与名师对话文 两角和与差的正弦余弦正切公式.docx

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与名师对话文两角和与差的正弦余弦正切公式

第三节　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

高考概览：

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

[知识梳理]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

（2）cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ；

（3）sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

（4）sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ；

（5）tan（α＋β）＝；

（6）tan（α－β）＝.

2．二倍角公式

（1）sin2α＝2sinαcosα；

（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

（3）tan2α＝.

[辨识巧记]

　四个必备结论

（1）降幂公式：

cos2α＝，sin2α＝.

（2）升幂公式：

1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

（3）公式变形：

tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）．

（4）辅助角公式：

asinx＋bcosx＝sin（x＋φ）

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（　　）

（2）存在实数α，β，使等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立．（　　）

（3）公式tan（α＋β）＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ），且对任意角α，β都成立．（　　）

（4）存在实数α，使tan2α＝2tanα.

[答案]　

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）√

2．（2018·全国卷Ⅲ）若sinα＝，则cos2α＝（　　）

A.B.C．－D．－

[解析]　cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.

[答案]　B

3．（2018·贵阳市高三监测）sin415°－cos415°＝（　　）

A.B．－C.D．－

[解析]　sin415°－cos415°＝（sin215°－cos215°）（sin215°＋cos215°）＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－.故选D.

[答案]　D

4．（2019·成都市一诊）已知sinα＝，α∈，则cos（2α＋）的值为（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　∵sinα＝，α∈，∴cosα＝，

sin2α＝2sinαcosα＝2××＝＝，

cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝1－＝，

∴cos＝×－×＝.故选A.

[答案]　A

5．（必修4P137A组T5改编）已知cos＝－，则cosα＝________.

[解析]　∵<α<π，∴<＋α<π，

∵cos＝－，∴sin＝，

∴cosα＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×

＝.

[答案]　

考点一　三角公式的基本应用

【例1】　

（1）若sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝，则的值为（　　）

A．5B．－1C．6D.

（2）对于锐角α，若sin＝，则cos＝（　　）

A.B.C.D．－

[解析]　

（1）由题意知sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，所以＝5，即＝5，故选A.

（2）由α为锐角，且sin＝，可得

cos＝，则cos＝cos[＋]＝cos（α－）cos－sinsin＝×－×＝，于是cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，故选D.

[答案]　

（1）A　

（2）D

已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系（从三角函数名及角入手），最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值．

[对点训练]

1．若cos＝，则sin2α＝（　　）

A.B.C．－D．－

[解析]　解法一：

cos＝

2cos2－1＝2×2－1＝－，

且cos＝cos＝sin2α，故选D.

解法二：

由cos＝，得cosα＋sinα＝，即（cosα＋sinα）＝，

两边平方得（cos2α＋sin2α＋2cosαsinα）＝，

整理得2sinαcosα＝－，即sin2α＝－，故选D.

[答案]　D

2．（2019·广西桂林第一次联考）已知cos＝sin2x，x∈（0，π）则tan等于（　　）

A.B．－C．3D．－3

[解析]　由cos＝sin2x得sin2x＝sin2x，∵x∈（0，π），∴sinx≠0，∴tanx＝2，∴tan＝＝.故选A.

[答案]　A

考点二　三角公式的逆用与变形应用

【例2】　

（1）（2019·河北名师俱乐部模拟）已知θ∈，且sin＝，则＝（　　）

A.B.C.D.

（2）（2018·浙江绍兴诸暨中学期中）＝________.

[解析]　

（1）由sin＝，∵θ∈，

∴0<－θ<，∴cos＝.

＝

＝＝

＝2cos＝.故选D.

（2）原式＝

＝＝＝－4.

[答案]　

（1）D　

（2）－4

　三角函数公式活用技巧

（1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．

（2）tanαtanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．

（3）注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．

[对点训练]

1．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为（　　）

A．－B.C.D．－

[解析]　由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得

＝－1，即tan（A＋B）＝－1，又A＋B∈（0，π），

所以A＋B＝，则C＝，cosC＝.故选B.

[答案]　B

2．（2019·河南六市一联）已知cos＋sinα＝，则sin的值是（　　）

A．－B.C.D．－

[解析]　由cos＋sinα＝，可得cosα＋sinα＋sinα＝，即sinα＋cosα＝，

∴sin＝，sin＝，

∴sin＝－sin＝－.故选D.

[答案]　D

考点三　角的变换

【例3】　

（1）已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan（α－β）＝－，求cosβ的值．

（2）（2018·江西临川第二中学月考）已知cos＝，求sin的值．

[思路引导]　

（1）→

→

（2）→

[解]　

（1）∵α，β∈，

从而－<α－β<.又∵tan（α－β）＝－<0，

∴－<α－β<0.∴sin（α－β）＝－.

cos（α－β）＝.

∵α为锐角，且sinα＝，∴cosα＝.

∴cosβ＝cos[α－（α－β）]

＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）

＝×＋×＝.

（2）sin＝sin

＝cos＝cos

＝2cos2－1＝2×2－1＝－.

　利用角的变换求三角函数值的策略

（1）当“已知角”有两个时：

一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；

（2）当“已知角”有一个时：

此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

[对点训练]

1．已知tan（α＋β）＝1，tan＝，则tan的值为（　　）

A.B.C.D.

