等比数列教学内容分析.docx

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等比数列教学内容分析

等比数列容分析

组长：

贾富杰

小组成员：

王娇，红艳，吴菲菲，马永胜，扶禄

（一）结构分析

1.单科结构分析

知识结构：

（1）等比数列的定义；

（2）等比数列通项公式；

（3）前n项和公式；

（4）等比中项的概念及意义；

（5）等比数列的基本性质

教学重点：

掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导。

教学难点：

灵活运用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法。

关键点：

等比数列的通项公式及前n项和公式的基本掌握。

教学安排：

回顾旧知、导入新课

通过感性材料的引入，比如：

给我一纸，我能够将它折成五层楼那么高（假设我的力气足够大），这可能吗？

你如果能将一报纸对折38次，我就能顺着它在今晚爬上月球，将一纸对折会有那么大的高度吗？

通过上述兴趣材料的引入，激发学生的学习兴趣，从而让学生带着疑问进入本节课的学习。

2、讲授新课，构建新知

给出一组数字，让学生观察这组数字的共同特点，从而导出等比数列的概念；由等比数列的概念给出数组判断其是否为等比数列；推导等比数列的通项公式（递推法、连乘法等）。

3、例题讲解、梳理知识

通过相关应用题目使所学知识得到进一步提升，或者通过概念型例题引发学生思考从而对等比数列的通项公式熟练掌握

例题：

一个等比数列的第三项与第四项分别为12和18，求它的第一项与第二项。

4、自我检测、形成技能

5、给出一些生活中的实际例子，使本节所学理论上升到实践：

。

通过对上述现实问题的分析即可使本课与实际相联系。

（二）数学思想方法分析

1.函数思想。

将数列问题转化为函数问题，通过对函数的分析计算，让学生逐步解决等比数列的问题。

掌握等比数列的实质是运用函数来解决数列问题，通过各种函数计算，解决问题。

2.待定系数法和配方法。

等比数列运用函数来解决问题，函数这一部分用到许多数学方法，由已知条件求等比数列表达式的问题，很多都是用待定系数法来解的。

通过已知条件，转化条件，列出方程组，解方程组求得等比数列。

（三）功能分析

1.智力价值

理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

2.思想教育价值

提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

3.应用价值

培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

（四）背景分析

1.人类在古代随着自然数、分数的概念和四则运算的产生，为了生产与生活的需要，就产生了数列的知识.在世界数学史上，对级数（数列）的讨论具有悠久的历史，中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过级数，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《邱建算经》等，对等差级数a+（a+b）+（a+2b）+（a+3b）+…＋〔a＋（n－1）b〕和等比级数a＋aq＋aq2＋aq3＋…＋aqn－1都列举出计算的例子，说明中国古代对级数的研究曾作出过一定的贡献.古老的《易经》一书中写道：

“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，实际上，这种分割，已经寓有数学中等比数列的思想.著于东汉（25年～220年）初年的中国古代数学名著《九章算术》均输章中，第19题：

“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升.问中间两节欲均容，各多少？

”解得各节的容量是1，1，1，1，1，，，，源于古代的一些实际问题．古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默斯．他用象形文字写了一部《算书》，记录了公元前2000年——前1700年间数学研究的一些成果．其中有这样一题，题中画了一个阶梯，其各级注数为7，49，343，2401，16807．并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器．原书上并无任何说明，遂成为数学史上的一个难解之谜．2000多年中无人能解释．直到中世纪，意大利斐波那契在1202年发表了《算盘全书》，书中这样一题：

今有七老妇人同往罗马，每人有七骡，每骡负七袋，每袋盛有七个面包，每个面包有七小刀随之，每小刀配有七鞘，问列举之物全数共有几何？

显然这是一个等比数列的求和问题．由此也基本解开了阿默斯之谜．原来阿默斯问题的意思是：

今有七人，每人有七猫，每猫食七鼠，每鼠食七只大麦穗，每穗可长成大麦七量器，由此可得之数列如何？

当然这仅仅是推测．我国古代数学家也早就研究过等比数列的问题．《子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”：

今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，维有九毛，毛有九色，问各几何？

国际象棋起源于印度，据说国王舍罕为了奖赏发明者西萨.班.达依尔，让他提出一个要求，于是这位聪明的发明者说：

“尊敬的陛下，请在棋盘的第1格里放上1颗麦粒，第2格里放上2颗麦粒，在第3格里放上4颗麦粒，以此类推，每一格里的麦粒是前一格里放的2倍，直至64格，请陛下把这些麦粒赏给您的仆人吧”。

国王觉得这事不难，就欣然同意了。

请问：

国王能办到吗？

大约公元前320年，欧几里得的《几何原本》第五卷详细探讨了关于比例的理论，并且把它们推广到各种量，此外还证明了它可以应运到可通约的量，也可应运到不可通约的量。

希思认为，希腊没有什么更好的发现比这个理论更能令人夸耀了。

一般都公认，该卷部分是欧多克索斯和泰阿泰德的工作，但是把它们编排的合乎逻辑次序，应该归功于欧几里得。

书中关于比值和比例的基本概念是这样定义的：

各个量在被乘时仍能保持各量间的相应比数称为彼此间有一比值。

（定义4）

所谓成等比的诸量，如第一量和第二量之比等于第三量和第四量之比，是指在以等倍数乘第一量与第三量，并以任何等倍数乘第二量和第四量时，前者的等倍数必相同地大于，或相同地等于，或相同地小于后者相应的倍数。

