空间向量的平行与垂直导学案.docx

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空间向量的平行与垂直导学案

空间向量的平行与垂直导学案

学科：

高二数学课　型：

新授课　　课　时：

3课时编写时间：

2013.3.30

编写人：

陈　平审核人：

邓朝华　　班　级：

　姓　　名：

【导　案】

【学习目标】

1．理解直线的方向向量与平面的法向量。

2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系。

3．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系。

【学习重点】

空间向量的平行与垂直

【学　　案】

1.直线的方向向量

直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量_________的向量，显然一条直线的方向向量可以有___________。

2.平面的法向量

所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面_________的向量，显然一个平面的法向量有________个，它们是_________向量。

3.直线的方向向量与平面法向量在确定直线、平面平行关系中的应用

（1）若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1∥l2

________,即________，

（2）若直线l的方向向量为u，平面a的法赂量为v,则有l∥a

_________，即_________，若u=（a1、b1、c1），v=（a1、b1、c1），则l∥a

a1a2+b1b2+c1c2=0.

（3）若两平面α、β的法向量分别是v1、v2则有α∥β

________即_________。

4.空间中的垂直关系

5、直线l、m的方向向量分别为a=（a1、a2、a3）,b=（b1、b2、b3），则b⊥m

______

______

_______.

6.直线的方向量与平面的法赂量的坐标关系

设直线l的方向向量是u=（a1、b1、c1），平面α的法向⊥量v=（a1、b1、c1），则l⊥a

________

________

________

___________（a2·b2·c2≠0）

7.两垂直平面法向量的坐标关系

若平面a=（a1、b1、c1），平面β的法向量v=（a1、b1、c1），则a⊥β

_______

_______

__________.

【例1】已知平面a经过三点A（1，2，3），B（2，0，-1）C（3，-2，0），试求平面a的一个法向量.

【例2】在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：

EC=PF：

FB=1：

2

求证：

平面GEF⊥平面PBC.

【例3】如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥AC=a，PB=PD=

a，PB=PD=

a，点E在PD上，且PE：

ED=2：

1。

在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？

证明你的结论.

空间向量的平行与垂直练案

（一）

学　校：

公安一中　　年　级：

高二年级班　级：

姓　　名：

编写人：

陈　平审核人：

邓朝华　　编写时间：

2013.3.30

1.已知

=（2，2，1），

=（4，5，3）求平面ABC的单位法向量.

2.如图所示，在址三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，

BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.

求证：

AC1∥平面CDB1.

3.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，M、N、

E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点.

求证：

平面AMN∥平面EFBD.

4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、

D1B1的中点.求证：

EF⊥平面B1AC.

B级

1.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD边

上的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D＇，

且平面D＇AE⊥平面ABCE.

求证：

AD＇⊥EB；

2.已知M为长方体AC1的棱BC的中点，点P在长方体AC1的面CC1D1D内，且PM∥平面BB1D1D，试探讨点P的确切位置.

2.如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD

是矩形，AB=2.AD=1，AA1=3，M是BC的中点，在DD1

上是否存在一点N，使MN⊥DC1上是否存在一点N，

使MN⊥DC1？

并说明理由.

C级

如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点。

（1）若

，求证：

无论点P在DD1上如何移动，总有BP⊥MN；

（2）在棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？

证明你的结论.

空间向量的平行与垂直练案

（二）

学　校：

公安一中　　年　级：

高二年级班　级：

姓　　名：

编写人：

陈　平审核人：

邓朝华　　编写时间：

2013.3.30

A级

1.若向量m同时垂直于向量a和b，向量n=λα+μb（λ,μ∈R,λ,μ≠0）,则（）

A.m∥n　　　　　　　　　　　　　　　　B.m⊥n

C.m与n即不平行也不垂直　　　　　　　D.以上三种情况均有可能

2.已知a=（sinθ，cosθ,

），b=（cosθ，sinθ,

），且a⊥b，则θ等于（）

A.

B.

C.

-

（

）D.

（

）

3.已知

=（1,5,-2），

=（3,1,z）,若

=

，且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）

A.

B.

C.

D.

