数列通项公式与求和计算方式学生版124.docx
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数列通项公式与求和计算方式学生版124
数列通项公式的常见求法
姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。
一、公式法
高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式
1.1（2011辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10
（I）求数列{an}的通项公式；
2、等比数列公式
1.2（2011重庆）设
是公比为正数的等比数列，
，
。
（Ⅰ）求
的通项公式
3、通用公式：
已知前n项和
求通项公式
，利用
.
1.3.1已知数列
的前n项和
，求
的通项公式。
1.3.2数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，
，n=1，2，3，……，
求数列{an}的通项公式．
1.3.3（2007重庆）已知各项均为正数的数列{
}的前n项和满足
，
且
.
（1）求{
}的通项公式.
1.3.4已知数列{
}各项均为正数，满足
，求{
}的通项公式.
二、当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：
和
的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法
1、叠加法（累加法）
一般地，对于型如
类的通项公式，且
的和比较好求，我们可以采用此方法来求
。
即：
.
2.1.1（2011四川8）数列
的首项为
，
为等差数列且
．若则
，
，则
（）.
A．0B．3C．8D．11
2.1.2已知数列
满足
，求数列
的通项公式。
2、叠乘法（累乘法）一般地对于形如“已知a1，且
=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
即：
.
2.2.1在数列｛
｝中，
=1,（n+1）·
=n·
，求
的表达式。
3、构造法：
当数列前一项和后一项即
和
的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。
具体有以下几种常见方法。
（1）、待定系数法：
①、一般地对于
=k
+m（k、m为常数）型，可化为的形式
+λ=k（
+λ）.重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求
。
例如：
3.1.1在数列
中，若：
，则该数列的通项公式为
=_________.
②、对于
这种形式,一般我们讨论两种情况：
、当f（n）为一次多项式时，即数列的递推关系为
型，可化为
的形式来求通项。
3.1.2设数列
中，
，求
的通项公式。
、当f（n）为指数幂时，即数列递推关系为
（A、B、C为常数）型，可左右两边同除以Cn+1,的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求
.
3.1.3已知数列
中，
，求
3.1.4已知数列
中，
，求
3.1.5（2003年全国高考题）设
为常数，且
（
），
证明：
对任意n≥1，
当然对于
这种形式递推关系求
时，当
时，可采取另一种方法，
=
），重新构造等比数列，来求
。
（2）、倒数法
一般地形如
、
等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
3.2.1已知数列
满足：
，求
的通项公式。
3.2.2数列
满足：
，且
，求
.
3.2.3（2011广东）设b>0,数列
满足a1=b，
.
（1）求数列
的通项公式.
（3）、对数法
当数列
和
的递推关系涉及到高次时，形如：
anp=man-1q（m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。
3.3.1（2006山东）已知a1=2，点（an,an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1）证明数列｛lg（1+an）｝是等比数列；
3.3.2若数列{
}中，
=3且
（n是正整数），则它的通项公式是
=▁▁▁.
（2002年上海高考题）.
（4）、二阶递推数列配凑法
一般地，对于形如已知
=A
+B
（A、B是常数）的二阶递推数列，我们可以构造成
，则{
}为等比数列，进而求通项公式。
3.4.1已知a1=2，a2=3，
，求通项公式
。
3.4.2已知数列
满足
，
求数列
的通项
。
3.4.3（2009陕西卷文）已知数列
满足，
.
令
，证明：
是等比数列；（Ⅱ）求
的通项公式。
数列求和的常见求法
姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
1、公式法：
①等差数列求和公式：
②等比数列求和公式：
常见的数列的前n项和：
，1+3+5+……+（2n-1）=
，
等.
1.1设
是公比大于1的等比数列，
为数列
的前
项和．
已知
，且
构成等差数列．
（1）求数列
的通项公式．
（2）令
求数列
的前
项和
2、倒序相加法：
如果一个数列
，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。
这一种求和的方法称为倒序相加法.
2.1求值：
2.2已知函数
，求
的前n项和
.
3、裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法叫裂项相消法。
用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
（1）
，特别地当
时，
；
（2）
，特别地当
时
.
3.1数列
的通项公式为
，求它的前n项和
.
3.2已知数列
的通项公式为
求它的前n项的和
.
特别地，近些年会考：
（2015安徽）已知数列
是递增的等比数列，且
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
为数列
的前
项和，
，求数列
的前
项和
.
4、错位相减法：
类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。
若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.
4.1已知
，求数列｛an｝的前n项和Sn.
小结：
错位相减法的求解步骤：
①在等式两边同时乘以等比数列
的公比
；
②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.
4.2设等比数列
的前
项和为
已知
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式;
（Ⅱ）在
与
之间插入
个数,使这
个数组成公差为
的等差数列,
设数列
的前
项和
证明:
.
5、并项求和法：
（2014山东）已知等差数列
的公差为2，前
项和为
，且
，
，
成等比数列。
（
）求数列
的通项公式；（
）令
=
求数列
的前
项和
。
巩固练习：
1、数列{
}的前n项和为
，且满足
（1）求
与
的关系式，并求{
}的通项公式；
（2）求和
2、已知数列
的前
项和
（
为正整数）
（1）令
求证:
数列
是等差数列,并求数列
的通项公式;
（2）令
试比较
与
的大小,并予以证明
（3）设数列{cn}满足
（
为非零常数，
），问是否存在整数
，使得对任意
，都有
.
巩固练习：
解：
1、
（1）
（2）
解:
2、
（1）在
中,令n=1,可得
即
当
时,
.
.
又
数列
是首项和公差均为1的等差数列.
于是
.
（2）由
（1）得
所以
①
②
由①-②得
于是确定
的大小关系等价于比较
的大小
由
可猜想当
证明如下:
证法1:
（1）当n=3时,由上述验算显示成立.
（2）假设
时
所以当
时猜想也成立
综合
（1）
（2）可知,对一切
的正整数,都有
证法2:
当
时,
综上所述,当
当
时
.
（3）∵
∴
∴
①
当n=2k－1，k=1,2,3,……时，①式即为
②
依题意，②式对k=1,2,3……都成立，∴
当n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为
③
依题意，③式对k=1,2,3……都成立，
∴
∴
，又
∴存在整数
，使得对任意
有
.
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