（定义5）

成等比的诸量称为比例量。

（定义6）

第六卷把第五卷已经建立起来的关于比例的一般理论应运到平面图形上去。

第七，八，九卷与算术即关于数的理论有关。

单位的定义是，用它把每个存在的事物称为1,。

奇数和偶数，素数和合数，平方数和立方数。

完全数等都有了定义，例如一个完全数就是“等于它的各部分之和的数”，即等于它的所有因子（包括1）之和。

第七卷中的命题1指出，“若在两个等数中，每当从大数中尽可能地减去小数，再从小数中尽可能地减所得余数，又从前一余数中尽可能地减去下一余数，如此下去，并且任何余数都不是前一余数的约数，直至达到1为止，则此二位给定数互为素数”。

这个命题是用归谬法来证明的，从它可以得出求不是互素的两个或三哥数的最大公约数的方法。

”第九卷（命题35）提出一个巧妙的方法来求几何级数的和：

如果有任意多个数成连比例，并且第二个和最后一个数都可以减去第一个数，则第二个数的增量与第一个数之比，将等于最后一个数的增量与最后一个数前面的所有数之和的比。

例如，若级数

且

即

现在，如果有任意多个数成比例，则由于任前一项和后一项之比等于所有前项的和与所有后项的和之比，故将所有前项与所有后项相加，既得：

从这个关系即可确定

2.等比数列与其他知识的联系

等比数列与极限

3.等比数列的实际应用

 1产值模型

2 产值模型

 3分期付款模型 

4存储模型

（五）要素分析

1.感性材料：

通过引入“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，导出等比数列。

2.概念和命题

概念：

（1）数学概念名称：

等比数列

（2）数学概念定义：

等比数列是说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0），等比数列a1≠0。

注：

q=1时，an为常数列。

（3）数学概念例子

an=2n是首项为1，公比为2的等比数列。

命题：

1.若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则

{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…

{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

2.若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。

3.若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）

3.例题

a.设ak，al，am，an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：

ak*al=am*an

证明：

设等比数列的首项为a1，公比为q，则：

ak=a1·q^（k-1），al=a1·q^（l-1），am=a1·q^（m-1），an=a1·q^（n-1）

所以：

ak*al=a^2*q^（k+l-2），am*an=a^2*q（m+n-2），

故：

ak*al=am*an

例题分析：

这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。

它说明等比数列中距离两端（首末两项）距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：

a（1+k）·a（n-k）=a1·an

对于等差数列，同样有：

在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。

即：

a（1+k）+a（n-k）=a1+an

b.在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，12a3，a1成等差数列，则a4＋a5a3＋a4的值为（  ）

 A.5－12   B.5＋12 

C.1－52   D.5－12或5＋12 

[答案] B 

[解析] 设{an}的公比为q，则q>0. ∵a2，12a3，a1成等差数列， ∴a3＝a1＋a2，∴a1q2＝a1＋a1q

∵a1≠0，∴1＋q＝q2， 又∵q>0，∴q＝5＋12， 

∴a4＋a5a3＋a4＝q＝5＋12

例题分析：

本题结合了等差数列与等比数列的性质

4.习题

a.等比数列{an},前n项和为Sn,Sn=48,S2n=60,S3n=?

解：

设等比数列的公比是q,显然q不等于1..

则Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）=48

S2n=a1*（1-q^（2n））/（1-q）=60

把上面两式相比得到q^n=1/4

所以s3n=a1*（1-q^（3n））/（1-q）

S3n/Sn=（1-q^（3n））/（1-q^n）=1+q^n+q^（2n）=1+1/4+1/16=21/16

所以S3n=21/16*Sn=（21/16）*48=63.

b.已知等比数列{an}的公比q＝－12. 

（1）若a3＝14，求数列{an}的前n项和； 

（2）证明：

对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列

解:

（1）由a3＝a1q2＝14及q＝－12，得a1＝1， 

所以数列{an}的前n项和Sn＝

（2）证明：

对任意k∈N＋， 

2ak＋2－（ak＋ak＋1）

＝2a1qk＋1－（a1qk－1＋a1qk）

＝a1qk－1（2q2－q－1）， 

由q＝－12得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－（ak＋ak＋1）＝0. 

所以，对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列

（六）学习结果、形式类型与任务分析

1.学习结果类型分析

a.数学事实：

数学符号有

，

及q，，数学名称有等比数列，等比中项公比及首项。

b.数学概念：

等比数列及公比的定义。

c.数学原理：

数学归纳法

d.数学问题解决：

运用等比数列的概念及通项公式会求公比q，前n项和与数列中具体的某一项。

e.数学思想方法分析：

归纳法、叠乘法、迭代法与类比法。

f．数学技能：

运算、推导与数学交流。

g.数学认知策略：

通过联系等差数列的推导，推导等比数列，促进新旧知识的联系进而掌握新知识。

h.态度：

充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的，提高学习的兴趣。

2.学习形式类型分析

等比数列的学习属于并列结合学习，在等差数列的学习时，类比等差数列通项公式的推导思想推导出了等比数列的通项公式，二者之间具有相似性，所以属于并列结合学习。

3.学习任务分析

通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系。