2）e>1时，轨迹为双曲线
问题3：
当e=1时，它又是什么曲线呢？
能否设计一种方案作出它的图象？
（让学生回顾椭圆、双曲线的第二定义，并引导学生将“数”（e=1）和“形”（距离相等）结合起来，结合教材渗透数学思想，培养学生自觉进行类比创新的能力。
）
作图方法：
（几何画板动画演示，通过对动点的跟踪猜测轨迹曲线）
把一根直尺固定在图板上直线的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F．用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线。
从图中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线的距离相等．把图板绕点F旋转90度，曲线就是初中见过的抛物线。
（二） 讲授新课
1． 定义
由前面的讨论我们知道，当e=1时，轨迹为抛物线，那么怎样对抛物线进行定义呢？
平面内与一个定点F和一条定直线
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点。
直线
叫做抛物线的准线。
说明：
抛物线与椭圆双曲线不同，它仅有一种定义，它既是推导方程的出发点、作图的依据，也表述抛物线最重要的几何特性，在解决与焦点或准线相关的问题时，不要忘记这个特性。
另外要注意，定点F不能在定直线l上。
2．抛物线的标准方程
在研究了抛物线的形之后，根据解析几何的数学思想方法，要从数（方程）的方面来表示。
（1）创新思考、提出猜想
问题4：
怎样求曲线的方程呢？
（步骤）
步骤：
（1）建系设点；
（2）几何条件列式；（3）化简；（4）证明
问题5：
观察图形，如何建立直角坐标系，才能使推导过程和所得方程更为简单些。
（由学生自己进行思考，使他们能更深入地掌握建立直角坐标系的某些规律。
）
学生可能会提出这样的两种方案：
（A）以定点F为原点，以过F与垂直的直线为x轴，建立直角坐标系。
（B）以直线l为轴，以过F与垂直的直线为y轴，建立直角坐标系。
因为我们常常利用已知点或直线作为坐标原点或坐标轴，因此对学生的方案要给予肯定，并让学生自己推导出这样建立直角坐标系的抛物线方程，会发现推出的方程形如，含有常数项。
问题6：
考虑一下坐标系的选取与得到的方程到底有何关系？
学生根据前面知识可知：
取对称轴作坐标轴可减少一次项；原点在曲线上时，方程没有常数项。
此时自然出现了第三种方案：
取抛物线的对称轴为x轴，顶点为原点。
（通过提问的形式启发、引导学生利用已学的知识解决新问题，培养他们思维的批判性，并培养他们的优选意识，最后水到渠成）
（2）让学生自我验证
在建立了适当的坐标系，根据抛物线的定义求抛物线的方程，要求学生自行推导抛物线的方程。
教师可在巡视之后，拿三位学生的推导过程上来，通过幻灯来讲，并验证是否前面的猜想。
设F到l的距离为p（p>0）。
提供学生的几种不同求法：
通过比较可以看出，第三种解法的答案不仅具有较简的形式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的２倍。
我们把这个方程叫做抛物线的标准方程。
标准：
顶点为原点，对称轴为坐标轴，P是焦点到准线的距离。
现在大家看一下课本P118上的练习第１题。
当坐标系变为以过焦点且垂直于直线l的直线作为y轴，原点和抛物线都不变时，抛物线方程为。
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表所示：
此时，由学生自己对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析、形数结合，找出共同点和不同点。
师生一起总结归纳出记忆方法：
标准方程的特点：
一边是二次项，一边是一次项，不含常数项，方程中的p均表示焦点到准线的距离。
记忆方法：
对称轴要看一次项：
一次项的变量如为X（或Y）,则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上且用一次项的系数除以4可以得到；
符号确定开口方向：
如果是y一次项，负时向下，正向上；
如果是x一次项，负时向左，正向右；
（三）应用举例
学生的主体作为巩固所学知识，设置三道例题。
例１求下列抛物线方程的焦点坐标和准线方程
（1）y2=6x
变式1:
y2=-6x
变式2:
y=－6x2
变式3:
x=ay2
.
例２
（1）已知抛物线的焦点坐标是Ｆ（０，－２）求它的标准方程.
