河北省衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数四word版.docx
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河北省衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数四word版
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数（四）
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知虚数单位，复数对应的点在复平面的（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.已知集合，，若，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
3.设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（）
A．B．C．D．
4.设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（）
A．或B．C.D．或
5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（）
A．998B．999C.1000D．1001
6.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列选项中结果为0的是（）
A．B．C.D．
7.设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（）
A．B．C.D．
8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C.16D．
9.已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）
A．480B．160C.1280D．640
10.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，设，，若，，且，则的最大值为（）
A．7B．10C.8D．12
11.如图所示，椭圆有这样的光学性质：
从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：
已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（）
A．B．C.D．
12.将给定的一个数列：
，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：
，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为
（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）
A．11B．10C.9D．8
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若函数为偶函数，则．
14.已知，，则．
15.中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、、、参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，对说：
“你没有获得一等奖”，对说：
“你获得了二等奖”；对大家说：
“我未获得三等奖”，对、、说：
“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计种．（用数字作答）
16.已知为的重心，点、分别在边，上，且存在实数，使得.若，则．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积，为边的中点，，求.
18.市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:
月份
1
2
3
4
5
6
市场份额（%）
11
13
16
15
20
21
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；
（2）如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数（单位:
天）统计图.设销售产品数量为，经统计，当时，企业每天亏损约为200万元，当时，企业平均每天收人约为400万元;当时，企业平均每天收人约为700万元。
①设该企业在六月份每天收人为,求的数学期望;
②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200万元的概率。
附:
回归直线的方程是,,,.
19.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为棱的中点，与交于点，侧面，为的中点.
（1）证明：
平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20.已知焦点为的的抛物线：
（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.
（1）求抛物线及的方程；
（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.
21.已知函数，，其中为常数，是自然对数的底数.
（1）设，若函数在区间上有极值点，求实数的取值范围；
（2）证明：
当时，恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数，为实数），直线与曲线交于两点.
（1）若，求的长度；
（2）当面积取得最大值时（为原点），求的值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若证明：
不等式恒成立.
试卷答案
一、选择题
1-5:
DDDAA6-10:
CBADB11、12：
CB
二、填空题
13.-114.15.1216.3
三、解答题
17.解：
（1）因为，由正弦定理，得.
又，
所以，
即.
因为，故.
所以.
（2）由的面积，得.
又为边的中点，故，
因此，
故，
即，
故.
所以.
18.解：
（1）由题意，，
，
故，，
由得，
则.
当时，，
所以预测该企业2017年7月的市场份额为23%.
（2）①设该企业每天亏损约为200万元为事件，平均每天收入约达到400万元为事件，平均每天收入约达到700万元为事件，
则，，.
故的分布列为
-200
400
700
0.1
0.2
0.3
所以（万元）.
②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.
则.
所以该企业在未来三天总收入不低于1200万元的概率为0.876.
19.解：
（1）取中点为，连接，，，
由，，，，
得，且，
所以四边形为平行四边形.
所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）由已知.
又平面，
所以，，两两垂直.
以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则经计算得，，，，
因为，
所以，
所以，，
.
设平面一个法向量为，
由
令，得.
设直线与平面所成的角为，
则.
20.解：
（1）由题意，，故。
所以抛物线的方程为.
将代入抛物线方程，解得，
因此，
故，
的方程为.
（2）设，，，，
设：
，
则由
得，
令，解得，
故：
，
同理：
.
则由
解得
因直线，.
则由
得，
则
因此
21.
（1）由题意，，则，
由题意，若在上有极值点，
则在上有变号零点.
令，即，
设，，
故，
则，，，，
又，，
，
即.
故若函数在上有极值点，
只需
则，
所以的取值范围为.
（2）由题意，知要证成立.
设，，
则，
当时，，
当时，，
所以当时，取得最大值.
所以.
设，，
则，
因为，则，
故在区间内单调递增，
故，即.
所以，
故.
综上，当时，.
命题得证.
22.解：
（1）由（为参数），
可得曲线的普通方程为.
由直线的参数方程为（为参数），
可知直线的普通方程为.
由得，，.
故，
所以的长度.
（2）由直线的参数方程为（为参数，为实数），
可知直线过定点，
经验证该点在椭圆上，
不妨设为点，则直线的方程为.
设，点到直线的距离为，
则.
若要面积取得最大值，
则，
得，，，.
此时或.
将代入直线的参数方程为，解得.
将代入直线的参数方程为，解得不存在.
所以.
23.解：
（1）
，
即或或
解得.
（2）
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故时，取最小值.
当时，恒成立，
即，故，
当时，在时取最大值，
所以不等式恒成立.
综上，不等式恒成立.
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