《100题斩》系列上极坐标与参数方程.docx
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《100题斩》系列上极坐标与参数方程
《100题斩》系列
极坐标与参数方程（上）
2
1．（2018全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
⎧x=2cosθ,
⎩
2．（2018全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨y=
（θ为参数），
4sinθ,
⎧x=1+tcosα
⎩
直线l的参数方程为⎨y=2+tsinα（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．
3．（2018全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为⎧x=cosθθ为参
⎨y=sin，（
数），过点（0,-2）且倾斜角为α的直线l与O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
4．（2018江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（π-θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，
6
求直线l被曲线C截得的弦长．
⎧x=3cosθ
⎩
5．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨y=sinθ，（θ为参
⎧x=a+4t
⎩
数），直线l的参数方程为⎨y=1-t
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为
（t为参数）．
，求a．
6．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16，求点P的轨
迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为
π，点B在曲线C上，求∆OAB面积的最大值．
（2,）
32
7．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为⎧x=2+t
（t为参数），
⎩
1
⎧x=-2+m
⎨y=kt
直线l的参数方程为⎪m（m为参数）．设l与l的交点为P，当k变化时，
2⎨y=12
⎩k
P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：
ρ（cosθ+sinθ）-
=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
⎧x=-8+t
⎨t
8．（2017江苏）在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为⎪
y=
（t为参数），
⎪⎧x=2s2
⎩⎪2
曲线C的参数方程为⎨
⎪⎩y=22s
（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线
l的距离的最小值．
9．（2016年全国I）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎧x=acost
（t为参
⎩
1⎨y=1+asint
数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
ρ=4cosθ．
（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为θ=a0，其中a0满足tana0=2，若曲线C1与C2的公共点
都在C3
上，求a．
10．（2016年全国II）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
⎧x=tcosα
（II）
⎩
直线l的参数方程是⎨y=tsinα（t为参数），l与C交于A、B两点，AB=，
求l的斜率．
⎧⎪x=
11．（2016年全国III）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为⎨
3cosα
（α为
⎪⎩y=sinα
参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐
标方程为ρsin（θ+π）=2．
4
（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
⎧x=1+1t,
⎨
12．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为⎪
⎪
⎪y=
⎩
2
3t,
2
（t为参数），
⎧x=cosθ,
⎩
椭圆C的参数方程为⎨y=2sinθ,
（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A,B两点，求线段
AB的长．
13．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C：
x=-2，圆C：
（x-1）2+（y-2）2=1，
12
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C的极坐标方程为θ=π（ρ∈R）,设C与C的交点为M,N,求
3423
∆C2MN的面积．
14．（2015新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C：
⎧x=tcosα,（t为参数，t≠0）
⎩
1⎨y=tsinα,
其中0≤α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
ρ=2sinθ，
C3：
ρ=23cosθ．
（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
）
15．（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+22ρsin（θ-π-4=0，求圆C的半径.
4
⎧x=3+1t
16．（2015陕西）在直角坐标系xOy中，直线l
⎪
的参数方程为⎨
⎪
⎪y=
⎩
2（t为参数）．以
3t
2
原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=23sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
17．（2014新课标Ⅰ）已知曲线C：
x+y
49
⎧x=2+t
⎩
=1，直线l：
⎨y=2-2t（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
18．（2014新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈⎡0,π⎤．
⎣⎢2⎥⎦
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:
y=3x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得
到的参数方程，确定D的坐标．
19．（2013新课标Ⅰ）已知曲线C的参数方程为⎧x=4+5cost（t为参数），以坐标原点
⎩
1⎨y=5+5sint
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ≤2π）．
⎨y=2sinβ
20．（2013新课标Ⅱ）已知动点P，Q都在曲线C：
⎧x=2cosβ
⎩
（β为参数）
上，对
应参数分别为β=α与β=2α（0<α<2π）M为PQ的中点。
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。
21．（2012新课标）已知曲线C的参数方程是⎧x=2cosϕ
ϕ为参数），以坐标原点为
⎩
1⎨y=3sinϕ（
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2．正方形
ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为
p
（2,）．
3
（Ⅰ）求点A、B、C、D的直角坐标；
1
（Ⅱ）设P为C上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
22．（2011新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎧x=2cosα（α为
⎩
1⎨y=2+2sinα
参数），M是C1上的动点，P点满足OP=2OM，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π与C的异于极点的
31
交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB．
⎧x=1+tcosα⎧x=cosθ
23.（2010年全国卷）已知直线C1:
⎨y=tsinα（t为参数），圆C2:
⎨y=sinθ
（θ为参数），
p
（1）
当α=时，求C和C的交点坐标；
312
（2）
1
过坐标原点O作C的垂线，垂足为A,P为OA的中点.当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.
