高等数学多元函数微分学.docx

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高等数学多元函数微分学

60曲面及其方程

常用二次曲面的方程及其图形

1、球面设

是球心，R是半径，

是球面上任一点，则

，即

2、椭球面

3、旋转曲面

设L是x0z平面上一条曲线

，L绕z旋转一周所得旋转曲面：

得

例1、

称为旋转抛物面

旋转双曲面：

，（单）

4、椭圆抛物面

5、单叶双曲面

6、双叶双曲面

7、二次锥面

圆锥面

8、柱面抛物柱面

椭圆柱面

圆柱面

60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲）

一般式

曲线

在三坐标面上投影方程

在x0y面上投影曲线方程：

在

中消去z，再与z=0联立。

多元函数微分学

10二元函数及其极限与连续

1、

，定义域为平面上某一个平面域

几何上

为空间一张曲面。

2、二元函数极限P186

例1、讨论函数

极限是否存在。

解：

而

∴

在（0,0）极限不存在.

3、连续P187

20多元函数的偏导数与全微分

1、偏导数

定义：

处对x的偏导数，

记作：

即：

同理：

存在，称

可导。

例1、

解：

例2、P188，例5，6

设

解：

2、高阶偏导数

连续，则

3、全微分

如

可微

全微分

↗可导

↘连续

偏导数

连续→可微

例3、设

则

例4、由方程

确定

在点

全微分

30复合函数微分法

定理：

P194

z=f（u.v）u=u（x.y.）v=v（x.y）z=f（u,v）=F（x.y）

例5、P195，例5.14

设z=（1+x2+y2）xy求

解：

例5.15解

，

例7、

，其中

可微，则

例8、

可微，则

例9、设

，求证

证：

令

则

例10、设

，其中

二阶可导，

具有二阶连续偏导数。

求

解：

例11、设

，试将方程

变换成以

为自变量的方程，其中函数

具有二阶连续偏导数。

解：

∴

于是方程变为：

40隐函数求导

确定了

求

（1）方程两边同时对

求导，注意

，可求得

方程两边同时对

求导，注意

，可求得

（2）利用公式

（3）两边微分

用

（2），（3）需具体方程给出，容易

例12、设

由方程

，求

解法一、在方程两边对x求导，注意

解法二、设

解法三、在方程两边微分

即

∴

例13、设

由方程

确定，其中

可微

则

例14、已知方程

定义了

，求

解：

（或方程两边对

求导，注意

）

在方程

两边对

求导，

在

（1）式两边对x求导

法二：

∴

例15、习题7

设

，

，

，其中

，

都具有一阶连续偏导数，且

，求

解：

在

，两边对

求导，设

例16、P200，例：

5.20

50一阶偏导数在几何上的应用

1、空间曲线的切线与法平面

曲线L：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

曲线L在M0点处切线方程为：

或

例17、P204，例5.24，例5.25

例5.25法二

在

两边微分

在点

取

∴切线方程

例19、求曲线

点处切线方程

解：

法一

代入

得

∴切线方程：

2、空间曲面的切平面与法线

曲面方程：

则曲面在

点处切平面方程：

如曲面方程

则切平面方程：

法线方程：

例20、曲面

在（2，1，3）处的法线方程

例21、P203，例5.22

例22、曲线

绕y轴旋转一周得到的旋转面在点

处的指向外侧单位法向量是

例23、证明：

曲面

的切平面与坐标轴所围成的四面体体积为常数

证：

设切点为

曲面在M（x0，y0，z0）处切平面：

即

即

四面体体积

3、方向导数与梯度

方向导数：

，可微

方向导数：

或：

如

则

分析：

设：

则

设：

为函数

在

处梯度

记为：

gradu

即

P20P20例5.26例5.29

例P220，习题19

解：

gradu（M0）=

取M0处法向量为