架空输电线路电线拉力弧垂基础理论.docx
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架空输电线路电线拉力弧垂基础理论
架空输电线路
电线拉力&弧垂理论基础
李叔昆编
2012年3月
一、电线上的荷载
二、悬链线方程式
三、档距中的弧垂与线长
四、大气条件变化时电线中的应力与弧垂的变化――状态方程式
五、临界档距
六、临界温度
七、状态方程式的求解
八、电线力学特性表及安装表的计算
九、悬点不等高时档距中的应力、弧垂与线长
十、孤立档导线的应力和弧垂
一、电线上的荷载
架空线路的电线悬于大自然界空气中，要遭受外加荷载的作用，如冰雪、风，使电线的拉力发生变化。
外加荷载的作用是不均匀的，一般在计算中假定荷载的分布是均匀的。
在计算中，表明荷载的方式是比载（或单重）。
即单位长度（1m），单位截面（1mm2），电线上的负荷（kg）。
或采用单位长度上的荷载kg/m。
比载的分类及计算公式：
1）电线自重比载g1
g1＝W/Skg/m·mm2
式中
W－电线单重，（kg/m）;
S－电线截面，（mm2）。
2）冰层比载g2（当冰层比重为0.0009kg/cm3时）
g2＝0.00283b（d+b）/Skg/m·mm2
式中
b－电线上冰层厚度，（mm）;
d－电线直径，（mm）。
或
g2＝Πb（d+b）γ0/1000Skg/m·mm2
式中
γ0－电线上冰比重，（kg/cm3）；
Π－3.1416。
3）电线自重加冰重比载g3
g3＝g1+g2kg/m·mm2
4）作用于电线上风压的比载g4
g4＝0.0625αµscdV2×10-3/S---kg/m·mm2
风压p4＝0.0625αµscdV2×10-3………kg/m
式中
α－风速不均匀系数；见110-750设计规范p32；
µsc－体型系数见110-750设计规范p31；
V－风速，（基准高度为10m的风速）（m/S）；
p4－单位风压，kg/m。
5）有冰时作用于电线上风压的比载g5
g5＝0.0625αµscV2（d＋2b）10-3/S――kg/m·mm2
P5＝0.0625αµscV2（d＋2b）10-3-----kg/m
6）电线自重与风压综合比载g6
g6＝√（g12+g42）kg/m·mm2
7）电线自重与冰、风压综合比载g7
g7＝√（g32+g52）kg/m·mm2
二、
悬链线方程式
Yl
AB
◎
L1fd
Y2y2gs
hoT0Cy1
Ox1eX
如图，沿线荷载均匀分布，比载为g的电线，悬挂于AB两点之间，所形成的曲线称为悬链线。
其方程式一般用双曲线函数来表达：
y＝h0ch（x/h0）――――――――――①
L1＝h0sh（x/h0）―――――――――-②
式中
h0－电线最低点到X轴的距离；
ch、sh－分别为双曲余弦，双曲正弦函数符号。
当悬点AB等高时，oy轴的曲线是对称的。
B点电线上的拉力通过滑轮应与悬吊着的Be平衡，Be段的荷载（y2gs）与B点沿电线作用的拉力相等。
即
Tb＝y2gS
同理,d点
Te＝y1gS
可见，电线上任一点的拉力不等。
电线最低点的拉力为
T0＝h0gS
σ0＝h0g
h0＝σ0/g―――――――――――――②A
电线悬点与最低点的拉力差：
Tb－T0＝gS（y2－h0）＝gSf
σb－σ0＝gf
悬点应力
σb＝σ0＋gf―――――――――――③
式中
σ0－电线最低点应力，kg/mm2;
g－电线比载，kg/m·mm2；
S－电线截面积，mm2;
f－电线弧垂，m。
三、档距中的弧垂与线长
将①、②式用级数展开，取前1、2、3项
y＝σ0/g+x2g/1×2×σ0+x4g3/1×2×3×4σ03+······―――――④
L1＝x1+x13g2/1×2×3×σ20+x15g4/1×2×3×4×5σ04+······-－⑤
由前图所示，横坐标x＝l（档距）/2则④变为
y2＝σ0/g+l2g/2！
4σ0+l4g3/4！
16σ03+······――――-―⑥
又
y2＝h0＋f＝σ0/g＋f――――――――――――――――⑦
令⑥＝⑦
f＝l2g/8σ0+l4g3/384σ03+······―――――――――-―⑧
L＝2L1
L＝l+l3g2/24σ20+l5g4/3840σ04+······――――――-―⑨