（2）已知抛物线准线方程
，求它的标准方程。
分析：
可直接设抛物线标准方程的某一种形式，用焦点坐标与P的关系来解。
利用待定系数法。
例3、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
（注意：
先画出可能的图形，再设其标准方程，利用数形结合可达到事半功倍的效果）
（四）课堂练习
课本：
Ｐ１１９ ３，４
加强训练，巩固所学，更要注意在练习过程中帮助学生总结规律小结可和学生一起回顾本节课的过程，并强调其中的重点、难点，对知识进行整体把握，理清知识脉络，可逐步完善学生的认知结构。
（五）课堂小结
1．抛物线的定义。
2．熟记各种形式的标准方程和图形，及与之相应的焦点坐标及准线方程，分清2P，P，P/2。
3．在解题过程中，若与方程有关，则应先确定是哪种标准式，再联系方程进行解答；若不能确定，则应分类进行讨论。
总之，本节课在整个教学过程中，坚持以教师为主导、学生为主体，本着将学习的主动权交到学生手中的指导思想，启发、引导学生对旧知识进行类比迁移，对新知识进行大胆猜测，激发学生的学习积极性，提高学生的动手操作能力，着重培养学生良好的思维品质及创新能力。
以下附本节课的流程图：
（六）课后作业
• 作业：
P1192、4
思考题：
①比较所学过的二次函数的图象与今天所学的抛物线的关系。
②研究抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的焦点坐标，焦准距及准线方程。
③有同学说：
抛物线从形状看，就是双曲线的一支。
你同意吗？
试说明理由
板书设计
§8、5抛物线及其标准方程
一、复习引入
椭圆、双曲线的第二定义
二、讲授新课
1．抛物线的定义
2．抛物线方程标准方程
三、例题
例1
例2
例3
四、练习
五、小结
（1）
（2）（3）
六、作业及思考题
四、教学目标
1．理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。
明确拋物线标准方程中 的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。
2、通过对拋物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系。
3、熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。
4．营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。
引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。
培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。
发展数学应用意识，认识数学的应用价值。
五、教学重点和难点
教学重点:
拋物线的定义及其标准方程的推导。
通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点。
教学难点：
拋物线概念的形成。
通过条件 的画法设计，标准方程与二次函
《双曲线的定义及其标准方程》说课教案
牡丹江第一高级中学姜萍
各位专家，各位老师：
大家好！
我叫姜萍，来自于牡丹江市第一高级中学。
很高兴能在这里和大家进行交流。
我说课的题目是《双曲线的定义及其标准方程》，内容选自于北师大版《高中数学实验教材》高二下册第九章第二单元第一小节，课时安排为两课时，本课内容为第一课时。
下面我将从教材分析与处理、教学方法与手段、教学过程与设计、教学设计想法说明四大方面来阐述我的教学设想。
一、 教材分析与处理
1、教材的地位与作用
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
2、学生状况分析：
学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。
另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。
根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个教学目标。
3、教学目标
（1） 知识与技能：
理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；
（2） 过程与方法：
通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（3） 情感态度与价值观：
通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
4． 教学重点、难点
依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。
难点是双曲线标准方程的推导。
5、教材处理：
我对教学内容作了一点调整：
教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双
曲线图形。
因为相比之下，几何画板更为形象直观。
通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形
成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。
二、 教学方法与教学手段
1、 教学方法
著名数学家波利亚认为：
“学习任何东西最好的途径是自己去发现。
”
双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课我
采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：
（1） 以类比思维作为教学的主线
（2） 以自主探究作为学生的学习方法
2、教学手段
采用多媒体辅助教学。
体现在用几何画板画双曲线。
但不是单纯用动画演示给学生看，而是用动画启发引导学生思考，调动学生学习的积极性。
三、 教学过程与设计
为达到本节课的教学目标，更好地突出重点，分散难点，我把教学过程分为四个阶段。
（一）知识引入----知识回顾、观察动画、概括定义
在课的开始我设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾：
（1）椭圆的第一定义是什么？
定义中哪些字非常关键？
（2）椭圆的标准方程是什么？
（3）如何判断焦点位置？
a、b、c是何种关系？
（片）
通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫。
之后，
告诉学生：
今天要学习一种新的曲线。
