6方程与方程组.docx
《6方程与方程组.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6方程与方程组.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
6方程与方程组
第六单元方程与方程组
第一节一元一次方程
课标解读
考试内容
考试要求
考查频度
A
B
C
一元一次方程
了解一元一次方程的有关概念
能解一元一次方程
运用方程与不等式的有关内容解决有关问题
★★
知识要点
1.方程化为最简形式后，只含有未知数，并且含有未知数的项的次数是的方程叫一元一次方程，形如ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，并且a≠0）.
2.使方程左右两边的值相等的的值，叫方程的解（根）.
3.解一元一次方程的一般步骤:
①,②去括号，③（移项要变号）,④,⑤化未知数的系数为1，这里的顺序可视具体题目而定.
典例诠释
考点一一元一次方程的解
例1（2015·四川甘孜）已知关于x的方程3a－x=+3的解为2，则代数式－2a+1的值是．
【答案】1
【名师点评】本题考查的是一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的基本步骤是解答此题的关键．先把x=2代入方程求出a的值，再把a的值代入代数式进行计算即可．
考点二解一元一次方程
例2（2015·济南）若代数式4x－5与的值相等，则x的值是（）
A.1B.C.D.2
【答案】B
【名师点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：
去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1，求出解．根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
考点三列方程解应用题
例3（2016·聊城）在如图1-6-1的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）
图1-6-1
A．27B．51C．69D．72
【答案】D
【名师点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14．列出三个数的和的方程，再根据选项解出x，看是否存在．
例4（2016·绥化）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（）
A．x+1=（30－x）－2B．x+1=（15－x）－2
C．x－1=（30－x）+2D．x－1=（15－x）+2
【答案】D
【名师点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是表示出长方形的宽．根据长方形的周长公式，表示出长方形的宽，再由正方形的四条边都相等得出等式即可．
考点四与不等式综合
例5（2016·菏泽）当1＜a＜2时，代数式|a－2|+|1－a|的值是（）
A．－1B．1C．3D．－3
【答案】B
【名师点评】此题考查的知识点是代数式求值及去绝对值符号，解题的关键是根据a的取值，先去绝对值符号，再计算求值．
基础精练
1.（2016·朝阳一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．
《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：
‘杯何以多？
’妇人曰：
‘家有客．’津吏曰：
‘客几何？
’妇人曰：
‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？
”
译文：
“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？
”设共有客人x人，可列方程为．
【答案】x+x+x=65
2.（2016·门头沟一模）某地中国移动“全球通”与“神州行”收费标准如下表：
品牌
月租费
本地话费（元/分钟）
长途话费（元/分钟）
全球通
13元
0.35
0.15
神州行
0元
0.60
0.30
如果小明每月拨打本地电话时间是长途电话时间的2倍，且每月总通话时间在65~70分钟之间，那么他选择较为省钱（填“全球通”或“神州行”）．
【答案】全球通
3.（2016·怀柔一模）李白（701年—762年），唐代伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”.李白的一生和酒有着不解之缘，写下了如《将进酒》这样的千古绝句.古代民间流传着这样一道算题：
李白街上走，提壶去打酒；
遇店加一倍，见花喝一斗；
三遇店和花，喝光壶中酒；
试问酒壶中，原有多少酒？
意思是：
李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次看见花店就喝去一斗（斗是古代容量单位，1斗=10升），这样遇到酒店、看见花店各三次.把酒喝完.问壶中原来有酒多少？
设壶中原来有酒x斗，可列方程为.
【答案】[（2x－1）×2－1]×2－1=0或8x－7=0
4.（2016·海淀一模）油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车，它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中.汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油.某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：
油电混动汽车
普通汽车
购买价格（万元）
17.48
15.98
每百公里燃油成本（元）
31
46
某人计划购入一辆上述品牌的汽车.他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本.则他在估算时，预计平均每年行驶的公里数至少为（）
A．5000B．10000C．15000D．20000
【答案】B
5.（2016·延庆一模）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶A、B两种饮料中，共添加270克该添加剂，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
【解】设A种饮料生产x瓶，则B种饮料生产（100－x）瓶.
