）c叫做f（x）的不定积分，，记为:
f（x）dxf（x）c
f（x）叫做被积函数 f（x）dx叫做被积表达式c叫做积分常数
“
其中
”叫做积分号
二、不定积分的性质和基本积分公式
性质1.不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即
f（x）dxf（x）；df（x）dxf（x）dx.
性质2.函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即
f（x）dxf（x）c,
或df（x）f（x）c
性质3.非零的常数因子可以由积分号内提出来，即
kf（x）dxkf（x）dx
（k0）.
性质4.两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即
f（x）g（x）dxf（x）dxg（x）dx
基本积分公式
（1）kdxkxc（k为常数）
（2）xdx
1
1
x
1
c
（1）
1
（3）xlnxc
x
（4）exdxexc
（6）cosxdxsinxc（8）sec2xdxtanxc（10）secxtanxdxsecxc（12）secxdxlnsecxtanxc（14）（16）
11x
11x
2
（5）a
x
dx
a
x
lna
c
（7）sinxdxcosxc（9）csc2xdxcotxc
（11）
cscxcotxdxcscxc
（13）cscxdxlncscxcotxc（15）
1x
2
2
xarctanxc
xarcsinxc
xarcsinxc
三、换元积分法和分部积分法
定理1.设（x）可导，并且f（u）duf（u）c.则有
f[（x）]（x）dxf（u）c
凑微分
f[（x）]d（x）
令u（x）
f（u）du
代回u（x）
f（（x））c
该方法叫第一换元积分法（integrationbysubstitution），也称凑微分法．定理2.设x数f
（t）是可微函数且（t）0，若f（（t））（t）具有原函
（t），则
xt换元
fxdx
fttdt
积分
ftc
t
1
x
回代
1
fxc.
该方法叫第二换元积分法
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