打开几何画板，首先通过动画让学生再一次回顾椭圆的生成过程，然后改变图中的条件，将
距离变大，动画生成一种新的曲线，学生易看出该曲线为双曲线。
双曲线的定义其实就是动点所满足的关系，那么双曲线的定义是什么？
也就是动点所满足的关系是
什么？
这个问题可让学生进行探究。
解决这个问题有两个难点：
一是距离的运算关系的得出；二是运算关系的简化。
在探究中，学生类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值，会认为这个定值必是正值，而忽视
了距离差为负值的情况，这样实质上只能得到双曲线的一支。
对于这种情况，我采取启发引导，把
P从一支移到另一支，然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。
在引导下，学生会想到自己缺少
一种情况，动点到两定点的距离差为正值或正值的相反数。
但这个关系能不能加以简化？
学生这个时候
会联想到利用绝对值进行简化。
这样就得到了动点所满足的较为精炼的关系，也就是得到了双曲线的
定义。
这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程，在此基础上，再通过教师的引导，学
生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识，最终得到双曲线定义，从而培养了学生的
观察能力及概括能力。
另外，这一设计也在形的方面实现了椭圆与双曲线的比较，也为下面双曲线定义
的挖掘及两种曲线的对比打下基础。
随着双曲线定义的得出，教学进入第二阶段---知识探索
（二）知识探索----定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比
1、定义的挖掘
在这一环节中，我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响。
首先，我设置了这样两个问题：
（1）类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字；
（2）若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？
（片）
然后让学生带着问题进行合作探究，教师可适当引导，对于学生难以理解的地方适时给予帮助指导。
虽然学生学习椭圆定义时也接触过类似问题，但双曲线较为复杂，比如：
增加了“绝对值”等等。
学生要独立完成会较为困难，所以采取合作探究。
这个过程既可以加深学生对定义的理解，又让可学生在相互交流中互相启发、激励、共同进步提高，从而培养学生的表达能力和协作能力。
在得出结论后，我又为学生提供了以下题目：
请说出下列方程对应曲线的名称：
（3）
（双曲线）
（4）
（双曲线右支）
（5）
（椭圆）
（6）
（以（0，4）为端点，沿着y轴正向的一条线）（片）
这些题目由浅入深，前面两题学生可由双曲线定义直接认识到动点的几何含义，后四题需根据两点间距离公式及椭圆双曲线定义间接认识到动点的几何含义。
这样设置有了过渡，学生不会觉得跨度很大，处理起来比较顺手。
通过这些题的练习可以加深学生对定义的理解，更重要的这些题目就是学生对自己研究结果的应用。
让学生体验到应用自己探究果实的喜悦，对学生来说是一种激励，一举两得。
2、标准方程的推导
这一环节是本节课的难点，为了突破它，我设置了这样几个问题让其贯穿推导过程以将难点分解：
（1）回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法；
（2）类比椭圆试着推导双曲线的标准方程；
（3）换元处理与椭圆有没有区别？
（4）猜证双曲线焦点在y轴上的标准方程。
（片）
然后让学生独立完成推导过程。
这样设置的目的是考虑到由定义求方程，就是求轨迹方程的问题，并且双曲线的标准方程推导过程
与椭圆十分类似，学生有能力独立完成。
但在由于化简根式时运算量较大，处理起来很可能出现一些运
算错误。
另外，变形时绝大多数学生会想到先移项再平方，少部分学生会直接平方。
若直接平方，就会
出现4次方，较为复杂。
如果在实际教学中，有学生提出这种做法，我会让然后让大家参与分析讨论，
看看哪种做法更为简便。
以让学生认识到今后在变形前要考虑清楚不要盲目去做。
整个这个推导过程，不仅提高了学生的变形能力、运算能力，而且也提高学生的分析问题和解决问题
的能力。
3、 方程的对比
此时，学生接触的方程已比较多，很容易混淆，有必要加以对比。
我引导学生进行以下两组对比：
（1）双曲线方程的两种形式的对比；
（2）椭圆方程与双曲线方程
的对比。
（片）
对比时会让学生注意方程结构的区别和联系，比如说：
到底是平方差还是平方和。
另外，还要注意
椭圆方程和双曲线方程都涉及到的三个量a、b、c它们的区别和联系。
对比后，学生可初步的分清四个标准方程及知道如何判断a、b、c。
之后，我又准备了这样一组题：
请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及a、b、c的值：
（片）
可以检测学生对四个方程的掌握程度。
学生处理时，前三题起来会比较顺利，第4题很可能出现
问题。
因为需变成标准形式之后再判断焦点位置及a、b、c的值。
（三）知识应用----例题与巩固练习
1、例题：
在本环节中我为学生准备处理两道例题，例题可由学生讲解，教师指导补充。
例1、已知双曲线焦点的坐标为
，双曲线上一点P到
的距离的差的
绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
这道题难度不大，可直接利用定义求标准方程。
也可以按求轨迹方程的方法求标准方程，学生
不会出现太大问题。
但是要向学生指明，如果某种轨迹适合某种曲线的定义，就不必再用列方程求解，
只要利用定义求出常规待定函数即可。
例2、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点
的坐标为
求双曲线的标准方程。
（片）
这道题可采用待定系数法求标准方程。
本题中双曲线焦点在y轴上，学生在求解过程中很可能会
忽视这个条件，易将方程设成焦点在x轴的。
教师可及时加以强调，让学生注意审题，以培养学生紧密
的思维和严谨的学习态度。
设置两道题是考虑到他们都来源于教材，紧紧围绕双曲线的定义和标准方程，题目典型而且也有
梯度，可使学生初步掌握定义及标准方程的应用。
2、巩固练习
练习是学习活动中不可缺少的环节，可巩固对知识的理解，在这一环节我为学生准备了三道
练习题。
（1）已知双曲线的实轴长为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为（）
A.