忽略⑧⑨兩項右邊末項，即可得常用基本公式：
f＝l2g/8σ0―――――――――――――――――――-―⑩
L＝l+l3g2/24σ20―――――――――――――――――－⑾
式中
σ0－电线最低点应力，kg/mm2;
g－电线比载，kg/m·mm2；
L－檔距中的線長，m;
l－檔距，m；
f－电线弧垂，m。
四、大气条件变化时电线中的应力与弧垂的变化――状态方程式
当气温和电线上的荷载（风力、冰）改变时，电线中的应力和弧垂随之而改变。
状态方程式就是利用已知的条件（气温、荷载和应力）来求出某一工况下电线的应力的方程式。
为了保证线路安全可靠运行，一般在线路设计中，要按最少八种工况来计算电线外界条件（气温、荷载）改变后的拉力和弧垂。
即
1、最高气温：
计算电线的最大弧垂，检查电线对地面和跨越物的安全距离。
2、最低气温：
电线可能出现最大应力，检查绝缘子的上扬或杆塔上拔。
承力塔的张力差。
3、年平均气温：
电线的防震设计。
4、最大风速：
杆塔强度和稳定性的检查。
导线在塔上或档距中偏移后的安全距离。
5、正常覆冰：
杆塔强度和稳定性的检查。
电线的不平衡张力，导、地线在档距中的接近，跨越物安全距离的检查等。
6、雷电过电压：
线路的防雷设计。
7、操作过电压：
线路绝缘水平设计。
8、安装：
检查杆塔的安装条件。
（一）状态方程式的已知条件
为了得到条件变化后的应力和弧垂，一般需设定电线的起始（已知）条件，即三个要素：
气温、荷载、电线的应力。
1、电线的应力：
通常把电线的最大应力定为起始条件。
电线的破坏应力σb＝0.95Tb/S
电线的最大设计应力σm＝σb/n
式中
Tb－电线的额定拉断力，N；
S－电线的综合截面，mm2。
n－电线的安全系数。
电线的最大应力，在覆冰地区一般出现在电线覆冰时，在无冰地区一般出现在最大风速或最低气温时。
2、荷载：
电线的最大荷载
在覆冰地区一般出现在电线覆冰时，其综合比载为g7；
在无冰地区一般出现在最大风速时，其综合比载为g6。
3、气温：
在定型的气象条件表中，均确定了各种工况的同时气温。
按我省的气象条件分区：
覆冰的同时气温均为-5°C
最大风速为10°C
最低气温：
0－I级气象区为－5°C
II、III、IV级气象区为－10°C
V级气象区为－20°C
（二）状态方程式
公式
σ－Eg2L2/24σ2＝σm－Egm2L2/24σm－αE（t-tm）---------（12）
式中
σm－已知状态应力（如最大设计应力），kg/mm2;
gm－已知状态比载（如覆冰时的比载），kg/m-mm2;
tm－已知状态气温（如覆冰时气温），°C。
σ－待求状态应力，kg/mm2;
g－待求状态比载，kg/m-mm2;
t－待求状态气温（如覆冰时气温），°C。
L－档距；m；
E－电线的弹性模量，kg/mm2;
α－电线的温度线膨胀系数，1/°C。
状态方程式经代人化简后为：
σ－Eg2L2/24σ2＝σm－Egm2L2/24σm－αE（t-tm）
σ3－（σm－Egm2L2/24σm－αE（t-tm））σ2＝Eg2L2/24
令k1=σm－Egm2L2/24σm－αE（t-tm）
k2=Eg2L2/24
代人上式
σ3－k1σ2＝k2-------------------------------------（13）
此式为一三次方程式。
五、临界档距
架空线应力的控制条件有两个：
1）电线在最大荷载或最低气温时的应力不得超过最大设计应力；
2）电线在年平均气温时的应力不得超过年平均运行应力。
电线的控制应力与气象条件有关。
一般有以下几种情况：
1）最大设计应力－最低气温时
2）最大设计应力－最大风速时
3）最大设计应力－覆冰时
4）年平均运行应力－年平均气温时
以上四种情况，并不是在所有档距范围内都是控制条件，而是在某一档距范围内，仅由其中一种情况起控制作用。
当大于或小于该档距范围时，则由另一种情况控制，那么，这一档距就称为临界档距。
电线的控制应力可能出现在最大荷载、最低气温、年平均气温时,临界档距是判别电线控制应力出现在哪种情况的档距。
上述四种情况，两两组成六个临界档距：
首先按四种情况的g/σ值的大小，由小到大分别予以ABCD的编号。
1）最低气温－最大风
LAB＝σm√24α（t低-t风）/（g低2-g风2）――――（14）
2）最低气温－覆冰
