功能关系.docx
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功能关系
第1节功和功率
要点一 功的正负判断与恒力、合力做功的计算
1．功的正负的判断方法
（1）恒力做功的判断：
依据力与位移的夹角来判断。
（2）曲线运动中做功的判断：
依据F与v的方向夹角α来判断，当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
（3）依据能量变化来判断：
功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。
此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：
先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。
方法二：
先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
1、如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面水平向左匀速移动距离l.
（1）摩擦力对物体做的功为（物体与斜面相对静止）（ ）
A．0 B．μmglcosθ
C．－mglsinθcosθD．mglsinθcosθ
（2）斜面对物体的弹力做的功为（ ）
A．0B．mglsinθcos2θ
C．－mglcos2θD．mglsinθcosθ
（3）重力对物体做的功为（ ）
A．0B．mgl
C．mgltanθD．mglcosθ
（4）斜面对物体做的功是多少？
各力对物体所做的总功是多少？
2.如图5 1 2所示，木板可绕固定水平轴O转动。
木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。
在这一过程中，物块的重力势能增加了2J。
用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力。
在此过程中，以下判断正确的是（ ）
A．FN和Ff对物块都不做功
B．FN对物块做功为2J，Ff对物块不做功
C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2J
D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0
要点二 变力做功的计算
（1）用动能定理W＝ΔEk或功能关系．
（2）当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车恒功率启动时．
（3）将变力做功转化为恒力做功
①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力做的功等于力和路程（不是位移）的乘积．如滑动摩擦力做功等．如典例1
（2）．
②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值F＝
，再由W＝Flcosα计算，如弹簧弹力做功．如典例2.
（4）作出变力F随位移l变化的图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功．
1、如图所示，质量m＝1.0kg的物体从半径R＝5m的圆弧的A端，在拉力F作用下从静止沿圆弧运动到顶点B.圆弧AB在竖直平面内，拉力F的大小为15N，方向始终与物体的运动方向一致．若物体到达B点时的速度v＝5m/s，圆弧AB所对应的圆心角θ＝60°，BO边在竖直方向上，取g＝10m/s2.在这一过程中，求：
（1）重力mg做的功．
（2）拉力F做的功．
（3）圆弧面对物体的支持力FN做的功．
（4）圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功．
2、如图5 1 3，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。
质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为（ ）
A.
mgR B.
mgR
C.
mgRD.
mgR
3、某物体在变力F作用下沿水平方向做直线运动，物体的质量m＝10kg，F随物体的坐标x的变化情况如图5 1 6所示。
若物体从坐标原点由静止出发，不计一切摩擦。
借鉴教科书中学习直线运动时由vt图像求位移的方法，结合其他所学知识，根据图示的Fx图像可求出物体运动到x＝16m处时的速度大小为（ ）
A．3m/sB．4m/s
C．2
m/sD.
m/s
要点三 功率的分析与计算
1．平均功率的计算
（1）利用
＝
。
（2）利用P＝F
cosα，其中
为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算
（1）利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度。
（2）利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
（3）利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
1、用一水平拉力使质量为m的物体从静止开始沿粗糙的水平面运动，物体的v－t图象如图4所示．下列表述正确的是（ ）
A．在0～t1时间内拉力逐渐减小
B．在0～t1时间内物体做曲线运动
C．在t1～t2时间内拉力的功率不为零
D．在t1～t2时间内合外力做功为
mv2
2、质量为1kg的物体静止于光滑水平面上，t＝0时刻起，物体受到向右的水平拉力F作用，第1s内F＝2N，第2s内F＝1N．下列判断正确的是（ ）
A．2s末物体的速度为4m/s
B．2s内物体的位移为3m
C．第1s末拉力的瞬时功率最大
D．第2s末拉力的瞬时功率最大
要点四 机车启动问题
1．两种启动方式的比较
1、一列火车总质量m＝500t，机车发动机的额定功率P＝6×105W，在水平轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重的0.01倍，g＝10m/s2，求：
（1）列车在水平轨道上行驶的最大速度；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1＝1m/s时，列车的瞬时加速度a1；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
（4）若火车从静止开始，保持a＝0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间．
能力提升
1．（2015·海南高考）假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。
如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的（ ）
A．4倍 B．2倍
C.
倍D.
