XX届高三理科数学三角函数总复习教学案.docx

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XX届高三理科数学三角函数总复习教学案

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　　考试要求

　　重难点击

　　命题展望

　　1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.

　　2.理解任意角三角函数的定义.

　　3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.

　　4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质，理解正切函数在上的单调性.

　　5.理解同角三角函数的基本关系式：

sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.

　　6.了解函数y＝Asin的物理意义，能画出函数y＝Asin的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.

　　7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

　　8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.

　　9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

　　本章重点：

1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，y＝Asin

　　的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.

　　本章难点：

1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明；3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题.

　　三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.

　　知识网络

　　5.1　任意角的三角函数的概念

　　典例精析

　　题型一　象限角与终边相同的角

　　【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、的终边所在的象限.

　　【解析】因为α是第二象限角，

　　所以k360°＋90°＜α＜k360°＋180°.

　　因为2k360°＋180°＜2α＜2k360°＋360°，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.

　　因为k180°＋45°＜α2＜k180°＋90°，

　　当k＝2n时，n360°＋45°＜α2＜n360°＋90°，

　　当k＝2n＋1时，n360°＋225°＜α2＜n360°＋270°.

　　所以α2是第一或第三象限角.

　　【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.

　　如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角，熟记右图，解有关问题就方便多了.

　　【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是

　　A.第一象限角

　　B.第一或第二象限角

　　c.第一或第三象限角

　　D.第一或第四象限角

　　【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，

　　得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z.

　　当k是奇数时，α是第三象限角.

　　当k是偶数时，α是第一象限角.故选c.

　　题型二　弧长公式，面积公式的应用

　　【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.

　　若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

　　若扇形的周长是一定值c，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？

并求出这个最大值.

　　【解析】设弧长为l，弓形面积为S弓，

　　因为α＝60°＝π3，R＝10cm，所以l＝10π3cm，

　　S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin60°＝50cm2.

　　因为c＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝c2＋α，

　　S扇＝12αR2＝12α2＝c22αα2＋4α＋4＝c221α＋4α＋4≤c216，

　　当且仅当α＝4α时，即α＝2时，扇形的面积有最大值为c216.

　　【点拨】用弧长公式l＝|α|R与扇形面积公式S＝12lR＝12R2|α|时，α的单位必须是弧度.

　　【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长c有最小值？

并求出最小值.

　　【解析】因为S＝12Rl，所以Rl＝2S，

　　所以周长c＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，

　　当且仅当l＝2R时，c＝4S，

　　所以当α＝lR＝2时，周长c有最小值4S.

　　题型三　三角函数的定义，三角函数线的应用

　　【例3】已知角α的终边与函数y＝2x的图象重合，求sinα；求满足sinx≤32的角x的集合.

　　【解析】由

　　⇒交点为或，

　　所以sinα＝±255.

　　①找终边：

在y轴正半轴上找出点，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接oP1、oP2，则为角x的终边，并写出对应的角.

　　②画区域：

画出角x的终边所在位置的阴影部分.

　　③写集合：

所求角x的集合是{x|2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}.

　　【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.

　　【变式训练3】函数y＝lgsinx＋cosx－12的定义域为　　　　.

　　【解析】

　　⇒2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.

　　所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}.

　　总结提高

　　.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.

　　2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k•360°＋π3的错误书写.

　　3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.

　　5.2　同角三角函数的关系、诱导公式

　　典例精析

　　题型一　三角函数式的化简问题

　　【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.

　　【变式训练1】已知f＝1－x，θ∈，则f＋f＝　　.

　　【解析】f＋f＝1－sin2θ＋1＋sin2θ＝2＋2＝|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|.

　　因为θ∈，所以sinθ－cosθ＞0，sinθ＋cosθ＜0.

　　所以|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|＝sinθ－cosθ－sinθ－cosθ＝－2cosθ.

　　题型二　三角函数式的求值问题

　　【例2】已知向量a＝，b＝.

　　若a∥b，求tanθ的值；

　　若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.

　　【解析】因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，

　　于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14.