LAC＝σm√24α（t低-t冰）/（g低2-g冰2）――――--（15）
3）最低气温－年平均气温
LAD＝√24/E（（（σ低-σ平）+24α（t低-t平）））/
（（g低/σ低）2-（g平/σ平）2））―――（16）
4）最大风－覆冰
LBC＝σm√24α（t风-t冰）/（g风2-g冰2）―――――（17）
5）最大风－年平均气温
LBD＝√24/E（（（σ风-σ平）+24α（t风-t平）））/
（（g风/σ风）2-（g平/σ平）2））―――-（18）
6）覆冰－年平均气温
LCD＝√24/E（（（σ冰-σ平）+24α（t冰-t平）））/
（（g冰/σ冰）2-（g平/σ平）2））―――--（19）
六个临界档距中，有的为虚数，有效的最多不会超过三个。
现将六个临界档距按下表排列
A
B
C
LAB
LAC
LAD
LBC
LBD
LCD
判别程序如下：
1）先看A栏内，各临界档距中有无零或虚数，只要有一个，则该栏被舍弃。
若无零或虚数的临界档距，则选取该栏中最小一个为有效的第一临界档距，其他临界档距可以舍去。
2）再看所选的第一临界档距注脚第二个字母所代表的栏进行判断。
若第一临界档距LAB，则对B栏进行判断；若第一临界档距LAC，则对C栏进行判断，此时，B栏临界档距全部被舍弃。
判断方法同1），选出第二临界档距。
。
3）根据上述原则，以此类推，直到最后一栏C。
通过上述的判断，最后得到一组有效的临界档距，将其标在横向数轴上如
A控制C控制D控制
0LACLCDL0
举例说明：
LGJ70导线，I级气象区，年均应力为25％破坏应力，计算并判断临界档距的控制范围。
已知：
导线破坏应力＝27kg/mm2
最大设计应力＝27/2.5＝10.8kg/mm2
导线平均应力＝0.25×27＝6.75kg/mm2
气象条件
最低气温
覆冰
最大风
年平均气温
风速（m/s）
0
10
30
0
冰厚（mm）
0
5
0
0
气温（°C）
-10
-5
15
15
（1）比载等参数表
出现控制应力的气象条件
控制应力σ（kg/mm2）
比载g
（kg/m-mm2）
气温
（°C）
g/σ（×10-3）
顺序代号
α（1/°C）
E（kg/mm2）
最低气温
10.8
g1=3.464×10-3
-10
0.321
A
19E-6
8000
年均气温
6.75
g1=3.464×10-3
15
0.513
B
覆冰
10.8
g7=6.699×10-3
-5
0.620
C
最大风速
10.8
g6=8.053×10-3
15
0.746
D
（2）临界档距计算
1）最低气温－年平均气温
LAB＝√24/E（（（σ低-σ平）+24α（t低-t平）））/
（（g低/σ低）2-（g平/σ平）2））
=√24/8000（（（10.8-6.75）+24×19×10-3（-10-15）））/
（（3.464×10-3/10.8）2-（3.464×10-3/6.75）2））
=虚数
2）最低气温－覆冰
LAC＝σm√24α（t低-t冰）/（g低2-g冰2）
=10.8m√24×19×10-6（-10+5）/（3.4642×10-6-6.6992×10-6）
=90m
3）最低气温－最大风
LAD＝σm√24α（t低-t风）/（g低2-g风2）
=10.8m√24×19×10-6（-10-15）/（3.4642×10-6-8.0532×10-6）
=159m
4）年平均气温-覆冰
LBC＝√24/E（（（σ平-σ冰）+24α（t平-t冰）））/
（（g平/σ平）2-（g冰/σ冰）2））
=√24/8000（（（6.75-10.8）+24×19×10-3（15+5）））/
（（3.464×10-3/6.75）2-（6.699×10-3/10.8）2））
=158m
5）年平均气温-最大风
LBD＝√24/E（（（σ平-σ风）+24α（t平-t风）））/
（（（g平/σ平）2-（g风/σ风）2））
=√24/8000（（（6.75-10.8）+24×19×10-3（15-15）））/
（（3.464×10-3/6.75）2-（8.053×10-3/10.8）2））
=204m
6）覆冰-最大风
LCD＝σm√24α（t冰-t风）/（g冰2-g风2）
=10.8m√24×19×10-6（-5-15）/（6.6992×10-6-8.0532×10-6）