4.已知A（3,0,-1）、B（0，-2，-6）、C（2，4，-2），则△ABC是（）

A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D以上都不对

5.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在

A1D，AC上，且A1E=

A1D，AF=

AC，则（）

A.EF至多与A1D，AC之一垂直B.EF⊥A1D，EF⊥AC

C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面

6、如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA,

E,F,G分别是CD,DA和AC的中点，则平面BEF与

平面BDG的位置关系是________.

7.如图，已知矩形ABCD，AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD

若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于_______.

8.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，

AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点

求证：

EF为BD1与CC1的公垂线.

9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,

AB⊥AD,，AC⊥CD,∠ABC=60°

PA=AB=BC,E是PC的中点.

（1）求证：

CD⊥AE；

（2）求证：

PD⊥平面ABE.

B级

1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，MN分别为A1B和AC上的点，A1M=AM=

，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.不能确定

2.已知a=（1,2,-2），若|b|=2|a|，且a∥b，则b=_______.

C级

3.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，AA1=3，M是BC的中点.在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1，并说明理由.

空间向量与空间角及空间间距导学案

学科：

高二数学课　型：

新授课　　课　时：

3课时编写时间：

2013.3.30

编写人：

陈　平审核人：

邓朝华　　班　级：

　姓　　名：

【导　案】

【学习目标】

1.能用向量方法求解空间中的线线角、线面角及二面角

2.能用向量方法求解空间中的距离问题

【学习重点】

用向量求角与距离的方法

【学　　案】

1、两条异面址线所的的角

（1）定义：

设a、b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则a′b′所夹的_________叫作a与b所成的角.

（2）范围：

两异面直线所成的角θ的取值范围是_________.

（3）向量求法：

设直线a、b的方向向量分别为a、b，其夹角为

，则有cosθ=|cos

|=_________.

2.直线与平面所成的角

（1）定义：

直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的________ 所成的角.

（2）范围：

直线和平面成所的角θ的取值范围是________.

（3）向量的求法：

设直线L的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为

，则有________=|cos

|=_______或cosθ=sin

.

3.二面角

（1）二面角的概念：

从一条直线出发的两个半平面所组成的_______叫做二面角.这条直线叫二面角的________，这两个半平面叫做二面角的________.

（2）二面角的平面角概念：

在二面角a—l—β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面a和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，构成的∠AOB叫做_______.

（3）二面角的取值范围：

_________.

（4）二面角的向量求法：

①若AB、CD分别是二面角a—l—β的两面内与棱l垂直的异面线，则二面角的大小就是向量

的夹角（如图①）.

②设n1、n2分别是二面角a—l—β的两面a、β的法向量，

则向量_______有夹角（或其补角）的大小就是二面角的

平面角的大小（如图②）

4.空间中的距离主要有_______、_______、_______、_______、_______、_______六种.

5.空间中两点间的距离公式

若A（x1，y1、z1），B（x2，y2、z2），则dAB=|AB|=________.

6.向量的模长公式

若a=（x，y、z），则|a|=

=__________.

7.点面距离公式

如图所示，设n是平面a的法向量，AB是平面a的一条斜线，则点B到平面a的距离d=_________.

8.异面直线间的距离公式

l1l2是两条异面直线,n是l1l2的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是l1l2上的任两点，则

=_________.

【例1】如图所示，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，

PA与平面ABCD所成的角为60°，四边形ABCD中，

D=A=90o,AB=4.CD=1，AB=2.

（1）建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；

（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值.

【例2】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求BD与平面A1C1D所成角的余弦值.

【例3】已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，

其中AB=AP=3，AD=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示.

（1）求证：

AN∥平面MBD；

（2）求二面角M—BD—C的余弦值。

【例4】如图，在平行四边行ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿

对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.

【例5】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C1的距离.

【例6】如图所示，已知正四棱锥V—ABCD的底面边长为2，

高VO=1，VB中点为M，求点M到平面VDC的距离.

【例7】如图所示，已知正方体A1B1C1D1—ABCD的棱长为a.

（1）求证：

平面A1BD∥平面CB1D1；

（2）求平面A1BD平面CB1D1的距离.

【例8】已知二面角

—l—β中，A∈

，B∈β.AC⊥l垂足为C，BD⊥l，

垂足为D.AC=a，BD=b，CD=c，AB=l.求二面角

—l—β的余弦值.