　　由|a|＝|b|知，sin2θ＋2＝5，

　　所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.

　　从而－2sin2θ＋2＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，

　　于是sin＝－22.

　　又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，

　　所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.

　　因此θ＝π2或θ＝3π4.

　　【变式训练2】已知tanα＝12，则2sinαcosα＋cos2α等于

　　A.45

　　B.85

　　c.65

　　D.2

　　【解析】原式＝2sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα＋11＋tan2α＝85.故选B.

　　题型三　三角函数式的简单应用问题

　　【例3】已知－π2＜x＜0且sinx＋cosx＝15，求：

　　sinx－cosx的值；

　　sin3＋cos3的值.

　　【解析】由已知得2sin

　　xcosx＝－2425，且sinx＜0＜cosx，

　　所以sinx－cosx＝－2＝－1－2sinxcosx＝－1＋2425＝－75.

　　sin3＋cos3＝cos3x－sin3x＝

　　＝75×＝91125.

　　【点拨】求形如sinx±cosx的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sinx±cosx取值符号.

　　【变式训练3】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.

　　【解析】原式＝1－[2－2sin2αcos2α]1－[]

　　＝2sin2αcos2α1－[2－3sin2αcos2α]＝23.

　　总结提高

　　.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：

sin2＋cos2＝1是恒成立的.

　　2.诱导公式的重要作用在于：

它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.

　　5.3　两角和与差、二倍角的三角函数

　　典例精析

　　题型一　三角函数式的化简

　　【例1】化简.

　　【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，

　　所以原式＝

　　＝＝－cosθ.

　　【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cosθ.

　　【变式训练1】化简2cos4x－2cos2x＋122tansin2.

　　【解析】原式＝1222tancos2＝cos22x4cossin＝cos22x2sin＝12cos2x.

　　题型二　三角函数式的求值

　　【例2】已知sinx2－2cosx2＝0.

　　求tanx的值；

　　求cos2x2cossinx的值.

　　【解析】由sinx2－2cosx2＝0⇒tanx2＝2，所以tanx＝＝2×21－22＝－43.

　　原式＝cos2x－sin2x2sinx

　　＝sinx＝cosx＋sinxsinx＝1tanx＋1＝＋1＝14.

　　【变式训练2】2cos5°－sin25°sin65°＝　　　.

　　【解析】原式＝2cos－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝3.

　　题型三　已知三角函数值求解

　　【例3】已知tan＝12，tanβ＝－17，且α，β∈，求2α－β的值.

　　【解析】因为tan2＝2tan1－tan2＝43，

　　所以tan＝tan[2＋β]＝tan2＋tanβ1－tan2tanβ＝1，

　　又tanα＝tan[＋β]＝tan＋tanβ1－tantanβ＝13，

　　因为α∈，所以0＜α＜π4，

　　又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.

　　【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.

　　【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin＝2sinα，则α与β的大小关系是

　　A.α＝β

　　B.α＜β

　　c.α＞β

　　D.以上都有可能

　　【解析】方法一：

因为2sinα＝sin≤1，所以sinα≤12，又α是锐角，所以α≤30°.

　　又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.

　　方法二：

因为2sinα＝sin＝sinαcosβ＋cosαsinβ＜sinα＋sinβ，

　　所以sinα＜sinβ.

　　又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.

　　总结提高

　　.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.

　　它能够解答三类基本题型：

求值题，化简题，证明题；

　　对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；

　　掌握角的演变规律，如“2α＝＋”等.

　　2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.

　　　5.4　三角恒等变换

　　典例精析

　　题型一　三角函数的求值

　　【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sinβ＝sin，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值.

　　【解析】由4tanα2＝1－tan2α2，得tanα＝＝12.

　　由3sinβ＝sin得3sin[－α]＝sin[＋α]，

　　所以3sincosα－3cossinα＝sincosα＋cossinα，

　　即2sincosα＝4cossinα，所以tan＝2tanα＝1.

　　又因为α、β∈，所以α＋β＝π4.

　　【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.

