九上11菱形的性质与判定1.docx
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九上11菱形的性质与判定1
菱形的性质
复习回顾:
平行四边形的性质:
1.从对称性的角度想:
平行四边形______(填“是”或“不是”)中心对称图形,____________________
是它的对称中心.
2.从边的角度想:
平行四边形的对边____________________.
3.从角的角度想:
平行四边形的对角__________.
4.从对角线的角度想:
平行四边形的对角线__________.
围绕上面知识回顾,填空:
1.若四边形ABCD是平行四边形,则有AB∥_____,AD∥_____.
2.如图,在平行四边形ABCD中
(1)若AB=4cm,则CD=______cm.
(2)∠ABC=60°,则∠D=_________°,∠BCD=_________°.
知识要点:
1.菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,菱形是特殊的平行四边形.
2.菱形的性质:
(1)对边平行,四边相等.
(2)对角相等,邻角互补.
(3)对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角.
边学边练:
(1)下列语句中,错误的是()
A.菱形是轴对称图形,它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到
C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到
(2)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()
A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等
3.菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半.
同平行四边形的学习一样,我们也可以从边、角、线(即对角线)三个角度理解、记忆菱形的性质.
【典型例题】
例1:
已知菱形ABCD的对角线交于点O,AC=16cm,BD=12cm,求
(1)菱形ABCD的面积;
(2)菱形ABCD的边长;(3)菱形ABCD的高.
变式练习:
如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于H,求:
DH的长.
例2:
菱形的周长为20cm,两邻角的比为1:
2,
(1)求菱形ABCD的对角线的长;
(2)求菱形ABCD的面积;(3)求一组对边的距离.
变式练习:
已知:
如图,菱形ABCD的周长为16cm,∠ABC=60°,对角线AC和BD相交于点O,求AC和BD的长.
例3.如图四边形ABCD是菱形,F是AB上的一点,DF交AC于E.
求证:
AFD=
CBE.
变式练习:
已知:
如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在CD,BC上,且CE=CF,
求证:
AE=AF.
【巩固练习】
分类练习
01基础题
知识点1 菱形的定义
1.如图,在▱ABCD中,∵∠1=∠2,∴BC=DC.∴▱ABCD是菱形().(请在括号内填上理由)
2.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边BC、AB、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形,小聪的说法(填“正确”或“不正确”).
知识点2 菱形的性质
3.(泸州中考)菱形具有而平行四边形不具有的性质是()
A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
4.(长沙中考)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对角线BD的长是()
A.1B.
C.2D.2
5.(黔西南中考)如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,则菱形的边长AB等于()
A.10B.
C.6D.5
6.如图,在菱形ABCD中,EF∥AB,对角线AC交EF于点G,那么与∠BAC相等的角的个数有()
A.3个B.4个C.5个D.6个
7.(毕节中考)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于()
A.3.5B.4C.7D.14
8.(广州中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,
AO=4,求BD的长.
9.(济南中考)如图,在菱形ABCD中,CE=CF.求证:
AE=AF.
02 中档题
10.(衢州中考)如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于()
A.6
米B.6米C.3
米D.3米
11.(昆明中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列结论:
①AC⊥BD;②OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④△ABC是等边三角形.其中一定成立的是()
A.①②B.③④C.②③D.①③
12.(烟台中考)如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO,若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为()
A.28°B.52°C.62°D.72°
13.(乌鲁木齐中考)若菱形的周长为8,相邻两内角之比为3∶1,则菱形的高是.
14.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:
BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
15.(贵阳中考)已知:
如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:
AE=EC;
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?
说明理由.
03 综合题
16.(河南中考)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为()
A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(
,0)D.(0,-
)
第2课时菱形的判定
【知识要点】
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
数学语言:
∵四边形ABCD是____________,且________________
∴四边形ABCD是菱形.
(2)对角线互相垂直的平行四边形.
数学语言:
∵四边形ABCD是____________,且________________
∴四边形ABCD是菱形.
(3)四条边都相等的四边形.
.
数学语言:
∵AB=CD=_________=__________
∴四边形ABCD是菱形.
边学边练:
1.判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形.
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形.
(3)邻角相等的四边形是菱形.
(4)有一组邻边相等的四边形是菱形.
(5)两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形.
(6)对角线互相垂直的四边形是菱形.
(7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
2.能够判别一个四边形是菱形的条件是()
A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
3.下列命题正确的是()
A.有两组邻角相等的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【典型例题】
例1:
如图,AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗?
说明你的理由.