B.
C.
或
D.
或
此题是求焦点不确定的双曲线标准方程，学生易忽视焦点在y轴的情况，通过此题的练习可以提醒
学生考虑问题要全面。
（2）已知方程
表示双曲线，求m取值范围。
此题限制条件为m+2和m+1同号，但会有一些学生会认为它们均大于0，忽视了均小于0
的情况，因此会丢解，所以通过这道题的练习会提醒学生考虑问题要认真、全面，同时又可加深学
生对定义及标准方程的理解。
（3）相距2km的两个哨所A，B都听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速为330m\s，
在A哨所听到爆炸声的时间比在B处迟4s。
试判断爆炸点在什么上，并求出曲线的方程。
（片）
这道题是从生活中提炼出的数学问题，设计此题的目的是想通过练习题的解决可以加强学生的
应用能力及应用意识，让学生感悟到数学是源于生活，服务于生活的辨证唯物主义观点。
（四）知识小结----归纳知识与布置作业
1、知识总结：
（1）双曲线的定义（与椭圆的区别）
（2）标准方程（两种形式）
（3）焦点位置的判断（与椭圆的区别）
（4）a、b、c的关系（与椭圆的区别）（片）
在课的尾声，我让学生对本节课进行了总结。
目的是帮助他们认清这节课的知识结构，培
养他们的归纳总结能力。
2、作业：
（1）用表格形式整理双曲线与椭圆的区别和联系
（2）142页第1、2题
（3）（选做）M是双曲线
上一点，
是双曲线的焦点，
，求
的面积。
若使双曲线的方程和角度任意变化，你能得出一般性的结论？
（片）
教学内涵不局限于课堂，为了帮助学生课下能够继续探索和研究，我设置了几组不同层次的作
业，以帮助学生巩固对定义和标准方程的理解，同时可全面照顾到不同层次的学生，激发他们的能动性。
板书设计
双曲线的定义及其标准方程
一、双曲线的定义三例1：
定义的挖掘
二、双曲线的标准方程例2
1、推导：
2、对比：
（片）
这样的板书设计目的是为了突出这节课的主要内容和重点，帮助学生理清思绪，起到提纲
挈领的作用。
四、教学设计的想法说明：
我在教学过程设计方面注意了三点：
1.教学过程的着力点放在了如何激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣上，这是唤醒学生主
体认识的关键。
2.教学过程的重点放在了培养学生的创新精神和实践能力上，而把握重点的关键是如何选择好创新
精神、实践能力与课堂教学的结合，这个结合点从学科来说，就是以科学知识为载体，培养学生
的创新思维方法；从教师来说就是“思路、教路、学路”三者有机结合的教学过程设计，及其在
课堂中的艺术展现；从学生来说，就是亲历、体验、探究、思考和创造性的解决问题的过程，从
而在过程中获得逐步发展。
3.教学过程的基本点放在了夯实基础知识和训练基本技能上，基础知识的教学注重了层次性、针对性。
我在教学理念方面注重了四点
第一是能动性：
师生互动、生生互动，学生主动参与研究过程。
第二是开放性：
教学过程中关注每个学生的个性发展，尊重每个学生发展的特殊需要，学生的思维开放。
第三是生成性：
在教学过程中，学生的认识和体验不断加深，创造性的火花不断进发，学生的思维资源
被开发出来，充分利用。
第四是注意了学生学习方式的转变，既注重了研究性学习，又注重了接受性学习，教师不把现成结论告
诉学生，而是学生自己在教师指导下自主地发现问题、探究问题获得结论，从而解决问题。
对于新概念教学
的我采取了教授性学习方式。
我的说课到此结束，谢谢大家！
双曲线极其标准方程教案
●教学目标
（一）教学知识点
双曲线的有关概念.
（二）能力训练要求
使学生巩固对双曲线概念的掌握.
（三）德育渗透目标
使学生认识到一切事物“变”是绝对的，而“不变”是相对的，从“变”中认识“不变”，以“不变”应“万变”.
●教学重点
双曲线的有关概念
●教学难点
从“变”中认识“不变”
●教学方法
师生共同讨论法
通过对例题的共同讨论，使学生对形“变”而质“不变”有深刻的认识，达到突破难点之目的.
●教具准备
投影片三张
第一张：
课本P106例3（记作§8.3.2A）
第二张：
本课时教案的例4、例5（或上节课后的思考题
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