[解析]　tan＝tan＝＝＝.故选B.

[答案]　B

2．（2018·福建师大附中检测）若sin＝，则cos＝（　　）

A．－B．－C.D.

[解析]　cos＝cos

＝－cos＝－＝－.故选A.

[答案]　A

课后跟踪训练（二十一）

基础巩固练

一、选择题

1．（2019·四川内江一模）sin20°cos40°＋cos20°sin140°＝（　　）

A．－B.C．－D.

[解析]　sin20°cos40°＋cos20°sin140°＝sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝sin（20°＋40°）＝sin60°＝.故选B.

[答案]　B

2．（2018·陕西榆林二模）已知＝3cos（2π＋θ），|θ|<，则sin2θ＝（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　因为＝3cos（2π＋θ），所以＝3cosθ.又|θ|<，故sinθ＝，cosθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝，故选C.

[答案]　C

3．（2019·福建福州期末）cos15°－4sin215°cos15°＝（　　）

A.B.C．1D.

[解析]　cos15°－4sin215°cos15°＝cos15°－2sin15°·2sin15°·cos15°＝cos15°－2sin15°sin30°＝cos15°－sin15°＝2cos（15°＋30°）＝，故选D.

[答案]　D

4．（2019·山东济宁期末）已知cos＝，

则sin＝（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　∵cos＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴－<α<0，∴cosα＝.∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝－×＋×＝.故选A.

[答案]　A

5．已知θ∈，tan＝－，那么sin的值为（　　）

A.B.C．－D．－

[解析]　解法一：

由tan＝－，得＝－，则tanθ＝－，又θ∈，所以cosθ＝－，sinθ＝，所以sin（θ＋）＝sinθcos＋cosθsin＝×－×＝－，故选C.

解法二：

由θ∈，得θ－∈，又tan＝－，所以θ－∈，所以cos＝－，sin＝sin

＝cos＝－，故选C.

[答案]　C

二、填空题

6．已知cosθ＝－，θ∈，则sin的值为________．

[解析]　由cosθ＝－，θ∈得sinθ＝－＝－，故sin＝sinθcos－cosθsin＝－×－×＝.

[答案]　

7．化简：

＝________.

[解析]　原式＝

＝＝2cosα.

[答案]　2cosα

8．已知cos＝－，则cosx＋cos＝________.

[解析]　cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝cos＝×＝－1.

[答案]　－1

三、解答题

9．已知tanα＝2.

（1）求tan的值；

（2）求的值．

[解]　

（1）tan＝

＝＝－3.

（2）

＝

＝

＝＝＝1.

10．（2019·河北调研）已知α∈，且sin＋cos＝.

（1）求cosα的值；

（2）若sin（α－β）＝－，β∈，求cosβ的值．

[解]　

（1）由sin＋cos＝得1＋sinα＝，所以sinα＝，因为α∈，所以cosα＝－.

（2）由题意知α－β∈，因为sin（α－β）＝－，所以cos（α－β）＝，所以cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝－×＋×

＝－.

能力提升练

11．（2019·广州市高三第二次综合测试）若α，β为锐角，且cos＝sin，则（　　）

A．α＋β＝B．α＋β＝

C．α－β＝D．α－β＝

[解析]　因为α，β为锐角，所以0<α<，0<β<，则－<－α<，<＋β<，故cos>0，所以sin>0，即<＋β<π，cos＝sin＝sin＝sin，又<＋α<，所以＋α＝＋β，即α－β＝，故选C.

[答案]　C

12．（2019·江西宜春丰城中学段考）已知sinα＋＋sinα＝－，－<α<0，则cos等于（　　）

A.B．－C．－D.

[答案]　D

13．设α为锐角，若cos＝，则sin＝________.

[解析]　∵α为锐角，cos＝为正数，

∴α＋是锐角，sin＝.

∴sin＝sin

＝sincos－cossin

＝×－×＝.

[答案]　

14．（2019·湖北百所重点中学联考）设α∈，满足sinα＋cosα＝.

（1）求cos的值；

（2）求cos的值．

[解]　

（1）由sinα＋cosα＝，

得2＝，

∴sin＝.又α∈，∴cos>0，

∴cos＝＝＝.

（2）由

（1）可得cos2＝1－2sin2

＝1－2×2＝，

sin2＝2sincos＝2××＝.

∴cos＝cos

＝cos2cos＋sin2sin

＝×＋×＝.

拓展延伸练

15.－＝（　　）

A．4B．2C．－2D．－4

[解析]　－＝－

＝＝

＝－＝－4.故选D.

[答案]　D

16．已知A，B都是锐角，若（1＋tanA）（1＋tanB）＝4，则A＋B＝________.

[解析]　由（1＋tanA）（1＋tanB）＝4得

（1＋tanA）（1＋tanB）＝1＋（tanA＋tanB）＋3tanA·tanB＝4，

所以tanA＋tanB＝－tanAtanB，

所以tan（A＋B）＝＝，又因为A，B都是锐角，且tan（A＋B）>0，所以A＋B＝.

[答案]