倍
2、质量为2×103kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F和车速倒数
的关系图像如图5 1 10所示。
已知行驶过程中最大车速为30m/s，设阻力恒定，则（ ）
A．汽车所受阻力为6×103N
B．汽车在车速为5m/s时，加速度为3m/s2
C．汽车在车速为15m/s时，加速度为1m/s2
D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104W
3、如图所示，人站在电动扶梯的水平台阶上，假定人与扶梯一起沿斜面匀加速上升，在这个过程中人脚所受的静摩擦力（ ）
A．等于零，对人不做功
B．水平向左，对人不做功
C．水平向右，对人做正功
D．沿斜面向上，对人做正功
4、物体受到两个互相垂直的作用力F1、F2而运动，已知力F1做功6J，物体克服力F2做功8J，则力F1、F2的合力对物体做功（ ）
A．14J B．10J
C．2JD．－2J
5、额定功率是80kW的无轨电车，其最大速度是72km/h，质量是2t，如果它从静止先以2m/s2的加速度匀加速开出，阻力大小一定，则（ ）
（1）电车匀加速运动行驶能维持多少时间？
（2）又知电车从静止驶出到增至最大速度共经历了21s，在此过程中，电车通过的位移是多少？
第2节动能定理及其应用
要点一 对动能定理的理解
1．对“外力”的两点理解
（1）“外力”指的是合力，重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用。
（2）既可以是恒力，也可以是变力。
2．“＝”体现的二个关系
1．关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是（ ）
A．合外力为零，则合外力做功一定为零
B．合外力做功为零，则合外力一定为零
C．合外力做功越多，则动能一定越大
D．动能不变，则物体合外力一定为零
2．（多选）质量不等，但有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行，直至停止，则（ ）
A．质量大的物体滑行的距离大
B．质量小的物体滑行的距离大
C．它们滑行的距离一样大
D．它们克服摩擦力所做的功一样多
3.（多选）某人通过光滑滑轮将质量为m的物体，沿光滑斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体上升的高度为h，到达斜面顶端的速度为v，如图5 2 1所示。
则在此过程中（ ）
A．物体所受的合力做功为mgh＋
mv2
B．物体所受的合力做功为
mv2
C．人对物体做的功为mgh
D．人对物体做的功大于mgh
要点二 动能定理的应用
应用动能定理的流程
1、一滑块（可视为质点）经水平轨道AB进入竖直平面内的四分之一圆弧形轨道BC.已知滑块的质量m＝0.50kg，滑块经过A点时的速度vA＝5.0m/s，AB长x＝4.5m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.10，圆弧形轨道的半径R＝0.50m，滑块离开C点后竖直上升的最大高度h＝0.10m．取g＝10m/s2.求：
（1）滑块第一次经过B点时速度的大小；
（2）滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对轨道上B点压力的大小；
（3）滑块在从B运动到C的过程中克服摩擦力所做的功．
2、如图5所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝L/2，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B.则：
（1）小球到达B点时的速率？
（2）若不计空气阻力，则初速度v0为多少？
（3）若初速度v0＝3
，则在小球从A到B的过程克服空气阻力做了多少功？
要点三 动能定理的图像问题
1．四类图像所围面积的含义
vt图
由公式x＝vt可知，vt图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移
at图
由公式Δv＝at可知，at图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量
Fx图
由公式W＝Fx可知，Fx图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功
Pt图
由公式W＝Pt可知，Pt图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功
1、质量m＝1kg的物体，在与物体初速度方向相同的水平拉力的作用下，沿水平面运动过程中动能—位移的图象如图所示．在位移为4m时撤去F，物块仅在摩擦力的作用下运动．
求：
（g取10m/s2）
（1）物体的初速度多大？
（2）物体和平面间的动摩擦因数多大？
（3）拉力F的大小．
2．（2015·合肥一模）A、B两物体分别在水平恒力F1和F2的作用下沿水平面运动，先后撤去F1、F2后，两物体最终停下，它们的vt图像如图5 2 6所示。
已知两物体与水平面间的滑动摩擦力大小相等。
则下列说法正确的是（ ）
A．F1、F2大小之比为1∶2
B．F1、F2对A、B做功之比为1∶2
C．A、B质量之比为2∶1
D．全过程中A、B克服摩擦力做功之比为2∶1
要点四 应用动能定理解决平抛运动、圆周运动问题
1.平抛运动和圆周运动都属于曲线运动，若只涉及位移和速度而不涉及时间，应优先考虑用动能定理列式求解。
2.动能定理的表达式为标量式，不能在某一个方向上列动能定理方程。
1、如图16所示，轨道ABC被竖直地固定在水平桌面上，A距离水平地面高H＝0.75m，C距离水平地面高h＝0.45m．一质量m＝0.10kg的小物块自A点从静止开始下滑，从C点以水平速度飞出后落在水平地面上的D点．现测得C、D两点的水平距离为l＝0.60m．不计空气阻力，取g＝10m/s2.求：
（1）小物块从C点运动到D点经历的时间；
（2）小物块从C点飞出时速度的大小；
（3）小物块从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功．
2、如图8所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上．质量m＝2kg的小物块在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动．已知xAB＝5m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.2.当小物块运动到B点时撤去力F.取重力加速度g＝10m/s2.求：
（1）小物块到达B点时速度的大小；
（2）小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小；
（3）小物块离开D点落到水平地面上的点与B点之间的距离
能力提升
1．下列关于动能的说法，正确的是（ ）
A．运动物体所具有的能就是动能
B．物体做匀变速运动，某一时刻速度为v1，则物体在全过程中的动能都是
mv
C．做匀速圆周运动的物体其速度改变而动能不变
D．物体在外力F作用下做加速运动，当力F逐渐减小时，其动能也逐渐减小
2．物体做匀速圆周运动时（ ）
A．速度变化，动能不变
B．速度变化，动能变化
C．速度不变，动能变化
D．速度不变，动能不变
3．人骑自行车下坡，坡长l＝500m，坡高h＝8m，人和车总质量为100kg，下坡时初速度为4m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10m/s，g取10m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为（ ）
A．－4000JB．－3800J
C．－5000JD．－4200J
4．如图5 2 11所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC是水平的，其距离d＝0.50m。
盆边缘的高度为h＝0.30m。
在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止开始下滑。
已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.10。
小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停的地点到B的距离为（ ）
A．0.50m B．0.25m
C．0.10mD．0
5、如图所示，长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块，现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中（ ）
A．支持力对物块做功为零
B．支持力对小物块做功为mgLsinα
C．摩擦力对小物块做功为mgLsinα
D．滑动摩擦力对小物块做功为
mv2－mgLsinα
6：
如图所示，装置ABCDE固定在水平地面上，AB段为倾角θ＝53°的斜面，BC段为半径R＝2m的圆弧轨道，两者相切于B点，A点离地面的高度为H＝4m．一质量为m＝1kg的小球从A点由静止释放后沿着斜面AB下滑，当进入圆弧轨道BC时，由于BC段是用特殊材料制成的，导致小球在BC段运动的速率保持不变．最后，小球从最低点C水平抛出，落地速率为v＝7m/s.已知小球与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力，求：
