人教版八年级数学下册182 专题训练 特殊平行四边形的性质与判定含答案.docx

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人教版八年级数学下册182专题训练特殊平行四边形的性质与判定含答案

18．2专题训练特殊平行四边形的性质与判定

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：

四边形ADBE是矩形．

2．在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：

四边形ABMD是菱形．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.

（1）求证：

四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？

并说明理由．

4．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.

（1）求证：

四边形BFDE是矩形；

（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：

AF是∠DAB的平分线．

5．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．

（1）当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；

（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？

并说明理由．

6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.

（1）求证：

四边形EBFC是菱形；

（2）如果∠BAC＝∠ECF，求证：

AC⊥CF.

7．如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：

四边形AMEN是菱形．

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.

（1）判断△BEC的形状，并说明理由；

（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？

并证明你的判断．

9．如图，在▱ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：

四边形DFBE是矩形．

10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．

（1）求证：

四边形PBQD为平行四边形；

（2）若AB＝3cm，AD＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为ts，问四边形PBQD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

11．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.

图1图2

（1）求证：

四边形AFCE是平行四边形；

（2）如图2，若BE⊥EC，求证：

四边形ABFE是菱形．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

（1）求证：

四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.

（1）求证：

CE＝AD；

（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？

说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？

请说明你的理由．

14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．

（1）求证：

△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝20°时，四边形BFDE是正方形．

15．已知：

如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OF.

（1）求证：

△BCE≌△DCF；

（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？

请说明理由．

16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.

（1）求证：

AD＝BC；

（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：

线段EF与线段GH互相垂直平分．

17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：

四边形ADCF是菱形．

18．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：

（1）∠CEB＝∠CBE；

（2）四边形BCED是菱形．

19．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.

（1）求证：

D是BC的中点；

（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

20．已知：

如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：

四边形EFGH为矩形．

参考答案

18．2专题训练特殊平行四边形的性质与判定

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：

四边形ADBE是矩形．

解：

∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC.

∴∠ADB＝90°.

又∵四边形ADBE是平行四边形，

∴四边形ADBE是矩形．

2．在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：

四边形ABMD是菱形．

证明：

∵AB∥DM，

∴∠BAM＝∠AMD.

由折叠性质得：

∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.

∴∠DAM＝∠AMD.

∴DA＝DM＝AB＝BM.

∴四边形ABMD是菱形．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.

（1）求证：

四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？

并说明理由．

解：

（1）证明：

∵点O为AB的中点，

∴OA＝OB.

又∵OE＝OD，

∴四边形AEBD是平行四边形．

∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.

∴四边形AEBD是矩形．

（2）当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：

∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

∴BD＝CD.

又∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD.

∴矩形AEBD是正方形．

4．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.

（1）求证：

四边形BFDE是矩形；

（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：

AF是∠DAB的平分线．

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

又∵CF＝AE，

∴BE＝DF.

又∵BE∥DF，

∴四边形BFDE为平行四边形．

∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.

∴四边形BFDE是矩形．

（2）∵四边形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.

在Rt△BFC中，由勾股定理，得

BC＝

＝

＝10.

∴AD＝BC＝10.

又∵DF＝10，∴AD＝DF.

∴∠DAF＝∠DFA.

∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.

∴∠DAF＝∠FAB.

∴AF是∠DAB的平分线．

5．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．

（1）当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；

（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？

并说明理由．

解：

（1）理由：

∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.

由题意，得EF＝

AC，EH＝

BD，GH＝

AC，GF＝

BD，

∴EF＝EH＝GH＝GF.

∴四边形EFGH是菱形．

（2）当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由：

∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，

∴EF∥AC，EF＝

AC.

同理：

EH∥BD，EH＝

BD，GF＝

BD，GH＝

AC.

又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.

∴四边形EFGH是菱形．

∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.

∴四边形EFGH是正方形．

6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.

（1）求证：

四边形EBFC是菱形；

（2）如果∠BAC＝∠ECF，求证：

AC⊥CF.

