天津大学最优化方法复习题.docx
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天津大学最优化方法复习题
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《最优化方法》复习题
第一章概述（包括凸规划）
判断与填空题
argmaxf（x）=arg口鬥[—f（x）]."
x#x*
max:
f（x）:
x•二D_Rn：
--min:
f（x）:
x•二D_RnZ
设f:
D_•Rn—；R.若x”•Rn,对于一切x•Rn恒有f（x”）冬f（x）,则称x”为最优化问题minf（x）的全局最优解•
xfD
设f:
DRn>R.若x”・D，存在x”的某邻域N；（x”）,使得对一切x•n（x）恒有f（x”）：
：
：
f（x），则称x”为最优化问题minf（x）的严格局部最优解.
给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值.V
非空集合DMRn为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D.V
非空集合D5Rn为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D.V
任意两个凸集的并集为凸集.
函数f：
D冬Rn>R为凸集D上的凸函数当且仅当-f为D上的凹函数.V
设f：
D_・Rn—R为凸集D上的可微凸函数，x”・D.则对一D,有
f（X）—f（X*）兰W（xM）T（X—x\.x
若c（x）是凹函数，则D={X・Rnc（x）—0}是凸集。
V
设&k匚为由求解minf（x）的算法a产生的迭代序列，假设算法a为下降算法，
xZD
则对—k•‘0,1,2,…？
，恒有f（Xk1）乞f（Xk）.
13算法迭代时的终止准则（写出三种）
14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
V
15函数f:
D5R在点xk沿着迭代方向dk•Rn{0}进行精确一维线搜索的
步长:
k，则其搜索公式为.
16函数f:
D5Rn—；R在点xk沿着迭代方向dk三Rn{0}进行精确一维线搜索的
步长用k，贝U：
：
卄（xk亠-：
:
kdk）丁dk=.
17设dk•Rn{0}为点xk•D5Rn处关于区域D的一个下降方向，则对于
.：
-〔＞■0，二很三（0,:
•）使得xA二dD.
简述题
1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。
2怎样判断一个函数是否为凸函数.
（例如：
判断函数f（x）=x；2x!
x22x2-10x!
5x2是否为凸函数）
三、证明题
1证明一个优化问题是否为凸规划.（例如
1tt
minf（x）xGxcxb
2
判断s.t.Ax二b（其中G是正定矩阵）是凸规划
x-0
2熟练掌握凸规划的性质及其证明
其中,
、
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第二章线性规划
min
考虑线性规划问题:
（LP）
s.t.Ax二b,x_0,
c€Rn,AERm：
\b€Rm为给定的数据，且rankA=m,m兰n.
判断与选择题
（LP）的基解个数是有限的.V
若（LP）有最优解，则它一定有基可行解为最优解.V
（LP）的解集是凸的.V
对于标准型的（LP），设㈠［由单纯形算法产生，则对k・「0,1,2，…？
，有
TkTk：
：
1
cxcx.X
若x*为（LP）的最优解，y*为（DP）的可行解，则cTx*_bTy*.V
设x°是线性规划（LP）对应的基B=（巴，…，Pm）的基可行解，与基变量
X!
，…，Xm对应的规范式中，若存在匚k：
：
：
0，则线性规划（LP）没有最优解。
X
求解线性规划（LP）的初始基可行解的方法：
.
对于线性规划（LP），每次迭代都会使目标函数值下降.X
简述题
1将以下线性规划问题化为标准型：
maxf（x）=Xt_2x23x3
s.t.xx2x3_6,
X2x24x3_12,
x*X3_2,
x2_0,x3_0.
2写出以下线性规划的对偶线性规划：
maxf（x）=3Xt2x2x34x4
s.t.2xt4x23x3x4=6,
一2石4x23x3x4_3,
Xi,X2,X3,X4一0.
三、计算题
熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段
法）.
见书本：
例2.5.1（利用单纯形表求解）；
例2.6.1（利用大M法求解）;
例2.6.2（利用二阶段法求解）.
