初二几何经典难题集锦含答案.docx
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初二几何经典难题集锦含答案
初二几何经典训练题
1、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.
⑴求证:
四边形ABFE是等腰梯形;
⑵求AE的长.
2、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是OA、OB的中点.
(1)求证:
△ADE≌△BCF;
(2)若AD=4cm,AB=8cm,求CF和OF的长。
3、如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=12cm,BC=8cm,DC=13cm,动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动,动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动.P、Q两点分别从A、B同时出发,当其中一点到达C点时,另一点也随之停止.设运动时间为t秒,△PQB的面积为ycm2.
(1)求AD的长及t的取值范围;
(2)当1.5≤t≤t0(t0为
(1)中t的最大值)时,求y关于t的函数关系式;(3)请具体描述:
在动点P、Q的运动过程中,△PQB的面积随着t的变化而变化的规律。
4、如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G,若CF=15cm,求GF之长。
5、如图所示,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上的一点,且∠BFE=∠C。
(1)求证:
△ABF∽△EAD;
(2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长;(3)在
(1)、
(2)的条件下,若AD=3,求BF的长(计算结果可含根号)。
6、如图是一个常见铁夹的侧面示意图,OA,OB表示铁夹的两个面,C是轴,CD⊥OA于点D,已知DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm,
我们知道铁夹的侧面是轴对称图形,请求出A、B两点间的距离。
7、如图,用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH,连接AE与BG、CF分别交于P、Q,
(1)若AB=6,求线段BP的长;
(2)观察图形,是否有三角形与△ACQ全等?
并证明你的结论.
8、如图已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF,FH∥FG∥AC,FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。
(1)如图1,如果点E、F在边AB上,那么EG+FH=AC;
(2)如图2,如果点E在边AB上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是 _________ ;
(3)如图3,如果点E在AB的反向延长线上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是_____________。
对
(1)
(2)(3)三种情况的结论,请任选一个给予证明。
1、解答:
(1)证明略;⑵AE=BF=
.
(1)过点D作DM⊥AB,根据已知可求得四边形BCDM为矩形,从而得到DC=MB,因为AB=2DC,从而推出△ABD是等腰三角形,从而得到∠DAB=∠DBA,因为EF∥AB,AE不平行FB,所以AEFB为梯形,从而根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形得证;
(2)由已知可得到△DCF∽△BAF,根据相似三角形的对应边成比例,可得到AF的长,再根据△BCF∽△ACB,得到BF2=CF•AF,从而求得BF的长,由第一问已证得BF=AE,所以就求得了AE的长。
2、解答:
(1)证明:
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC,OA=OC,OB=OD,AC=BD,AD∥BC
∴OA=OB=OC,∠DAE=∠OCB(两直线平行,内错角相等)
∴∠OCB=∠OBC
∴∠DAE=∠CBF
又∵AE=
1
2
OA,BF=
1
2
OB
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF;
(2)过点F作FG⊥CD于点G,
∴∠DGF=90°
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DCB=90°
∴∠DGF=∠DCB
又∵∠FDG=∠BDC
∴△DFG∽△DBC
∴
FG
BC
=
DF
DB
=
DG
DC
由
(1)可知F为OB的中点,
所以DF=3FB,得
DF
DB
=
3
4
∴
FG
4
=
3
4
=
DG
8
∴FG=3,DG=6
∴GC=DC-DG=8-6=2
在Rt△FGC中,CF=
FG2+GC2
=
9+4
=
13
cm.
(说明:
其他解法可参照给分,如延长CF交AB于点H,利用△DFC∽△BFH计算.)
解答:
(1)略
(2)∴OF=
cm.
(1)根据矩形的对边相等、对角线相等且相互平分等性质可证△ADE≌△BCF;
(2)要求CF的长,若CF在一直角三角形中,则可用勾股定理求解.由此需要添加辅助线,过点F作FG⊥CD于点G,则△DFG∽△DBC;由
(1)的结论可得DF=3FB,则可算出FG、DG的值,进而求得CF的长.
3、解答:
(1)在梯形ABCD中,AD∥BC、∠B=90°过D作DE⊥BC于E点,如图所示
∴AB∥DE
∴四边形ABED为矩形,
∴DE=AB=12cm
在Rt△DEC中,DE=12cm,DC=13cm
∴EC=5cm
∴AD=BE=BC-EC=3cm(2分)
点P从出发到点C共需
13+3
2
=8(秒),
点Q从出发到点C共需
8
1
=8秒(3分),
又∵t≥0,
∴0≤t≤8(4分);
(2)当t=1.5(秒)时,AP=3,即P运动到D点(5分)
∴当1.5≤t≤8时,点P在DC边上
∴PC=16-2t
过点P作PM⊥BC于M,如图所示
∴PM∥DE
∴
PC
DC
=
PM
DE
即
16?
