（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①
②
③f（x）是整式时，定义域是全体实数．f（x）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤y=tanx中，x¹kp+p
2（kÎZ）．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若
f（x）是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数
的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：
若已知
的定义域应由不等式a£f（x）的定义域为[a,b]，其复合函数f[g（x）]g（x）£b解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：
对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：
若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程
a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）¹0时，由于x,y为实数，故必须有
D=b2（y）-4a（y）×c（y）³0，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：
利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：
通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为
三角函数的最值问题．
⑥反函数法：
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：
利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：
就是列出表格来表示两个变量之间
的对应关系．图象法：
就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都
）叫做集合有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合
到B的映射，记作
②给定一个集合A，B以及A到B的对应法则fAf:
A®B．A到集合B的映射，且aÎA,bÎB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
②在公共定义域①一般地，设函数
y=f（x）的定义域为I
f（x）£M
；
，如果存在实数M满足：
（1）
对于任意的xÎI，都有
（2）存在
x0ÎI，使得f（x0）=M
．那么，我们称M是函数f（x）的最大值，记作
fmax（x）=M
．
②一般地，设函数
y=f（x）的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的xÎI，都有
（2）存在x0ÎI，使得f（x0）=m．那么，我们称m是函数f（x）的最小值，记作f（x）³m；
fmax（x）=m．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
②若函数
f（x）为奇函数，且在x=0处有定义，则f（0）=0．
③奇函数在
y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换
h>0,左移h个单位
y=f（x）¾¾¾¾¾¾¾®y=f（x+h）h<0,右移|h|个单位k>0,上移k个单位y=f（x）¾¾¾¾¾¾¾®y=f（x）+k
k<0,下移|k|个单位
②伸缩变换
01,缩
01,伸
③对称变换
y轴x轴y=f（x）¾¾¾®y=-f（x）y=f（x）¾¾¾®y=f（-x）
直线y=x原点y=f（x）¾¾¾®y=-f（-x）y=f（x）¾¾¾¾®y=f-1（x）
去掉y轴左边图象y=f（x）¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=f（|x|）保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象y=f（x）¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=|f（x）|将x轴下方图象翻折上去
（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，
获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
第二章基本初等函数（Ⅰ）
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果xn=a,aÎR,xÎR,n>1，且nÎN+，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n
n是偶数时，正数a的正的n
n次方
根用符号0的n次方根是0；负数a没有n次方根．
n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a³0．
③根式的性质
：
n=a；当n为奇数时
，=a；当n为偶数时，
ìa（a³0）=|a|=í．
î-a（a<0）
m
n
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
a
幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
a-m
n=a>0,m,nÎN+,且n>1）．0的正分数指数1m=（）n=a>0,m,nÎN+,且n>1）．0a
的负分数指数幂没有意义．注意口诀：
底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质
①a
r
×as=ar+s（a>0,r,sÎR）②（ar）s=ars（a>0,r,sÎR）
r
③（ab）
=arbr（a>0,b>0,rÎR）
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义①若a
x
=N（a>0,且a¹1），则x叫做以a为底N的对数，记作x
=logaN，其中a叫做底数，
N叫做真数．
②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：
x
=logaNÛax=N（a>0,a¹1,N>0）．
（2）几个重要的对数恒等式
loga1=0，logaa=1，logaab=b．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：
lgN，即log10
N；自然对数：
lnN，即logeN（其中e=2.71828„）．
>0,N>0，那么
（4）对数的运算性质如果a>0,a¹1,M
①加法：
loga
M+logaN=loga（MN）②减法：
logaM-logaN=loga
M=logaMn（nÎR）④alogaN=N
M
N
③数乘：
nloga
⑤log
ab
Mn=
logbNn
（b>0,且b¹1）logaM（b¹0,nÎR）⑥换底公式：
logaN=
logbab
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
（6）反函数的概念
设函数
果对于
子x值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得式子x=j（y）．如y=f（x）的定义域为A，y在C中的任何一个值，通过式子x=j（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式=j（y）表示x是y的函数，函数x=j（y）叫做函数y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），习惯上改写成y=f-1（x）．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式
③将xy=f（x）中反解出x=f-1（y）；=f-1（y）改写成y=f-1（x），并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数
②函数y=f（x）与反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称．y=f（x）的定义域、值域分别是其反函数y=f-1（x）的值域、定义域．
y=f（x）的图象上，则P’（b,a）在反函数y=f-1（x）的图象上．③若P（a,b）在原函数
④一般地，函数y=f（x）要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为自变量，a是常数．
（3）幂函数的性质
①图象分布：
幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第
一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：
所有的幂函数在（0,+¥）都有定义，并且图象都通过点（1,1）．
③单调性：
如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,+¥）上为增函数．如果a<0，则幂函数
y轴．的图象在（0,+¥）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与
④奇偶性：
当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．当a
q
p=q（其中p,q互pqp质，p和qÎZ），若
是偶函数，若p为奇数q为奇数时，则y=xqp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y=xp为偶数q为奇数时，则y=x是非奇非偶函数．
⑤图象特征：
幂函数y=xa,xÎ（0,+¥），当a>1时，若01，其图象在直线y=x上方，当a<1时，若01，其图象在直线y=x下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
f（x）=ax2+bx+c（a¹0）②顶点式：