24.已知曲线C
⎧x=-4+cost
:
（t为参数），C
⎧x=8cosθ
θ为参数），
1⎨y=3+sint2⎨y=3sin（
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
p
（2）
1
若C上的点P对应的参数为t=，Q为C上的动点，求PQ中点M到直线
22
⎧x=3+2t
⎩
C3:
⎨y=-2+t（t为参数）距离的最小值.
⎧⎪x=23cosα
25.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨
⎪⎩y=2sinα
，其中α为参数，
α∈（0,π）.在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为
π
（42,），直线的极坐标方程为ρsin（θ-
4
π
）+5
4
=0.
（1）求直线的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点.求点M到直线的距离的最大值
.
26.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程是
2ρsin⎛θ+π⎫=1，点Q⎛ρ,π⎫在直线l上.以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴，
ç4⎪ç2⎪
⎝⎭⎝⎭
建立平面直角坐标系xOy，且两坐标系取相同的单位长度.
（I）求曲线C及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B，求QA+QB的值.
27.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的
⎧2
⎪x=2t
参数方程为⎨
（t为参数），曲线C
的极坐标方程为
ρ=4.
⎪
⎪y=2+2t
⎩2
（1）若l的参数方程中的t=-2时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；
（2）若点P（0,2），l和曲线C交于A,B两点，求1+1.
28.
⎨y=2-t
在平面直角坐标系xOy中，直线l：
⎧x=2+t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴
⎩
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C：
ρ=2sinθ.
（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）
记射线θ=α⎛ρ≥0,0<α<π⎫与直线l和曲线C的交点分别为点M和点N（异
ç2⎪
⎝⎭
于点O），求
的最大值.
29.
⎨y=4sina
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎧x=4cosa+2（a为参数），以O为极点，
⎩
以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=π（ρ∈R）.
6
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A,B两点，求AB的值.
30.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l
）
的极坐标方程为3ρcosθ+ρsinθ-=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-π．
6
（I）求直线l和C的普通方程；
（II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2,-3），求||PA|-|PB||的值．
31.
⎨y=4+5sinα
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是⎧x=3+5cosα,（α为参数），以坐标原
⎩
点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设l:
θ=π，l
:
θ=π，若l,l与曲线C分别交于异于原点的A,B两点，求∆AOB
162
的面积.
312
⎧x=
32.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为⎨
3cosα
（其中α为参数），曲线
⎩y=sinα
2
C:
（x-1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
π
（Ⅱ）若射线θ=
ρ>0）与曲线C，C分别交于A,B两点，求AB.
（12
6
⎧x=-1+4cosθ
33.
⎩
在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为⎨y=2+4sinθ
（θ为参数），以原点O为
极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
3π
ρsin（θ+
4
）=7．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）A，B分别是圆C和直线l上的动点，求|AB|的最小值．
⎧
⎪x=-1-
34.已知直线l的参数方程为⎨
3t
2（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴
1
⎪y=
⎩
3
+t
2
2π
为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-）.
3
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）
若P（x,y）是直线l与圆面ρ≤4cos（θ-
2π
）的公共点，求
3
3x+y的取值范围.
35.点P是曲线ρ=2（0≤θ≤π）上的动点，A（2,0），AP的中点为Q.
（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；
⎡
（2）若C上点M处的切线斜率的取值范围是-
3,-
3⎤，求点M横坐标的取值范围.
⎢3⎥
⎣⎦
36.在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2,0），半径为，以坐标原点为极点，X轴
⎧x=-t
⎩
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：
⎨y=1+t（t为参数）.
