七年级数学期末复习梳理.docx

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七年级数学期末复习梳理

第7章平面图形的认识

（二）

7.1探索直线平行的条件7.2探索平行线的性质7.3图形的平移7.4认识三角形7.5多边形的内角和与外角和

【知识点】

一、平行线

1、同位角、内错角、同旁内角的定义

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角。

如图：

∠1与∠8，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。

如图：

∠1与∠6，∠2与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角。

如图：

∠1与∠5，∠2与∠6均为同位角。

2、平行线的性质

（1）两直线平行,同位角相等。

（2）两直线平行,内错角相等。

（3）两直线平行,同旁内角互补。

3、平行线的判定

（1）同位角相等,两直线平行。

（2）内错角相等,两直线平行。

（3）同旁内角互补,两直线平行。

（4）平行于同一直线的两直线平行。

（5）垂直于同一条直线的两直线平行。

【典型例题】

如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F．若∠1=∠2，试说明DE∥BC。

4、平移

平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移，简称平移。

5、平移的性质

经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）。

（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;

（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）

（3）多次平移相当于一次平移。

（4）多次对称后的图形等于平移后的图形。

（5）平移是由方向，距离决定的。

（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。

【典型例题】下列图形可由平移得到的是（）

二、三角形

1、由三条不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫做三角形。

2、三角形的性质

１）三角形的任意两边之和大于第三边（由此得三角形的两边的差一定小于第三边）

２）三角形三个内角的和等于180度（在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度）（一个三角形的3个内角中最少有2个锐角）

３）直角三角形的两个锐角互余

４）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）

５）等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一

６）三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点

７）三角形的外角和是360°

８）等底等高的三角形面积相等

９）三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

10）三角形具有稳定性。

3、三角形的分类

１）按边分

①不等边三角形②等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形）

2）按角分

①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）

4、三角形的有关定义

１）三角形的高：

在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高。

三角形的三条高交于一点，这一点叫三角形的垂心。

垂心到三角形三个顶点的距离相等

２）三角形的角平分线：

三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。

（也叫三角形的内角平分线。

）三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并交于一点，这一点叫三角形的内心。

三角形的内心到三边的距离相等。

３）三角形的中线：

三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线在三角形的内部，并交于一点，这一点叫三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

3、多边形

１、多边形：

由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

２、n边形内角和为（n-2）*180°

３、任意多边形的外角和为360°

４、正n边形的一个外角为360°/n

５、n边形具有不稳定性（n>3）

【典型例题】

如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=1100，则∠A=（）

A．500B.400C.700D.35°

第八章幂的运算

8.1同底数幂的乘法8.2幂的乘方与积的乘方8.3同底数幂的除法

【知识点】

1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

（m,n是正整数）

2、幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（m、n是正整数）

3、积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

（m、n是正整数）

4、同底数幂相除，底数不变，指数相减。

（

m、n是正整数，m>n）

5、

任何不等于0的数的0次幂等于1.

6、

。

任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。

【典型例题】

1.计算

（1）

（2）

（3）

（4）

2、计算

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3、已知

比较a、b、c、d的大小，并用“<”连接起来。

第9章整式乘法与因式分解

9.1单项式乘单项式9.2单项式乘多项式9.3多项式乘多项式9.4乘法公式9.5多项式的因式分解

【知识点】

一、单项式、多项式、整式

1、代数式：

由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。

单独一个数或者字母也是代数式。

2、单项式：

由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

1）分母含有未知数的式子不属于单项式。

因为单项式属于整式，而分母含有未知数的式子是分式。

例如，1/x不是单项式。

2）单独的一个数字或字母也是单项式。

例如，1和x2y也是单项式。

如果一个单项式，只含有字母因数，如果是正数的单项式系数为1，如果是负数的单项式系数为－1.

3）单项式书写规则：

数与字母相乘时，数在字母前；乘号可以省略为点或不写；除法的式子可以写成分数式；带分数与字母相乘，带分数要化为假分数

3、多项式：

若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：

减一个数等于加上它的相反数）。

多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

4、整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。

单项式和多项式统称为整式。

5、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。

6、合并同类项：

多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项，合并同类项的法则是：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

7、去、添括号法则

1）括号前是"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。

2）括号前是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。

（改成与原来相反的符号）

3）若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号

4）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数"-"的个数.

8、单项式乘单项式,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

9、单项式乘多项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

10、多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2、乘法公式

１、完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2

２、平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

３、完全立方公式：

（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3

４、立方和公式：

a3＋b3=（a＋b）（a2＋ab＋b2）

立方差公式：

a3－b3=（a－b）（a2＋ab＋b2）

3、因式分解

1、公因式：

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

2、因式分解（分解因式）Factorization：

把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

3、因式分解的方法：

⑴提公因式法：

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

⑵运用公式法：

运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。

⑶分组分解法：

把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．

⑷十字相乘法：

有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法．

4、因式分解和整式乘法是互逆的两种运算。

通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再应用公式法，或者其他方法。

进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。

【典型例题】

计算：

⑴

；⑵

；

⑶

；

⑷

；

⑸

；⑹

；

（7）

；（8）

.

代数式求值：

4、如图，

（1）请用计算图形面积的方法推出完全平方公式

（2）将这个图形剪开并拼成一个长方形或一个梯形，推出平方差公式。

第十章二元一次方程组

10.1二元一次方程10.2二元一次方程组10.3解二元一次方程组10.4三元一次方程组10.5用二元一次方程组解决问题

【知识点】

1、二元一次方程：

方程中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。

2、二元一次方程组：

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。

3、代入消元法：

将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

4、加减消元法：

当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

5、二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：

通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：

找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：

根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：

解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：

在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

【典型例题】

解下列方程组:

（1）、

（2）、

（3）、

应用题：

1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，现计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。

相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？

3、 在“五一”期间，某超市打折促销，已A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20

件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B

商品共用1090元。

求A、B商品打折前的价格。

4、 某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：

甲、乙两队原计划每天各修多少千米？

5、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？

在校高中生有多少人？

第11章一元一次不等式

11.1生活中的不等式11.2不等式的解集11.3不等式的性质11.4解一元一次不等式11.5用一元一次不等式解决问题

11.6一元一次不等式组

【知识点】

一、不等式的概念

1.不等式：

用“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

如：

不等式x－4＜1的解集是x＜5.不等式的解集与不等式的解的区别:

解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:

解集包括解,所有的解组成了解集。

二、不等式的基本性质

基本性质1：

不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

如果

，那么

。

基本性质2：

不等式的两边都乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果

，并且

，那么

（或

）。

基本性质3：

不等式的两边都乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果

，并且

，那么

（或

）。

三、一元一次不等式的概念

　　只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。

四、一元一次不等式的解法

1.解不等式：

求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：

（1）去分母；

（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.

【典型例题】

1、解下列不等式及不等式组

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

2、已知关于

的方程

的解为负数，求

的取值范围.

3、

（1）若代数式

与

的差不小于1.试求

的取值范围.

（2）求不等式组

的自然数解.

第12章证明

12.1定义与命题12.2证明12.3互逆命题

【知识点】

1、判断一件事情的句子叫做命题。

2、如果条件成立，那么结论成立的命题叫做真命题。

3、如果条件成立时，结论不成立时的命题叫做假命题。

4、根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。

经过证明的真命题称为定理。