　　【变式训练1】如果tan＝35，tan＝14，那么tan等于

　　A.1318

　　B.1322

　　c.723

　　D.318

　　【解析】因为α＋π4＝－，

　　所以tan＝tan[－]＝tan－tan1＋tantan＝723.

　　故选c.

　　题型二　等式的证明

　　【例2】求证：

sinβsinα＝sinsinα－2cos.

　　【证明】证法一：

　　右边＝sin[＋α]－2cossinαsinα＝sincosα－cossinαsinα

　　＝sin[－α]sinα＝sinβsinα＝左边.

　　证法二：

sinsinα－sinβsinα＝sin－sinβsinα＝2cossinαsinα＝2cos，

　　所以sinsinα－2cos＝sinβsinα.

　　【点拨】证法一将2α＋β写成＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.

　　【变式训练2】已知5sinα＝3sin，求证：

tan＋4tanβ＝0.

　　【证明】因为5sinα＝3sin，所以5sin[＋β]＝3sin[－β]，

　　所以5sincosβ＋5cossinβ＝3sincosβ－3cossinβ，

　　所以2sincosβ＋8cossinβ＝0.

　　即tan＋4tanβ＝0.

　　题型三　三角恒等变换的应用

　　【例3】已知△ABc是非直角三角形.

　　求证：

tanA＋tanB＋tanc＝tanAtanBtanc；

　　若A＞B且tanA＝－2tanB，求证：

tanc＝sin2B3－cos2B；

　　在的条件下，求tanc的最大值.

　　【解析】因为c＝π－，

　　所以tanc＝－tan＝－1－tanAtanB，

　　所以tanc－tanAtanBtanc＝－tanA－tanB，

　　即tanA＋tanB＋tanc＝tanAtanBtanc.

　　由知tanc＝－1－tanAtanB＝tanB1＋2tan2B＝sinBcosBcos2B＋2sin2B＝

　　＝sin2B2＝sin2B3－cos2B.

　　由知tanc＝tanB1＋2tan2B＝12tanB＋1tanB≤122＝24，

　　当且仅当2tanB＝1tanB，即tanB＝22时，等号成立.

　　所以tanc的最大值为24.

　　【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.

　　【变式训练3】在△ABc中，tanB＋tanc＋3tanBtanc＝3，3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABc的形状.

　　【解析】由已知得tanB＋tanc＝3，

　　3＝－，

　　即tanB＋tanc1－tanBtanc＝3，tanA＋tanB1－tanAtanB＝－33.

　　所以tan＝3，tan＝－33.

　　因为0＜B＋c＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋c＝π3，A＋B＝5π6.

　　又A＋B＋c＝π，故A＝2π3，B＝c＝π6.

　　所以△ABc是顶角为2π3的等腰三角形.

　　总结提高

　　三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：

①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.

　　　5.5　三角函数的图象和性质

　　典例精析

　　题型一　三角函数的周期性与奇偶性

　　【例1】已知函数f＝2sinx4cosx4＋3cosx2.

　　求函数f的最小正周期；

　　令g＝f，判断g的奇偶性.

　　【解析】f＝2sinx4cosx4＋3cosx2＝sinx2＋3cosx2＝2sin，

　　所以f的最小正周期T＝2π12＝4π.

　　g＝f＝2sin[12＋π3]＝2sin＝2cosx2.

　　所以g为偶函数.

　　【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.

　　【变式训练1】函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T等于

　　A.2π

　　B.π

　　c.π2

　　D.π3

　　【解析】y＝1－cos2x2＋12sin2x＝22＋12

　　＝22sin＋12，所以T＝2π2＝π.故选B.

　　题型二　求函数的值域

　　【例2】求下列函数的值域：

　　f＝sin2xsinx1－cosx；

　　f＝2cos＋2cosx.

　　【解析】f＝2sinxcosxsinx1－cosx＝2cosx1－cosx＝2cos2x＋2cosx

　　＝22－12，

　　当cosx＝1时，fmax＝4，但cosx≠1，所以f＜4，

　　当cosx＝－12时，fmin＝－12，所以函数的值域为[－12，4）.

　　f＝2＋2cosx

　　＝3cosx－3sinx＝23cos，

　　所以函数的值域为[－23，23].