根据题意，得2x+3（100－x）=270,解得x=30.100－30=70.
答：
A种饮料生产了30瓶，B种饮料生产了70瓶.
6.（2016·石景山一模）某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：
白色文化衫
黑色文化衫
成本（元）
6
8
售价（元）
20
25
假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？
【解】设购进白色文化衫x件，则购进黑色文化衫（200－x）件.
根据题意，得（20－6）x+（25－8）（200－x）=3040,
解得x=120，200－x=80.
答：
购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件．
真题演练
1.（2016·北京）百子回归图是由1,2,3，…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：
中央四位“19991220”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“2350”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为.
图1-6-2
【答案】505
2.（2016·广东梅州）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为．
【答案】x（20－x）=64
3.（2016·广西贺州）解方程：
=5．
【解】去分母，得2x－3（30－x）=60.
去括号，得2x－90+3x=60.
移项、合并同类项，得5x=150.
系数化为1，得x=30.
4.（2016·大连）A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度．
【解】设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度为（x+30）千米/时，
根据题意，得80（x+30）=x（200－80），解得x=60，则x+30=90，
即甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时．
5.（2016·湖北黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
【解】设八年级收到的征文有x篇，则七年级收到的征文有篇，
根据题意，得+x=118，解得x=80.则118－80=38.
答：
七年级收到的征文有38篇.
第二节一元二次方程
课标解读
考试内容
考试要求
考查频度
A
B
C
一元二次方程
了解一元二次方程的有关概念；理解配方法；会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况
能用适当的方法解数字系数的一元二次方程；能用根的判别式解决与一元二次方程根有关的问题
★★★
知识要点
1.等号的两边都是，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是，其中叫做二次项，叫做二次项系数;叫做一次项，叫做一次项系数;叫做常数项.
3.利用一元二次方程的求根公式x=，求出一元二次方程+bx+c=0（a≠0）的解的方法，叫做公式法.
4.先使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于的形式，再使这两个一次式分别等于，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.
5.当时，一元二次方程+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根;当时，一元二次方程+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根;当时，一元二次方程+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
典例诠释
考点一解一元二次方程
例1（2016·扬州）已知M=a－1，a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）
A．M＜NB．M=NC．M＞ND．不能确定
【答案】A
【名师点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将M与N代入N－M中，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于0得到差为正数，即可判断出大小．
考点二根的判别式
例2（2016·自贡）已知关于x的一元二次方程+2x－（m－2）=0有实数根，则m的取值范围是（）
A．m＞1B．m＜1C．m≥1D．m≤1
【答案】C
【名师点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，Δ≥0．
由关于x的一元二次方程+2x－（m－2）=0有实数根，可知Δ≥0，从而可以求得m的取值范围．
例3（2016·衡阳）关于x的一元二次方程+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）
A．k=－4B．k=4C．k≥－4D．k≥4
【答案】B
【名师点评】本题考查了一元二次方程+bx+c=0（a≠0）的根的判别式－4ac：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．根据判别式的意义得到－4k=0，然后解一次方程即可．
考点三根与系数的关系
例4（2016·枣庄）已知关于x的方程+3x+a=0有一个根为－2，则另一个根为（）
A．5B．－1C．2D．－5
【答案】B
【名师点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．根据关于x的方程+3x+a=0有一个根为－2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值．
考点四一元二次方程的应用
例5（2016·台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）
A．x（x－1）=45B．x（x+1）=45C．x（x－1）=45D．x（x+1）=45
【答案】A
【名师点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x－1）场，再根据题意列出方程为x（x－1）=45．
基础精练
1.（2016·朝阳一模）关于x的方程+2x+2k－4=0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：
k=．
【答案】k=1
2.（2016·丰台一模）关于x的一元二次方程－1=0有实数根，则实数m的取值范围是.