（1）小球从B点运动到C点克服阻力所做的功．
（2）B点到水平地面的高度．
第3节机械能守恒定律及其应用
要点一 机械能守恒的理解与判断
1．对机械能守恒条件的理解
（1）只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
（3）除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
（1）利用机械能的定义判断：
若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。
（2）利用守恒条件判断。
（3）利用能量转化判断：
若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。
1．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是（ ）
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒
D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
2.把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图5 3 2甲所示。
迅速松手后，球升高至最高位置C（图丙），途中经过位置B时弹簧正处于原长（图乙）。
忽略弹簧的质量和空气阻力。
则小球从A运动到C的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．经过位置B时小球的加速度为0
B．经过位置B时小球的速度最大
C．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒
D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小
要点二 单个物体的机械能守恒
1．机械能守恒的三种表达式对比
表达式
物理意义
注意事项
守恒观点
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′
系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
应用时应选好重力势能的零势能面，且初末状态必须用同一零势能面计算势能
转化观点
ΔEk＝－ΔEp
表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能
应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初末状态的势能差
转移观点
ΔEA增＝ΔEB减
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
（1）选取研究对象——物体。
（2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。
（4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp）进行求解。
1、如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．下列分析中正确的是（ ）
A．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
B．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
C．从A到B的过程中，小球的机械能守恒
D．从A到B的过程中，小球的机械能减少
2、如图所示，竖直平面内的一半径R＝0.50m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.10kg的小球从B点正上方H＝0.95m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离x＝2.4m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝0.80m，g取g＝10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）小球经过C点时轨道对它的支持力大小FN；
（2）小球经过最高点P的速度大小vP；
（3）D点与圆心O的高度差hOD.
要点三 多物体的机械能守恒
1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
3.列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
1、如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：
（1）a球离开弹簧时的速度大小va；
（2）b球离开弹簧时的速度大小vb；
（3）释放小球前弹簧的弹性势能Ep.
2、如图5 3 15所示，质量分别为m和2m的两个小球a和b，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在b球顺时针摆动到最低位置的过程中（ ）
A．b球的重力势能减少，动能增加，b球机械能守恒
B．a球的重力势能增加，动能也增加，a球机械能不守恒
C．a球、b球组成的系统机械能守恒
D．a球、b球组成的系统机械能不守恒
能力提升
1．下列物体运动过程中满足机械能守恒的是（ ）
A．跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降
B．忽略空气阻力，物体竖直上抛
C．火箭升空过程
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
2．关于弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A．当弹簧变长时弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时弹性势能一定减小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
3．关于重力势能，下列说法中正确的是（ ）
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一物体的重力势能从－5J变化到－3J，重力势能变大了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
4.（2012·海南单科）下列关于功和机械能的说法，正确的是（ ）
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
5．（2012·山东理综）将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v－t图象如图所示．以下判断正确的是（ ）
A．前3s内货物处于超重状态
B．最后2s内货物只受重力作用
C．前3s内与最后2s内货物的平均速度相同
D．第3s末至第5s末的过程中，货物的机械能守恒
6、如图1所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，则以下说法正确的是（ ）
A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，动能先增大后减小
C．物体在B点时加速度为零
D．若不计空气阻力，在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒
7如图6所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和
2kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1m．两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10m/s2.则下列说法中正确的是（ ）
A．下滑的整个过程中A球机械能守恒
B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒
C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2m/s
D．两球组成的系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为
J
8、如图12所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看做重合的点．现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放．（g取10m/s2）
（1）若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少多高？
（2）若小球静止释放处离C点的高度h小于
（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h
9、如图9所示，竖直平面内的
圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的
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