2t
13
=
PM
12
∴PM=
12
13
(16-2t)(7分)
又∵BQ=t
∴y=
1
2
BQ?
PM
=
1
2
t?
12
13
(16-2t)
=-
12
13
t2+
96
13
t(3分),
(3)∵由
(2)知y=-
12
13
t2+
96
13
t=-
12
13
(t-4)2+
192
13
,
即顶点坐标是(4,
192
13
),抛物线的开口向下,
即抛物线被对称轴分成两部分:
在对称轴的左侧(t<4),△PQB的面积随着t的增大而(继续)增大;
在对称轴的右侧(t>4)时,△PQB的面积随着t的增大而减小;
即当0≤t≤1.5时,△PQB的面积随着t的增大而增大;
当1.5<t≤4时,△PQB的面积随着t的增大而(继续)增大;
当4<t≤8时,△PQB的面积随着t的增大而减小.(12分)
注:
①上述不等式中,“1.5<t≤4”、“4<t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分.
②若学生答:
当点P在AD上运动时,△PQB的面积先随着t的增大而增大,当点P在DC上运动时,△PQB的面积先随着t的增大而(继续)增大,之后又随着t的增大而减小.给(2分)
③若学生答:
△PQB的面积先随着t的增大而减小给(1分)
4、解答:
∵AE=EB,CE=ED,∠AEC=∠BED,
∴△AEC≌△BED,
∴∠ACE=∠EDB,∠EAC=∠EBD,AC=BD,
又∵D为线段FB的中点,
∴AC
∥
.
FD,
∴四边形ACFD为平行四边形,
∴△AGC∽△BGF,
∴
CG
GF
=
AC
FB
=
1
2
,
∴
CF−GF
GF
=
1
2
,
又∵CF=15cm,解得GF=10(cm),
∴GF=10(cm).
5、解答:
(1)∵AD∥BC,
∴∠C+∠ADE=180°
∵∠BFE=∠C,
∴∠AFB=∠EDA
∵AB∥DC,
∴∠BAE=∠AED
∴△ABF∽△EAD。
(2)∵AB∥CD,BE⊥CD,
∴∠ABE=90°,
∵AB=4,∠BAE=30°
设
,则
由勾股定理得
解得
。
(3)∵△ABF∽△EAD
∴
得
。
6、解答:
解:
作出示意图
连接AB,同时连结OC并延长交AB于E,…………………………………………(1')
因为夹子是轴对称图形,故OE是对称轴…………………………………………(2')
∴OE⊥AB AE=BE ………………………………………………(3')
∴Rt△OCD∽Rt△OAE ……………………………………………………(4')
∴
=
…………………………………………………………………(5')
而OC=
=
=26 ……………………………………(6')
即
=
∴AE=
=15 ……………………(7')
∴AB=2AE=30(mm)…………………………………………………(8')
答:
AB两点间的距离为30mm.
7、解答:
(1)∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形
∴BC=CD=DE=AB=6,BG∥DE
∴AD=3AB=3×6=18,∠ABG=∠D,∠APB=∠AED
∴△ABP∽△ADE
∴
BP
DE
=
AB
AD
∴BP=
AB
AD
DE=
6
18
×6=2;
(2)图中的△EGP与△ACQ全等
证明:
∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
∴AB=BC=EF=FG
∴AB+BC=EF+FG
∴AC=EG
∵AD∥HE
∴∠1=∠2
∵BG∥CF
∴∠3=∠4
∴△EGP≌△ACQ。
8、解答:
(1)证明:
∵FH∥EG∥AC,
∴∠BFH=∠BEG=∠A,△BFH∽△BEG∽△BAC,
∴
.∴
,
又∵BF=EA,
∴
,
∴
,
∴AC=FH+EG;
(2)线段EG、FH、AC的长度的关系为:
EG+FH=AC,
证明
(2):
过点E作EP∥BC交AC于P,
∵EG∥AC,
∴四边形EPCG为平行四边形,
∴EG=PC,
∵HF∥EG∥AC,
∴∠F=∠A,∠FBH=∠ABC=∠AEP,
又∵AE=BF,
∴△BHF≌△EPA,
∴HF=AP,
∴AC=PC+AP=EG+HF,
即EG+FH=AC;
(3)线段EG、FH、AC的长度的关系为:
EG﹣FH=AC,
如图,过点A作AP∥BC交EG于P,
∵EG∥AC,
∴四边形APGC为平行四边形,
∴AC=PG,
∵HF∥EG∥AC,
∴∠F=∠E,∠FBH=∠ABC=∠PAE,
又∵AE=BF,
∴△BHF≌△EPA,
∴HF=EP,
∴AC=EG﹣EP=EG﹣HF,
即EG﹣FH=AC。