证明：

（1）∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC.

又∵FH＝EH，

∴四边形EBFC是平行四边形．

又∵AH⊥BC，

∴四边形EBFC是菱形．

（2）∵四边形EBFC是菱形，

∴∠ECH＝∠FCH＝

∠ECF.

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴∠CAH＝

∠BAC.

∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCH.

∵AH⊥BC，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.

∴∠FCH＋∠ACH＝∠ACF＝90°.

∴AC⊥CF.

7．如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：

四边形AMEN是菱形．

证明：

∵MG∥AD，NF∥AB，

∴四边形AMEN是平行四边形．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD.

∵BM＝DN，

∴AB－BM＝AD－DN，即AM＝AN.

∴四边形AMEN是菱形．

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.

（1）判断△BEC的形状，并说明理由；

（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？

并证明你的判断．

解：

（1）△BEC是直角三角形．理由：

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2.

由勾股定理，得CE＝

＝

＝

，

BE＝

＝

＝2

.

∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.

∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2.

∴∠BEC＝90°.

∴△BEC是直角三角形．

（2）四边形EFPH为矩形．

证明：

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

又∵DE＝BP，

∴四边形DEBP是平行四边形．

∴BE∥DP.

∵AD＝BC，DE＝BP，

∴AE＝CP.

∴四边形AECP是平行四边形．

∴AP∥CE.

又∵BE∥DP，

∴四边形EFPH是平行四边形．

又∵∠BEC＝90°，

∴四边形EFPH是矩形．

9．如图，在▱ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：

四边形DFBE是矩形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，CD∥AB.

∴∠CDB＝∠ABD.

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，

∴∠FDB＝

∠CDB，∠EBD＝

∠ABD.

∴∠FDB＝∠EBD.∴DF∥EB.

又∵AD∥BC，∴四边形DFBE是平行四边形．

∵AB＝DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD.∴∠DEB＝90°.

∴四边形DFBE是矩形．

10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．

（1）求证：

四边形PBQD为平行四边形；

（2）若AB＝3cm，AD＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为ts，问四边形PBQD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，OD＝OB.∴∠PDO＝∠QBO.

在△POD和△QOB中，

∴△POD≌△QOB（ASA）．∴OP＝OQ.

又∵OB＝OD，

∴四边形PBQD为平行四边形．

（2）点P从点A出发运动ts时，AP＝tcm，PD＝（4－t）cm.

当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝（4－t）cm.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°.

在Rt△ABP中，AB＝3cm，AP2＋AB2＝PB2，

即t2＋32＝（4－t）2，解得t＝

.

∴点P运动时间为

s时，四边形PBQD为菱形．

11．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.

图1图2

（1）求证：

四边形AFCE是平行四边形；

（2）如图2，若BE⊥EC，求证：

四边形ABFE是菱形．

证明：

（1）∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，

∴∠FAE＝

∠BAE，∠FCE＝

∠FCD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.

∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.

∴∠FAE＝∠CED.

∴AF∥EC.

又∵AE∥CF，

∴四边形AFCE为平行四边形．

（2）∵AF∥EC，BE⊥EC，

∴∠AOE＝∠BEC＝90°.

∴∠AOE＝∠AOB＝90°.

在△ABO和△AEO中，

∴△ABO≌△AEO（ASA）．

∴BO＝EO.

同理可得△ABO≌△FBO，

∴AO＝FO.

∴四边形ABFE是平行四边形．

又∵AF⊥BE，

∴平行四边形ABFE是菱形．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

（1）求证：

四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD.

∴∠OBE＝∠ODF.

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA）．∴EO＝FO.

又∵OB＝OD.∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）∵四边形BEDF是菱形，∴BD⊥EF.

设BE＝x，则DE＝x，AE＝6－x.

在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，

∴x2＝42＋（6－x）2.解得x＝

.

∵BD＝

＝2

，

∴OB＝

BD＝

.

∵BD⊥EF，∴EO＝

＝

.

∴EF＝2EO＝

.