【答案】m≥－1
3.（2016·丰台一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程+bx+c=0的求根公式时，对于－4ac>0的情况，他是这样做的：
由于a≠0，方程+bx+c=0可变形为+x=－，第一步
+x+=－+，第二步
，第三步
∵－4ac>0，∴x+=，第四步
∴x=.第五步
小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是.
【答案】四；平方根的定义
4.（2015·朝阳一模）已知关于x的一元二次方程－6x+k+3=0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【解】－4（k+3）=36－4k－12=－4k+24.
∵原方程有两个不相等的实数根，∴－4k+24＞0，解得k＜6.
（2）∵k＜6且k为大于3的整数，∴k=4或5.
①当k=4时，方程为－6x+7=0其根不是整数.∴k=4不符合题意.
②当k=5时，方程为－6x+8=0其根为=2，=4，均为整数.∴k=5符合题意.
综上所述，k的值是5.
真题演练
1.（2015·北京）关于x的一元二次方程+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：
a=，b=．
【答案】（满足=a，a≠0即可，答案不唯一）
2.（2015·四川宜宾）某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元.设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为.
【答案】8=7600
3.（2015·广东）若关于x的方程+x－a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）
A.a≥2B.a≤2C.a＞2D.a＜2
【答案】C
4.（2016·兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图1-6-3），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）
图1-6-3
A.（x+1）（x+2）=18B.－3x+16=0
C.（x－1）（x－2）=18D.+3x+16=0
【答案】C
5.（2015·湖南益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）
A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80
C．=80D．=80
【答案】D
6.（2016·北京）关于x的一元二次方程－1=0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.
【解】
（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴－4=4m+5>0，解得m＞－.
（2）取m=1，原方程为+3x=0，即x（x+3）=0，
∴=0,=－3.（m取其他值也可以）
第三节分式方程
课标解读
考试内容
考试要求
考查频度
A
B
C
分式方程
了解分式方程的有关概念
能解可化为一元一次方程的分式方程
★★
知识要点
1.分式方程的概念:
的方程叫分式方程.
2.解分式方程的基本思想是将分式方程为整式方程，方法是方程两边同乘，去掉分母.
3.解分式方程的一般步骤:
①去分母，转化为整式方程;②解这个整式方程，求出整式方程的根;③，确定原方程的根.
注意:
把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母为零的根是方程的增根，必须舍去，产生增根的原因是在方程两边同乘了一个可能使分母为0的整式，所以解分式方程必须要检验.
典例诠释
考点一解分式方程
例1（2015·淄博）若关于x的方程+=2的解为正数，则m的取值范围是（）
A．m＜6B．m＞6C．m＜6且m≠0D．m＞6且m≠8
【答案】C
【名师点评】此题考查解分式方程，关键是根据分式方程的解法进行分析．先得出分式方程的解，再得出关于m的不等式，解答即可．
例2（2015·南京）解分式方程：
=.
【答案】x=9
【名师点评】观察可得最简公分母是x（x－3），方程两边同乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．方程两边同乘以x（x－3），得2x=3（x－3）．解这个方程，得x=9．检验：
将x=9代入x（x－3）知，x（x－3）≠0．所以x=9是原方程的根．
例3（2015·四川甘孜）解分式方程：
+=1.
【答案】x=2
【名师点评】本题考查解分式方程的能力，因为3－x=－（x－3），所以方程的最简公分母为x－3，方程两边同乘（x－3）将分式方程转化为整式方程求解，最后要注意检验．
考点二分式方程的应用
例4（2015·山东青岛）某厂制作甲、乙两种环保包装盒.已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制作一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料.
【解】
（1）设制作每个乙盒用xm材料，则制作每个甲盒用（1+20%）xm材料.