空间向量与空间角练案

学　校：

公安一中　　年　级：

高二年级班　级：

姓　　名：

编写人：

陈　平审核人：

邓朝华　　编写时间：

2013.3.30

A级

1.设a=（a1a1a1），b=（b1b1b1）若a≠b且记|a-b|=m,则a--b与x轴正方向的夹角的余弦为（）

A.

B.

C.

D.±

2.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1

=

，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）

A.

B.

C.

D.

3.菱形ABCD在平面a内，PC⊥a，那么PA与对角线BD的位置关系是（）

A.平行B.斜交C.垂直相交D.异面垂直

4.在正三棱形ABC—A1B1C1中，已知AB=1，点D在BB1上，且BD=1，则AD与侧面AA1C1C所成角的余弦值是（）

A.

B.

C.

D.

5.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则

直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（）

A.

B.

C.

D.

6.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角

的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，

CD=2

，则该二面角的大小为（）

A.150°B.45°C.60°D.120°

7.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形

A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是

A.60°B.45°C.30°D.90°

8.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC.E是PC的中点，则EB与底面ABCD所成角的正切值为（）

A.

B.

C.

D.

9.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面为正三角形，若AA1=AB=1，E为棱BB1的中点，则平面AEC与平面ABC所成锐二角的大小为______.

10.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，

AB⊥BC，求二面角B1—A1C—C1的大小.

11.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是为长

为a的正方形，且PD=a，PA=PC=

.

（1）求证：

直线PD⊥平面ABCD；

（2）试求二面角A—PB—D的大小.

B级

1.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，

AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=EF=

.

（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；

（2）示证：

平面AMD⊥平面CDE；

（3）求二面角A—CD—E的余弦值.

2.已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，

PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

AB=1，M是PB的中点。

（1）求证：

平面PAD⊥平面PCD；

（2）求AC与PB所成角的余弦值；

（3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值.

C级

1.如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=

，

CD=AD=2，四边形ABEF为平行四边形，FA⊥平

面ABCD，FC=3，ED=

.求：

（1）直线AB到平面EFCD的距离；

（2）二面角F—AD—E的平面角的正切值.

空间向量与空间距离练案

学　校：

公安一中　　年　级：

高二年级班　级：

姓　　名：

编写人：

陈　平审核人：

邓朝华　　编写时间：

2013.3.30

1.已知向量a、b、c两两这间的夹角都为60°，其模都为1，则|a-b+2c|等于（）

A.

B.5C.6D.

2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的

中点，则E到直线CB1的距离为（　　）

A.

B.

C.

D.

3.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别2、3、6，则M到P的距离是（　　）

A.7B.8C.9D.10

4.已知PD⊥正方形ABCD所在平面，PD=AD=1，点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则（　　）

A.1＜d1＜d2B.d1＜d2＜1C.d1＜1＜d2D.d2＜d1＜1

5.正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为a,点M分AC1的

比为

N为B1B的中点,则|MN|为　　　　　（　　）

A.

B.

　C.

D.

６.已知△ABC的顶点A（1,-1，2）、B（5，-6，2）、C（1，3，-1）则AC边上的高BD的长等于（）

A.3B.4C.5D.6

７.设A（2，3，1），B（4，1，2）C（6，3，7），D（-5，-4，8），则点D到平面ABC的距离为_______.

８.已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是连长为2的正方体，高为4，则点A1截面AB1D1的距离是_______.

９.如图，在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二

面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.求CD的长度.

10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A＇B＇C＇D＇中，E、F分别

为DD＇、BD的中点，M在棱CD上，且CM=

，N是C＇M的中点.

（1）求证：

EF⊥B＇C；

（2）求EF与C＇M所成角的余弦值

（3）求FN的长.

11.三棱柱ABC—A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点.

（1）求证：

平面AB1D⊥ABB1A；

（2）求点C到平面AB1D的距离

B级

1.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，

E是AB上一点，PE⊥EC，已知PD=

，CD=2，AE=

，求：

（1）异面直线PD、EC的距离；

（2）二面角E—PC—D的大小

2.如图，四面体PABD中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=a，PB=b，PC=c，点P到平面ABC的距离为h，求证

.

C级

1在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，

PA=AD=4，AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直线的球面交PD

于点M，交PC于点N.

（1）求证：

平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；

（3）求点N到平面ACM的距离.