（1）求圆C和直线l的极坐标方程；
（2）
点P的极坐标为⎛1,π⎫，直线l与圆C相交于A，B，求PA+PB的值.
ç2÷
⎝⎭
37.
⎨
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎧⎪x=3+
5cosθ
（其中参数θ∈R）.
⎪⎩y=
5sinθ
（1）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（2）
⎨y=tsinα
直线l的参数方程为⎧x=1+tcosα（其中参数t∈R,α是常数），直线l与曲线C交
⎩
于A,B两点，且AB=2，求直线l的斜率．
38.在平面直角坐标系中，直线l
⎧
⎪x=-
的参数方程为⎨
2t，
2
（其中t为参数），现以坐标
⎪
⎪y=-4+2t
⎩2
原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M（1，0）且与直线l平行的直线l'交C于A，B两点，求|AB|.
39.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a>0），过点Pሺ—െ,—4ǡ的直线l的参数方程为
⎧
⎪x=-2+
⎨
⎪
⎪y=-4+
⎩
2t
2（t为参数），直线l与曲线C相交于A,两点.
2t
2
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若PA⋅PB=AB2,求a的值.
40.直线l的极坐标方程为ρsin8—n
4
=4െ,以坐标原点0为极点，以x轴正半轴为极
轴，建立极坐标系，
C
x=4cosα
曲线的参数方程为y=െsinαሺα为参数）．
（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C1,写出C1的极坐标方程；
（2）射线θ=π与C1、l交点为M,，射线θ=െπ与C1、l交点为A、，求四边形AM的
33
面积．
41.在平面直角坐标系中，曲线C1:
xെ—yെ=െ，曲线Cെ的参数方程
为x=െʹെcos8（8为参数）．以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，Cെ的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，射线8=n与曲线C，C分别交于A，两点（异于极点0），
．．61െ
定点Mሺ3,ǡ，求6MA的面积．
42.已知曲线C1的参数方程为x=െ㜮
（㜮为参数），以原点0为极点，以x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线Cെ的极坐标方程为q=．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和Cെ的直角坐标方程；
（Ⅱ）射线0P：
8=α（其中€α€n）与C交于P点，射线0Q：
8=αʹn与C交于Q
11
点，求
െെെെ
的值．
0Pെ0Qെ
43.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{
x=1+cosθ
y=sinθ
（θ为参数），以坐标原
点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
ρ2-4ρsinθ=3．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
p
（Ⅱ）直线θ=与曲线C1，C2分别交于第一象限内的
，
两点，求AB．
3
44.在直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的方程为x2+y2-4x-8y=0，直线C的极坐标方程为θ=πρ∈R）．
（
123
（I）写出C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标方程;
p
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R）,设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的
6
交点为O、N求∆OMN的面积．
45.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{
x=1+cosα
2
y=-3+sinα
2
（α为参数），以坐
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的方程为
⎛π⎫
3
ρ=23sinçθ+⎪．
⎝⎭
（1）求C1与C2交点的直角坐标；
（2）过原点O作直线l，使l与C1，C2分别相交于点A，B（A，B与点O均不重合），求AB的最大值．
46.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=+cosϕ（ϕ为参数）．在以坐
1y=1+sinϕ
标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线C2的极坐标方程为θ=α，其中
p
0<α<．
2
（Ⅰ）求C1的极坐标方程；
（Ⅱ）若C与C交于不同两点A，B，且OA>OB，求1-1的最大值．
21
47．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1的普通方程和极坐标方程；
2π
x=-1+2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数）以坐
（2）直线C2的极坐标方程为θ=的中心，求∆ABC的面积．
（ρ∈R），若C1与C2的公共点为A,B，且C是曲线C1
3
⎛π⎫
48.
直线l的极坐标方程为ρsinçθ-⎪=4
⎝⎭
x=4cosα
，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立极坐
标系，曲线C的参数方程为{
y=2sinα
（α为参数），
（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，写出C1的极坐标方程；
p
（2）射线θ=3与C1，l交点为M，N，射线θ=
ABNM的面积．
2π
3与C1，l交点为A、B，求四边形
49.在平面直角坐标系x0y中，曲线C的参数方程为x=4cosaʹെ（a为参数），以0
为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为
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