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.

（1）求证：

CE＝AD；

（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？

说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？

请说明你的理由．

解：

（1）证明：

∵DE⊥BC，

∴∠DFB＝90°.

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠DFB.

∴AC∥DE.

又∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形．

∴CE＝AD.

（2）四边形BECD是菱形．理由：

∵D为AB中点，∴AD＝BD.

又由

（1）得CE＝AD，∴BD＝CE.

又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．

又∵DE⊥BC，

∴四边形BECD是菱形．

（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：

∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，

∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.

又∵D为AB中点，∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°.

又∵四边形BECD是菱形，

∴四边形BECD是正方形．

∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．

14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．

（1）求证：

△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝20°时，四边形BFDE是正方形．

证明：

∵在菱形ABCD中，BA＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA.∴∠BAE＝∠BCF.

在△BAE和△BCF中，

∴△BAE≌△BCF（SAS）．

15．已知：

如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OF.

（1）求证：

△BCE≌△DCF；

（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？

请说明理由．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.

又∵E，F分别是AB，AD的中点，∴BE＝DF.

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（SAS）．

（2）当AB与BC满足AB⊥BC时，四边形AEOF为正方形．理由如下：

∵E，O分别是AB，AC的中点，∴EO∥BC.

又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.

同理可证OF∥AE，∴四边形AEOF为平行四边形．

∵在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB,AD的中点，

∴AE＝AF.∴四边形AEOF为菱形．

∵AB⊥BC，∴∠BAD＝∠B＝90°.

∴四边形AEOF为正方形．

16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.

（1）求证：

AD＝BC；

（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：

线段EF与线段GH互相垂直平分．

证明：

（1）延长DC至K，使CK＝AB.连接BK.

∵AB

CK，

∴四边形ABKC是平行四边形．

∴AC

BK.∴∠ACD＝∠K.

∵BD＝AC，AC＝BK，

∴BD＝BK.∴∠BDC＝∠K.

∴∠ACD＝∠BDC.

在△ACD和△BDC中，

∴△ACD≌△BDC（SAS）．

∴AD＝BC.

（2）分别连接EH，HF，FG和GE.

∵E，H分别是AB，BD的中点，

∴EH为△ABD的中位线．

∴EH＝

AD.

同理：

GF＝

AD，EG＝

BC，HF＝

BC.

又由

（1）知AD＝BC，∴EH＝HF＝FG＝GE.

∴四边形EHFG是菱形．

∴线段EF与线段GH互相垂直平分．

17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：

四边形ADCF是菱形．

证明：

∵AF∥CD，

∴∠AFE＝∠CDE.

在△AFE和△CDE中，

∴△AFE≌△CDE（AAS）．∴AF＝CD.

∵AF∥CD，

∴四边形ADCF是平行四边形．

∵点E是AC的中点，AC＝2AB，∴AE＝AB.

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠BAD.

又∵AD＝AD，∴△AED≌△ABD（SAS）．

∴∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC.

∴四边形ADCF是菱形．

18．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：

（1）∠CEB＝∠CBE；

（2）四边形BCED是菱形．

证明：

（1）∵△ABC≌△ABD，

∴∠ABC＝∠ABD.

∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠ABD.

∴∠CEB＝∠CBE.

（2）∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD.

由

（1）得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB.∴CE＝BD.

又∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．

又∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．

19．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.

（1）求证：

D是BC的中点；

（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

解：

（1）证明：

∵AF∥BC，

∴∠AFC＝∠FCB.

又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，

∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF＝DC.

又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．

（2）四边形AFBD是矩形．

证明：

∵AF∥BC，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.

∴四边形AFBD是矩形．

20．已知：

如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：

四边形EFGH为矩形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB＋∠ADC

＝180°.

∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，

∴∠FAD＝∠BAF＝

∠DAB，

∠ADF＝∠CDF＝

∠ADC.

∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.

同理可得：

∠BHC＝∠HEF＝90°.

∴四边形EFGH是矩形．