四、证明题
熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。
第二章无约束最优化方法
判断与选择题
1设G•Rnn为正定矩阵，则关于G共轭的任意n-1向量必线性相关.V
2在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向•X
3经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.X
4PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法.X
5用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关•V
6FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性.X
7共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性.V
8函数f:
Rn—；R在xk处的最速下降方向为.
9求解minf（x）的经典Newton法在xk处的迭代方向为pk=.
X衮
10若f（x）在x*的邻域内具有一阶连续的偏导数且\f（x*）=0，则x*为的局部极小点•X
11若f（x）在x*的某邻域内具有二阶连续的偏导数且x*为f（x）的严格局部
极小点，则G*八2f（x*）正定.X
12求解minf（x）的最速下降法在xk处的迭代方向为pk=.
x誉
13求解minf（x）的阻尼Newton法在xk处的迭代方向为pk=.
xWRn
14用牛顿法求解min1xTG^bTx（b^Rn，G^R比）时，至多迭代一次X®2
可达其极小点•X
15牛顿法具有二阶收敛性•V
16二次函数的共轭方向法具有二次终止性•X
17共轭梯度法的迭代方向为:
证明题
1设f:
Rn>R为一阶连续可微的凸函数，x”•Rn且f（x）=0，则x”为minf（x）的全局极小点.
x尹n
2给定b€Rn和正定矩阵G€Rnxn.如果x^Rn为求解
minf（x）JxTGxbTx的迭代点，d—Rn心为其迭代方向，且
x.Rn2
ktk
•[o,■：
：
）为由精确一维搜索所的步长，则-xkTk.
（dk）TGdk
3试证：
Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点
四、简述题
1简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.
2简述共轭梯度法的基本思想.
五、计算题
1利用最优性条件求解无约束最优化问题.
31
例如：
求解minf（x）x；x；-Xtx2-2Xt
22
2用FR共轭梯度法无约束最优化问题.
见书本：
例3.4.1.
3用PRP共轭梯度法无约束最优化问题.
见书本：
例3.4.1.
31
例如：
minf（x）x12x；-x1x^-2x1其中x0=（0,0）T,;=0.01
22
第四章约束最优化方法
考虑约束最优化问题：
（NLP）minf（x）
s.t.°（x）=0,iE=：
1,2,,I
Ci（x）_0,iI1,I2,,m]
其中，f,Ci（i=1,2,…，m）:
Rn>R.
-、判断与选择题
1外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT.X
2使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP）时，得到的近似最优解往往不是（NLP）的可行解.X
3在求解（NLP）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为.
4在（NLP）中l=0，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数
为.
5在（NLP）中l=0，贝U在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为
（■k-1）i=，对iT,…，ml
6在（NLP）中m=丨，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange函数为：
7对于（NLP）的KT条件为：
二、计算题
1利用最优性条件（KT条件）求解约束最优化问题.
2用外罚函数法求解约束最优化问题.
见书本：
例421;
例422.
3用内罚函数法求解约束最优化问题.
见书本：
例423.
4用乘子法求解约束最优化问题.
见书本：
例4.2.7;
例4.2.8.
三、简述题
1简述SUMT外点法的优缺点.
2简述SUMT内点法的优缺点.
四、证明题
利用最优性条件证明相关问题.
例如：
Q设为正定矩阵，A为列满秩矩阵.试求规划
（P）minf（x）=1xQxcxa
2
s.t.Axb
的最优解，并证明解是唯一的.
第五章多目标最优化方法
一、判断与选择题
1求解多目标最优化问题的评价函数法包括.
2通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题.V
3设F:
DRn>Rm，则F在D上的一般多目标最优化问题的数学形式
为.
4对于规划v-minf（X）二（fi（x）,…，j（X））T，设x”•d,若不存在x•D
x.DRn
使得F（x）乞F（x”）且F（x）=F（x），则x”为该最优化问题的有效解.V
5一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解.V
fi（i=1,2,…，m）的权系数，则求解以上问题的线性加权和法中所求解优
化的目标函数为.
解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解•V
、简述题
1简单证明题
☆绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系.
第5.2节中几个主要结论的证明.
2简单叙述题
★简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想.
简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想.
★简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想.简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的基本思想.
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