高等代数第6部分习题参考答案.docx

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第六章线性空间

1.设证明：

。

证任取由得所以即证。

又因故。

再证第二式，任取或但因此无论哪一种情形，都有此即。

但所以。

2.证明，。

证则在后一情形，于是所以，由此得。

反之，若，则在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故

于是。

若。

在前一情形X，。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2）设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；

3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；

4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；

5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

；

7）集合与加法同6），数量乘法定义为：

；

8）全体正实数r，加法与数量乘法定义为：

，；

解1）否。

因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如

。

2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}

因为

f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）

所以

f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。

下面仅对反对称矩阵证明：

当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有

，A+B仍是反对称矩阵。

，所以kA是反对称矩阵。

故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。

例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。

5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，-b）。

对于数乘：

即。

＝，

＝

＝

＝

＝，

即，所以，所给集合构成线性空间。

6）否，因为。

7）否，因为，

所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足

所以，所给集合构成线性空间。

4在线性空间中，证明：

1）2）。

证1）。

2）因为。

5证明：

在实函数空间中，1，式线性相关的。

证因为，所以1，式线性相关的。

6如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。

证若有不全为零的数使，

不妨设则，这说明的公因式也是的因式，即有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以线性无关。

7在中，求向量在基下的坐标。

设

1）；

2）。

解1）设有线性关系，则，

可得在基下的坐标为。

2）设有线性关系，则，

可得在基下的坐标为。

8求下列线性空间的维数于一组基：

1）数域P上的空间P；2）P中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3）第3题8）中的空间;4）实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=。

解1）的基是且。

2）i）令，即其余元素均为零,则是对称矩阵所成线性空间的一组基,所以是维的。

ii）令，即其余元素均为零,则是反对称矩阵所成线性空间的一组基,所以它是维的。

iii）是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是维的。

3）任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数,可经2线性表出，即.,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。

4）因为,,所以，

于是，而。

9.在中,求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。

设

，，

在下的坐标；

，，

在下的坐标；

，，

在下的坐标；

解（）=（）=（）A

这里A即为所求由基到的过渡矩阵，将上式两边右乘得，

得（）=（），

于是

（）=（），

所以在基下的坐标为

，

这里=。

令则

（）=（）=（）A，

（）=（）=（）B，

将（）=（）代入上式,得

（）=（）B，

这里

=,B=，

且即为所求由基到基的过渡矩阵，进而有

=（）=（）

=（），

所以在下的坐标为。

同，同理可得

A=B=

=

则所求由到的过渡矩阵为

B=。

再令+b+c+d，即

，

由上式可解得在下的坐标为下的坐标为

。

10．继第9题1）求一非零向量，它在基与下有相同的坐标。

解设在两基下的坐标为，则

=（）=（）。

又因为

（）=（）=（）A，

所以

=A（A-E）=0。

又

，

于是只要令

，

解此方程组得

=（c为任意非零常数），

取c为某个非零常数，则所求为

。

11.证明：

实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。

证因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。

12.设都是线性空间的子空间，且，证明：

如果的维数与的维数相等，那么。

证设dim（）=r，则由基的扩充定理，可找到的一组基，因，且它们的唯数相等，故，也是的一组基，所以=。

13．。

1）证明：

全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；

2）当A=E时，求C（A）；

3）当A=时，求C（A）的维数和一组基。

证1）设与A可交换的矩阵的集合记为C（A）。

若B,D属于C（A），可得

A（B+D）=AB+AD=BA+DA=（B+D）A，

故B+DC（A）。

若k是一数，B，可得

A（kB）=k（AB）=k（BA）=（kB）A，

所以kBC（A）。

故C（A）构成子空间。

2）当A=E时，C（A）=。

3）设与A可交换的矩阵为B=（），则B只能是对角矩阵，故维数为n,即为它的一组基。

14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。

解若记

A=，

并设B=与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。

且由

SB=，

BS==，

可是，

又，

即，

该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。

取自由未知量a,，并

令b=1，其余为0，得=3,a=3;

令=1，其余为0，得=3,a=;

令=1，其余为0，得=1,a=1;

令=1，其余为0，得=0,a=;

令=1，其余为0，得=1,a=1;

则与A可交换的矩阵为

B=，

其中,a,可经b,表示,所求子空间的一组基为

,,,，

且维数为5。

15．如果且，证明：

L=L。

证由，知所以a可经线性表出，即可经线性表出，同理，也可经线性表出。

故L=L。

16．在中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。

设

1），。

解1）的一个极大线性无关组，因此为L的一组基，且的维数是3。

2）的一个极大线性无关组为，故是L的一组基，且维数为2。

17．在中，由齐次方程组

确定的解空间的基与维数。

解对系数矩阵作行初等变换，有

所以解空间的维数是2，它的一组基为

，。

18.求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基与维数，设

1）；

2）；

3）。

解1）设所求交向量，

则有，

即，

可算得，且，

因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。

任取一非零解＝，得一组基，

所以它们的交L是一维的，就是其一组基。

2）设所求交向量，

则有，

因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即从而

交的维数为0。

3）设所求交向量为，

即，

由知解空间是一维的，因此交的维数是1。

令，可得，因此交向量就是一组基。

19．设与分别是齐次方程组的解空间，证明：

证由于的解空间是你n－1维的，其基为而由

知其解空间是1维的，令则其基为且即为的一组基，从而又，故。

20．证明：

如果那么。

证由题设知因为所以

，又因为所以

故，即证。

21.证明：

每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。

证设是n维线性空间V的一组基。

显然都是V的一维子空间，且＝V，又因为

，

故。

22．证明：

和是直和的充分必要条件是。

证必要性是显然的。

这是因为，所以

。

充分性设不是直和，那么0向量还有一个分解，

其中。

在零分解式中，设最后一个不为0的向量是则，即，

因此，这与矛盾，充分性得证。

23.再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成

一个三维线性空间R。

1）问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？

2）设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间

问能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;

3）就用该三维空间的例子来说明，若U,V,X,Y是子空间，满足U+V＝X，XY，是否一定有。

解1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在

不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。

2）；

（1）直线与重合时，是一维子空间；

（2）与不重合时，时二维子空间。

：

（1）重合时，构成一维子空间；

（2）在同一平面上时，构成二维子空间；

（3）不在同一平面上时，构成三维子空间。

3）令过原点的两条不同直线，分别构成一维子空间U和V，X＝U＋V是二维子空间，在，决定的平面上，过原点的另一条不与，相同的直线构成一维子空间Y，显然因此，

故并不成立。

二．补充题参考解答

1．1）证明：

在P[x]中，多项式

（i＝1，2，…，n）是一组基，其中是互不相同的数；

2）在1）中，取是全体n次单位根，求由基1，到基的过渡矩阵。

证1）设，将代入上式，得

，

于是＝0。

同理，将分别代入，可得

，

所以线性无关。

而P[x]是n维的，故是P[x]的一组基。

2）取为全体单位根则

，

，

...........................................................

，

故所求过渡矩阵为。

2．设是n维线性空间V的一组基，A是一个n×s矩阵，且，

证明：

的维数等于A的秩。

证只需证的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。

设，

且。

不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条件得，

可证构成，的一个极大线性方程组。

事实上，设，

于是得，

因为线性无关，所以，

该方程组的系数矩阵秩为故方程组只有零解，于是

线性无关。

其