根据题意，得=2，解得x=0.5.
经检验x=0.5是原方程的解，
所以（1+20%）x=0.6.
答：
制作每个甲盒用0.6m材料，制作每个乙盒用0.5m材料.
（2）设甲盒的数量为n，由题意得
∴2000≤n≤3000.
由题意，得l=0.6n+0.5（3000－n）=0.1n+1500.
∵k=0.1＞0，∴l随n的增大而增大，
∴当n=2000时，=1700.
答：
所需材料总长度l（m）与用盒数量n（个）之间的函数关系式为l=0.1n+1500（2000≤n≤
3000）,最小需要1700m材料.
基础精练
1.（2015·丰台一模）解分式方程：
－1=.
【解】去分母，得－x（x－2）=x－2.
去括号，得+2x=x－2.
解得x=－2.
经检验，x=－2是原方程的解.
所以，原方程的解是x=－2.
2.（2015·西城二模）解方程：
=．
【解】去分母，得3x－（x－3）=2．
去括号，得3x－x+3=2.
整理，得2x=－1.
解得x=－.
经检验，x=－是原方程的解．
所以原方程的解是x=－.
3.（2016·房山一模）解分式方程：
－1=.
【解】（x－2）（x+2）－x（x+2）=2x，
－2x=2x，
解得x=－1.
经检验x=－1是原方程的解.
∴原方程的解是x=－1.
4.（2015·通州二模）解分式方程：
+=1．
【解】方程两边同乘（x+1）（x－1），得
x（x－1）+2（x+1）=（x+1）（x－1），
解得x=－3.
经检验x=－3是原方程的解，
∴原方程的解是x=－3.
5.（2015·平谷一模）关于x的一元二次方程－2mx+m+1=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．
【解】
（1）根据题意得m≠1，
Δ＝－4（m－1）（m＋1）＝4>0，
∴m的取值范围是m≠1.
（2）解方程得＝=1，
＝==1+.
∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，
∴m－1=1或2，
∴m=2或3.
6.（2015·燕山一模）列方程或方程组解应用题：
赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度．
【解】设赵老师骑自行车的速度为x千米/时，
依题意得=，
解方程得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的解且符合实际意义.
答：
赵老师骑自行车的速度是10千米/时.
7.（2016·东城一模）列方程或方程组解应用题：
“春节”前夕，某花店用13000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？
【解】设第二批鲜花每盒的进价是x元.
依题意有=×.
解得x=120.
经检验：
x=120是原方程的解，且符合题意．
答：
第二批鲜花每盒的进价是120元.
真题演练
1.（2015·四川自贡）方程=0的解是（）
A.1或－1B.－1C.0D.1
【答案】D
2.（2015·广西南宁）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：
Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x,－x}=的解为（）
A.1－B.2－C.1+或1－D.1+或－1
【答案】D
3.（2015·湖北孝感）分式方程=的解是.
【答案】x=
4.（2015·广东梅州）若=+，对任意自然数n都成立，则a=，b=；计算：
m=+++…+=．
【答案】；－；
5.（2015·山东青岛）
（1）化简：
（+n）÷；
（2）关于x的一元二次方程+3x－m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
【解】
（1）原式=·=.
（2）由题意知－4×2×（－m）＞0，
解得m＞－.
答：
m的取值范围是m＞－.
6.（2015·广东广州）已知A=.
（1）化简A；
（2）当x满足不等式组且x为整数时，求A的值．
【解】
（1）A=
===.
（2）∵∴∴1≤x＜3.
∵x为整数，∴x=1或x=2.
①当x=1时，x－1＝0，
∴A=无意义，
∴当x=1时，A=无意义．
②当x=2时，A===1.
7.（2014·北京）列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
【解】设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，
由题意得=，
解得x=0.18.
经检验x=0.18为原方程的解.
答：
纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．
8.（2015·北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点
升级会员 