=231m
（3）控制条件的判断
列出临界档距控制条件判断表
A
B
C
LAB＝虚数
LAC＝90
LAD＝159
LBC＝158
LBD＝204
LCD＝231
有效临界档距的选取
1）先看A栏内，因LAB＝虚数，则该栏被舍弃。
2）B栏进行判断，选出最小的临界档距LBC＝158为第一有效临界档距，并舍弃较大的临界档距LBD＝204。
3）因第一有效临界档距LBC其注脚BC的第二个字母为C，故转到C栏选取另一个有效临界档距。
由于C栏只有一个临界档距，故
档距即为第二有效临界档距LCD＝231。
通过上述的判断，最后得到一组有效的临界档距，将其标在横向数轴上如
年均气温覆冰最大风速
B控制C控制D控制
0LBCLCDL0
158m231m
从图可知，应力控制为三种情况：
年均气温、覆冰、最大风速，临界档距为158m、231m。
六、临界温度
电线的最大弧垂可能出现在最大荷载时,也可能出现在最高气温时,临界温度是判别电线最大弧垂出现在哪种情况的温度。
临界温度公式
Θk＝Θ冰+（σ3/αE）×（1-g1/g3）-------------（20）
式中
Θk－临界温度，°C;
Θ冰－电线覆冰时气温＝-5°C；
σ3－电线覆冰（无风）时应力，kg/mm2;
α－电线的温度线膨胀系数，1/°C。
E－电线的弹性模量，kg/mm2;
g1－电线自重比载，kg/m-mm2;
g3－电线自重加冰重比载，kg/m-mm2;
判别：
当最高温度超过临界温度时，电线的最大弧垂出现在最高气温；当最高温度低于临界温度时，电线的最大弧垂出现在正常覆冰。
七、状态方程式的求解
从前述可知，状态方程式σ3－k1σ2＝k2为一三次方程式。
三次方程式的解法，现介绍两种：
（1）迭代法
方程式σ3－k1σ2＝k2中，k1、k2在导线、气象区确定的情况下为常数。
则方程式变为
σ＝√k2/（σ-k1）――――――――――――（21）
1当采用手工求解时，可假定一个初值，反复试探，直到用公式算出的数字，与假定的数字相等时，即为所求的值。
②当采用计算机求解时，可先确定一个允许的误差值，然后编程循环迭代，当其误差等于允许的误差值时，σ值即为所求值。
（2）卡当法
标准方程式
Y3-k3y2-k1＝0
式中
k1、k3－常数
令
A＝k1k33/27+k12/4
B＝k33/27+k1/2
则方程式的解为
当A≥0时y＝（B+√A）1/3+（B-√A）1/3+k3/3――――（22）
当A<0时y＝-k3（2cos（Q/3）-1）/3―――――――-（23）
式中
当B>0时Q＝tg-1（√（-A）/B）
当B=0时Q＝90°
当B<0时Q＝180°+tg-1（√（-A）/B）
1-为一。
八、电线力学特性表及安装表的计算
电线力学特性表和安装表的计算，已根据状态方程式编程，只要输入电线的牌号、气象条件及计算的档距范围，即可在计算机中一次完成。
但有时也会需要手工计算，现介绍如下。
（1）电线力学特性表的计算
根据状态方程式
σ－Eg2L2/24σ2＝σm－Egm2L2/24σm2－αE（t-tm）
弧垂公式
f＝L2g/8σ0
式中
L－档距，m。
设定已知情况（方程式右边，红色者）求解欲求情况。
以电线的牌号（各种参数）、工况（不同的比载、气温）为方程式中的参量，档距为自变量，求解电线在各种工况、档距下对应的应力和弧垂。
（2）安装表的计算
设定已知情况（方程式右边，红色者）求解欲求情况。
以电线的牌号（各种参数）、气温为方程式中的参量，档距为自变量，求解电线在各种气温（无风）、档距下对应的应力和弧垂。
九、悬点不等高时档距中的拉力、弧垂与线长
（1）悬点不等高时的状态方程式
在高差较大时
σ－Eg2L2COS3φ/24σ2＝σm－Egm2L2COS3φ/24σm2－αECOSφ×（t-tm）――-----------------------（24）
式中
φ－悬点高差角；
L－档距，m。
其余与前同。
（2）悬点不等高时的弧垂公式
f＝l2g/8σ0COSφ------------------（25）
斜抛物线公式与悬链线即便在高差很大时也较接近，但平抛物线公式相差就较大了。
因此，在悬点高差较大时，建议用斜抛物线公式。
档距中任一点的弧垂公式
f＝x（l-x）g/8σ0COSφ--------------（26）