变式练习:
如图AD是△ABC的角平分线,DE//AC,交AB于点E,DF//AB,交AC于点F,证明:
AD⊥EF.
例2:
如图□ABCD的对角线AC、BD交于点O,AB=5,AO=4,BO=3,求证□ABCD是菱形.
变式练习:
如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线交BC、AD于点E、F,
求证:
四边形AECF是菱形.
分类练习
01 基础题
知识点1 有一组邻边相等的四边形是菱形
1.(钦州中考)如图,要使▱ABCD成为菱形,下列添加的条件正确的是()
A.AC=ADB.BA=BCC.∠ABC=90°D.AC=BD
2.(海南中考)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()
A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°
3.(长春中考)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证:
四边形ACGF是菱形.
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.(潍坊中考)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
5.已知▱ABCD两对角线AC、BD相交于点O,AC=12cm,BD=16cm,AD=10cm,则▱ABCD为.
6.如图,在▱ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F,当AC与EF满足什么条件时,四边形AECF是菱形?
请给出证明.
知识点3 四边相等的四边形是菱形
7.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形,作图痕迹如图所示,能得到四边形ABCD是菱形的依据是()
A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
02 中档题
8.如图是一张平行四边形纸片ABCD,要求利用所学知识将它变成一个菱形,甲、乙两位同学的作法分别如下:
甲:
连接AC,作AC的中垂线交AD、BC于E、F,则四边形AFCE是菱形.
乙:
分别作∠A与∠B的平分线AE、BF,分别交BC于点E,交AD于点F,则四边形ABEF是菱形.
对于甲、乙两人的作法,可判断()
A.甲正确,乙错误B.甲错误,乙正确C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误
9.(十堰中考)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是(只填写序号).
10.(荆门中考)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:
四边形ABCD是菱形.
11.(黔南中考改编)如图,已知△ABC,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于E,连接CE,过点C作CF平行于BA交PQ于点F,连接AF.求证:
(1)△AED≌△CFD;
(2)四边形AECF是菱形.
03 综合题
12.(泰安中考改编)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于点F,连接DF.
(1)求证:
∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
第3课时 菱形的性质与判定的运用
01 基础题
知识点1 与菱形有关的计算
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD的长分别是8和6,则菱形的周长等于()
A.12B.16C.20D.24
2.如图,在▱ABCD中,AC平分∠DAB,AB=2,则▱ABCD的周长为()
A.4B.6C.8D.12
3.如图,菱形ABCD的周长为16,∠ABC=120°,则AC的长为()
A.4
B.4C.2
D.2
4.(枣庄中考)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于()
A.
B.
C.5D.4
5.如图,在△ABC中,AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点.
(1)求证:
四边形BDEF是菱形;
(2)若AB=10cm,求菱形BDEF的周长.
知识点2 菱形的判定
6.如图,添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是()
A.AB=BCB.AC⊥BDC.∠ABC=90°D.∠1=∠2
7.如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为菱形,应添加的条件是()
A.AB∥DCB.AB=DCC.AC⊥BDD.AC=BD
8.如图,在△ABC中,AB<BC<AC,小华依下列方法作图:
①作∠C的平分线交AB于点D;②作CD的中垂线,分别交AC,BC于点E,F;③连接DE,DF.根据小华所作的图,下列说法中一定正确的是()
A.四边形CEDF为菱形B.DE=DAC.DF⊥CBD.CD=BD
9.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为边AB,AD的中点,连接EF,OE,OF,求证:
四边形AEOF是菱形.
02 中档题
10.(兰州中考)如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E、F,连接EF,则△AEF的面积是()
A.4
B.3
C.2
D.
11.如图,在菱形ABCD中,过对角线BD上任一点P,作EF∥BC,GH∥AB,下列结论正确的是.(填序号)
①图中共有3个菱形;②△BEP≌△BGP;③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半;④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长.
12.如图,在▱ABCD中,EF垂直平分AC交BC于E,交AD于F.
(1)求证:
四边形AECF为菱形;
(2)若AC⊥CD,AB=6,BC=10,求四边形AECF的面积.
03 综合题
13.(临沂中考)对一张长方形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
第一步:
先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:
再一次折叠,使点A落在MN上的点A′处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA′,EA′,展开,如图1;
第三步:
再沿EA′所在的直线折叠,点B落在AD上的点B′处,得到折痕EF,同时得到线段B′F,展开,如图2.
求证:
(1)∠ABE=30°;
(2)四边形BFB′E为菱形.