　　【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.

　　【变式训练2】求y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域.

　　【解析】令t＝sinx＋cosx，则有t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝t2－12.

　　所以y＝f＝t＋t2－12＝122－1.

　　又t＝sinx＋cosx＝2sin，所以－2≤t≤2.

　　故y＝f＝122－1，

　　从而f≤y≤f，即－1≤y≤2＋12.

　　所以函数的值域为[－1，2＋12].

　　题型三　三角函数的单调性

　　【例3】已知函数f＝sin的部分图象如图所示.

　　求ω，φ的值；

　　设g＝ff，求函数g的单调递增区间.

　　【解析】由图可知，T＝4＝π，ω＝2πT＝2.

　　又由f＝1知，sin＝1，又f＝－1，所以sinφ＝－1.

　　因为|φ|＜π，所以φ＝－π2.

　　f＝sin＝－cos2x.

　　所以g＝[－cos]＝cos2xsin2x＝12sin4x.

　　所以当2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8时g单调递增.

　　故函数g的单调增区间为[kπ2－π8，kπ2＋π8].

　　【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.

　　【变式训练3】使函数y＝sin为增函数的区间是

　　A.[0，π3]

　　B.[π12，7π12]

　　c.[π3，5π6]

　　D.[5π6，π]

　　【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选c.

　　总结提高

　　.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.

　　2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.

　　3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.

　　4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.

　　　5.6　函数y＝Asin的图象和性质

　　典例精析

　　题型一　“五点法”作函数图象

　　【例1】设函数f＝sinωx＋3cosωx的周期为π.

　　求它的振幅、初相；

　　用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

　　说明函数f的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到.

　　【解析】f＝sinωx＋3cosωx＝2＝2sin，

　　又因为T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f＝2sin，

　　所以函数f＝sinωx＋3cosωx的振幅为2，初相为π3.

　　列出下表，并描点画出图象如图所示.

　　把y＝sinx图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y＝sin的图象，再把

　　y＝sin的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，得到y＝sin的图象，然后把y＝sin的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到y＝2sin的图象.

　　【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y＝Asin形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.

　　【变式训练1】函数

　　的图象如图所示，则

　　A.k＝12，ω＝12，φ＝π6

　　B.k＝12，ω＝12，φ＝π3

　　c.k＝12，ω＝2，φ＝π6

　　D.k＝－2，ω＝12，φ＝π3

　　【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k＝12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T＝4×＝4π，故ω＝12.将点代入解析式y＝2sin，得12×5π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－5π6，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.

　　题型二　三角函数的单调性与值域

　　【例2】已知函数f＝sin2ωx＋3sinωxsin＋2cos2ωx，x∈R在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.

　　求ω的值；

　　若将函数f的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g的图象，求函数g的最大值及单调递减区间.

　　【解析】f＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋32＝sin＋32.

　　令2ωx＋π6＝π2，将x＝π6代入可得ω＝1.

　　由得f＝sin＋32，经过题设的变化得到函数g＝sin＋32，

　　当x＝4kπ＋43π，k∈Z时，函数g取得最大值52.

　　令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π，

　　即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π]为函数的单调递减区间.

　　【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.

　　【变式训练2】若将函数y＝2sin的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点对称，则|φ|的最小值是

　　A.π4

　　B.π3

　　c.π2

　　D.3π4

　　【解析】将函数y＝2sin的图象向右平移π4个单位后得到y＝2sin[3＋φ]＝2sin的图象.

　　因为该函数的图象关于点对称，所以2sin＝2sin＝0，

　　故有π4＋φ＝kπ，解得φ＝kπ－π4.

　　当k＝0时，|φ|取得最小值π4，故选A.

　　题型三　三角函数的综合应用

　　【例3】已知函数y＝f＝Asin2的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点.

　　求φ的值；

　　求f＋f＋…＋f.

　　【解析】y＝Asin2＝A2－A2cos，

　　因为y＝f的最大值为2，又A＞0，

　　所以A2＋A2＝