f（x）=a（x-h）2+k（a¹0）③两根式：
f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a¹0）
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
（3）二次函数图象的性质
①二次函数f（x）更方便．f（x）=ax2+bx+c（a¹0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为x=-b,顶点坐标是2a
b4ac-b2（-,）．
2a4a
②当a
>0时，抛物线开口向上，函数在（-¥,-
bbb
]上递减，在[-,+¥）上递增，当x=-
2a2a2a
时，
4ac-b2
fmin（x）=
4ab
递减，当x=-
2a
③二次函数
；当a<0时，抛物线开口向下，函数在（-¥,-
bb
]上递增，在[-,+¥）上2a2a
时，
4ac-b2
fmax（x）=
4a
．
f（x）=ax2+bx+c（a¹0）当D=b2-4ac>0时，图象与x
轴有两个交点
．
M1（x1,0）,M2（x2,0）,|M1M2|=|x1-x2|=
（4）一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a¹0）根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要设一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a¹0）的两实根为x1,x2，且x1£x2．令
b2a
f（x）=ax2+bx+c，从以下四个方面来分析此类问题：
①开口方向：
a②对称轴位置：
x=-
③判别式：
D④端点函数值符号．①k＜x1≤x2Û
②x1≤x2＜kÛ
③x1＜k＜x2Ûaf（k）＜0
④k1＜x1≤x2＜k2Û
⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2Û
f（k1）f（k2）<0，并同时考虑f（k1）=0或f（k2）=0这两种情况是否也符合
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2Û此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数设
f（x）=ax2+bx+c（a¹0）在闭区间[p,q]上的最值
，最小值为m，令x0
f（x）在区间[p,q]上的最大值为M
（Ⅰ）当a
=
1
（p+q）．2
>0时（开口向上）
①若-
bbbb
>q，则m=f（q）
x
x
q）f（p）0x
2a
b>q，则③若-）②若p£2ax
x
M
①若-
x
x
x
f
f
bb£x0，则m=f（q）②->x0，则m=f（p）．2a2a
x
f
x
第三章一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：
对于函数
y=f（x）（xÎD），把使f（x）=0成立的实数x叫做函数
y=f（x）（xÎD）的零点。
2、函数零点的意义：
函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0实数根，亦即函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标。
即：
方程f（x）=0有实数根Û函数y=f（x）的图象与x轴有交点Û函数y=f（x）有零点．
3、函数零点的求法：
y=f（x）的零点：
1（代数法）求方程f（x）=0的实数根；○
求函数
2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数○
y=f（x）的图象联系起来，并利
用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数y=ax2+bx+c（a¹0）．
2１）△＞０，方程ax
函数有两个零点．+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次
２）△＝０，方程ax+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程ax22+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
高中数学必修2知识点
第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
1三视图：
正视图：
从前往后侧视图：
从左往右俯视图：
从上往下2画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：
斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤：
（1）画轴
（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3空间几何体的表面积与体积
（一）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积：
各个面面积之和
2圆柱的表面积S=rl+2pr23圆锥的表面积S2p=prl+pr2
222S=prl+pr+pRl+pRS=4pR4圆台的表面积5球的表面积
（二）空间几何体的体积
1V=S底´h2锥体的体积V=S底´h3
1433台体的体积V=S上+S上S下+S下）´h4球体的体积V=pR331柱体的体积
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1平面含义：
平面是无限延展的
2平面的画法及表示
（1）平面的画法：
水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画0DABC
成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3三个公理：
（1）公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面L²C²²AB2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线
异面直线：
不同在任何一个平面）；2
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面α来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面α
bβ
αa∥
b2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：
一个平面β
bβ
a∩b=Pα
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：
线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
aβb
α∩β=b
作用：
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：
如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ=aab
β∩γ=b
作用：
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面αL
p
α
2、判定定理：
一条直线与一个平面a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭
B
2
α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：
两个平面垂直，则一个平面直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：
0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα
⑪当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑫当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:
给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:
k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那
么它们平行，即
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
3.2.1直线的点斜式方程
（x0,y0），且斜率为k1、直线的点斜式方程：
直线l经过点P0
2、、直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率为k，且与
y-y0=k（x-x0）
y轴的交点为（0,b）y=kx+b
其中
3.2.2直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：
已知两点y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方A（a,0），与
程：
已知直线的交点为
P（x1,x2）,P2（x2,y2）1（x1¹x2,y1¹y2）
l
B
与
x
轴的交点为
，其中
y轴（0,b）
a¹0,b¹0
3.2.3直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：
关于x,2、各种直线方程之间的互化。
y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题：
两直线交点坐标
L1：
3x+4y-2=0L1：
2x+y+2=0解：
解方程组
ì3x+4y-2=0
得x=-2，y=2í
2x+2y+2=0î
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
3.3.23.3.3
两点间距离点
两点间的距
PP12=
离公式
到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点P（x0,y
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