式中
X－距悬点的距离，m；
l－档距，m。
（3）悬点不等高时的线长公式
悬链线近似公式与精确公式差别甚小，因此，建议用悬链线近似公式计算线长。
L＝1/COSφ+l3g2COSφ/24σ2-----（27）
式中
l-档距，m；
L-线长,m。
（4）悬点应力公式
①已知最低点水平应力求高悬点应力
σA=σ0+g2L2/8σ0cosφ+σ0cosφ（h/L）2/2+gh/2―――（28）
②已知高悬点应力求最低点水平应力
σ0=[（σA-gh/2）+√（（σA-gh/2）2-g2L2（1+h2cosφ/2L2）/2cosφ）]/
2（1+h2cosφ/2L2）―――――――――――――（29）
式中
L－档距（仅对28、29两式，1为一），m;
h－悬点高差，m；
φ－高差角，°；
g－比载，kg/m-mm2;
σA－高悬点应力，kg/mm2；
σ0－最低点水平应力，kg/mm2。
十、孤立档导线的应力和弧垂
当孤立档的档距较小，同时绝缘子串的重量较大时，为避免较大的误差，计算孤立档的弧垂、应力时，应考虑绝缘子串重量的影响。
需要按孤立档计算的边界条件建议按下范围进行：
线路孤立档：
钢芯铝绞线轻型300～500档距在225m以下
正常型185～240“150m以下
“95～150“125m以下
变电所进出线孤立档：
钢芯铝绞线轻型300～500档距在200m以下
正常型95～240“100m以下
（1）孤立档的临界档距
临界档距＝（σm/COSφ）√24α（ta-tb）/（ga2-gb2）k2
式中―――――――（30）
σm－导线最大应力，kg/mm2；
COSφ－高差角余弦；
α－导线的温度线膨胀系数，1/°C；
ta－状态A气温，°C；
tb－状态B气温，°C；
ga－状态A比载，kg/m-mm2;
gb－状态B比载，kg/m-mm2;
k2－两端有绝缘子串时比载增大系数。
（2）孤立档的状态方程式
①档距两端有绝缘子串时（架线后竣工情况）
σ2A-L2gA2COS3φEk2A/24σ2A2=σ2B-L2gB2COS3φEk2B/24σ2B2-αECOSφ×（tA-tB）---――――---------（31）
②档距一端有绝缘子串时（观测弧垂情况）
σ1A-L2gA2COS3φEk1A/24σ1A2=σ2B-L2gB2COS3φEk2B/24σ2B2-αECOSφ×（tA-tB）---------------------（32）
式中
σ2A、σ2B-两端有绝缘子串，两种情况下应力，kg/mm2；
k2A、k2B-两端有绝缘子串，两种情况下，比载增大系数；
k1A-一端有绝缘子串，A种情况下，比载增大系数；
（3）孤立档的弧垂
1档距两端有绝缘子串时（架线后竣工情况）
档距中任一点的弧垂：
fx=[（x（L-x）-λ2（COS2φ）/2σ0COSφ）]g+g0λ2COSφ/2σ0
----------------（33）
档距中点的弧垂：
fm=（L2g/8σ0COSφ）[1+（g0/g-1）（2λCOSφ/L）2]-----（34）
式中
g-导线比载，kg/m-mm2;
g0=G/λS---绝缘子串比载，kg/m-mm2;
G-绝缘子串重量，kg;
λ-绝缘子串长度，m;
S-导线截面，mm2；
L-档距（33、34中），m。
2档距一端有绝缘子串时（观测弧垂情况）
档距中任一点的弧垂：
fx=（（L-x）/2σ0LCOSφ）[（xL-λ2COS2φ）g+g0λ2COS2φ]--（35）
档距中点的弧垂：
fm=（L2g/8σ0COSφ）[1+（g0/g-1）（2λCOSφ/L）2]2------（36）
（4）绝缘子比载增大系数
k1=1+（λCOSφ/L）2[6-3（g0/g-1）（λCOSφ/L）2+4（λCOSφ/L）（g0/g-2）]（g0/g-1）-----------------------------------（37）
k2=1+（2λCOSφ/L）2（g0/g-1）（3+（g0/g）（2λCOSφ/L）-
2（2λCOSφ/L））-------------------------------------（38）
式中
L－档距（31～38式中，1为一），m
END
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