中考数学复习第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型针对演练.docx

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中考数学复习第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型针对演练

2019-2020年中考数学复习第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型针对演练

针对演练

1.若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0,x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”.

（1）判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.

2.设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a＝－c，b＝2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．

（1）请写出二次函数y＝x2＋x＋1的一个“反倍顶二次函数”；

（2）已知关于x的二次函数y1＝x2＋nx和二次函数y2＝nx2＋x；函数y1＋y2恰是y1－y2的“反倍顶二次函数”，求n.

3.函数y＝和y＝－（k≠0）的图象关于y轴对称，我们定义函数y＝和y＝－（k≠0）相互为“影像”函数：

（1）请写出函数y＝2x－3的“影像”函数：

________；

（2）函数________的“影像”函数是y＝x2－3x－5;

（3）若一条直线与一对“影像”函数y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）的图象分别交于点A、B、C（点A、B在第一象限），如图，如果CB∶BA＝1∶2，点C在函数y＝－（x＜0）的“影像”函数上的对应点的横坐标是1，求点B的坐标．

第3题图

4.如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1，又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此下去，得到线段OP3，OP4…，OPn（为正整数）．

（1）求点P3的坐标；

（2）我们规定：

把点Pn（xn，yn）（n＝0，1，2，3…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称为点Pn的“绝对坐标”，根据图中Pn的分布规律，求出点Pn的“绝对坐标”．

第4题图

考向2）　几何类（杭州：

2015.19；台州：

2016.23，2015、2013.24；绍兴：

2017.22，2013.22，2012.21）

针对训练

1.（2017绍兴）定义：

有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.

①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；

②若AC⊥BD，求证：

AD＝CD.

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．

第1题图

2.阅读下面的材料：

如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：

三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”，如图①，▱ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”．

请解决下列问题：

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；

（2）若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”，若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有______个；

（3）若△ABC是锐角三角形，且AB＜AC＜BC，如图②，请画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的“友好矩形”，并说明理由．

第2题图）

3.（2017常州）如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还需要满足________时，四边形MNPQ是正方形；

（2）如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．

①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，则四边形ABCD的面积是________；

②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．

第3题图

4.（2017黄石）在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”．在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP＝BC，如下图所示．

（1）如图①，求证：

BA＝BP；

（2）如图②，点Q在DC上，且DQ＝CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；

（3）如图③，已知AD＝1，在

（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM＝BN，请证明：

△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．

第4题图

5.对于一个四边形给出如下定义：

如一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形，如图①中，∠B＝∠D，AB＝AD；如图②中，∠A＝∠C，AB＝AD则这样的四边形均为奇特四边形．

（1）在图①中，若AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠C＝120°，请求出四边形ABCD的面积；

（2）在图②中，若AB＝AD＝4，∠A＝∠C＝45°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值；

（3）如图③，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线上一点，且BE＝DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H，若EB＋BC＝m，问四边形BCGE的面积是否为定值？

如果是，请求出这个定值（用含m的代数式表示）；如果不是，请说明理由．

第5题图

6.类比等腰三角形的定义，我们定义：

有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

（1）如图①，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件；

（2）小红猜想：

对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？

请说明理由；

（3）如图②，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，BC′.小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）?

第6题图

7.（2017江西）我们定义：

如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知

（1）在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；

②如图③，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为________．

猜想论证

（2）在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图④，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？

若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

第7题图

答案

1.解：

（1）不是．理由如下：

∵解方程x2＋x－12＝0，得x1＝－4，x2＝3，

∴|x1|＋|x2|＝4＋3＝2×|3.5|，

∵3.5不是整数，

∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”；

（2）存在．理由如下：

∵方程x2－6x－27＝0，x2＋6x－27＝0是“偶系二次方程”，

∴假设c＝mb2＋n，

当b＝－6，c＝－27时，有－27＝36m＋n，

∵x2＝0是“偶系二次方程”，∴n＝0，m＝－，

∴c＝－b2.

又∵x2＋3x－＝0也是“偶系二次方程”，

当b＝3时，c＝－＝－×32，

∴可设c＝－b2，

对任意一个整数b，当c＝－b2时，b2－4ac＝b2－4c＝4b2，

∴x＝，∴x1＝－b，x2＝b，

∴|x1|＋|x2|＝|b|＋|b|＝2|b|.

∵b是整数，

∴对于任意一个整数b，存在实数c，当且仅当c＝－b2时，关于x的方程，x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”．

2.解：

（1）∵y＝x2＋x＋1，

∴y＝（x＋）2＋，

∴二次函数y＝x2＋x＋1的顶点坐标为（－，），

∴二次函数y＝x2＋x＋1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），

∴反倍顶二次函数的解析式为y＝（x－）2＋＝x2－x＋；

（2）y1＋y2＝x2＋nx＋nx2＋x＝（n＋1）x2＋（n＋1）x＝（n＋1）（x2＋x）＝（n＋1）（x＋）2－，

∴顶点的坐标为（－，－），

y1－y2＝x2＋nx－nx2－x＝（1－n）x2＋（n－1）x＝（1－n）（x2－x）＝（1－n）（x－）2－，

∴顶点的坐标为（，－），

由于函数y1＋y2恰是y1－y2的“反倍顶二次函数”，

则－2×＝－，

解得n＝.

3.解：

（1）y＝－2x－3；

【解法提示】令－x＝x得y＝－2x－3.

（2）y＝x2＋3x－5；

【解法提示】令－x＝x得y＝x2＋3x－5.

（3）如解图，作CC′⊥x轴，BB′⊥x轴，AA′⊥x轴垂足分别为C′、B′、A′，

第3题解图

设点B（m，），A（n，），其中m＞0，n＞0，

由题意，将x＝－1代入y＝－中解得y＝2，

∴点C（－1，2），∴CC′＝2，BB′＝，AA′＝，

又∵A′B′＝n－m，B′C′＝m＋1，CC′∥BB′∥AA′，CB∶AB＝1∶2,则B′C′∶A′B′＝1∶2，

则，消去n化简得到3m2－2m－3＝0,

解得m＝或（舍弃），

∴＝＝，

∴点B坐标为（，）．

4.解：

（1）根据题意，得OP3＝2OP2＝4OP1＝8OP0＝8,

根据等腰直角三角形的性质，得P3（－4，4）;

（2）由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，

在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的角平分线上或x轴或y轴上，

但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，

因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：

①当Pn的n＝0，4，8，12…，则点在x轴上，则“绝对坐标”为（2n，0），

②当Pn的n＝2，6，10，14…，则点在y轴上，则“绝对坐标”为（0，2n）；

③当Pn的n＝1，3，5，7，9…，则点在各象限的角平分线上，则“绝对坐标”为（2n－1，2n－1）．

考向2　几何类

针对演练

1.解：

（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB＝BC，

∴▱ABCD是菱形．

又∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD为正方形，

∴BD＝；

②如解图①，连接AC，BD，

第1题解图①

∵AB＝BC，AC⊥BD，

∴∠ABD＝∠CBD，

又∵BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD，

∴AD＝CD；

（2）若EF与BC垂直，则AE≠EF，BF≠