新疆乌鲁木齐学年高三年级第二次诊断性测试理科数学试题.docx
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新疆乌鲁木齐学年高三年级第二次诊断性测试理科数学试题
新疆乌鲁木齐2020.2021学年高三年级第二次诊断性测试理
科数学试题
学校:
姓名：
班级：
考号：
一、单选题
1.设全集（7=1<，A={x|£—2x—8>0},则。
4=（）
A.{工,>4或工<-2}B.{工k4—2或X之4}
C.{x|-22.设i为虚数单位，复数Z满足z（l+i）3=4i,则在更平面内，[对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知。
是第二象限角，且cos=1,则cosa=（）
A岳B_Lc-D厉
4444
4.我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：
数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2021年这几类工作岗位的薪资（单位：
万元/月）情况如下表所示：
薪资
岗位
口，2]
（2，司
（利
（4，句
数据开发
8%
25%
32%
35%
数据分析
15%
36%
32%
17%
数据挖掘
9%
12%
28%
51%
数据产品
7%
17%
41%
35%
由表中数据可得该市各类岗位的薪资水平高低情况为（）
A.数据挖掘,数据开发〉数据产品〉数据分析
B.数据挖掘〉数据产品〉数据开发〉数据分析
C.数据挖掘〉数据开发〉数据分析,数据产品
D.数据挖掘,数据产品〉数据分析,数据开发
5.双曲线CV-V=2的右焦点为尸，点夕为。
的一条渐近线上的点，。
为坐标原
点.若|尸。
|=|尸尸I，则又8尸=（）
7.下列函数是偶函数，且在（0,+。
）上是增函数的是（）
A./（x）=|lnx|B./（力=/
C.f（x）=x--D./（x）=3n
X
8
.某几何体的三视图如图所示，则该几何体棱长的最大值为（）
9.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电
荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q,这两个相距为r的惰性气体原子组成体系的能量中布.静电相互作用能
其中力为静电常量，4，占分别表示
〃7，11
U=kcr—+
RH+%—\人■
两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且同和网都远小于R，当同远小于1时，
（1+x）-1«l-x+x2,则。
的近似值为（）
A2k,q'&b2kdxj?
c5"用dke^\x2
.R3.R3.R3^R，
10.设。
=jm,〃=iog/3,c=?
5,则下列正确的是（）
A.c11.将函数〃x）二石Sin2x+2cos2x-l的图象向右平移8（0<8<]）个单位长度
后得到函数g（x）的图象，若对于满足/（xj-g（占）=4的为，毛，有国―闵.=-,mm6
则。
二（）
a兀c兀厂冗c57r
A・-B.-C.—D・—
64312
12.已知函数/⑴二」"?
',g（x）=<""""①，若g（x）恰好有3
厂—3x+2,x>0—x+3,x>m
个零点，则〃？
的取值范围是（）
A.[-24）B.（-2,1]
C.[1,2）U[3,+od）D.（l,2]U[3,+oo）二、填空题
13.在二项式（«+2）的展开式中，常数项的数值为.
14.在口A8CQ中，"=（0,2）,衣二（2,3）,则而.而二.
15.设△A8C的角4,B,C的对边分别为。
，〃，c,已知aAsc的面积为」_
4sinB
2
且cos（A-C）-cos6=§,则cos6=.
16.已知椭圆C的焦点为匕，工，过点R的直线与椭圆C交于A，3两点.若
的|=2比3|,牛怛用,则椭圆C的离心率为.
三、解答题
17.已知数列｛〃“｝的前〃项和为5”，且满足2q「S”=l（〃wN'）.
（I）求数列｛〃“｝的通项公式；
18.如图，在宜三棱柱46C—4MG中，4AC=90。
，AB=AC=AAl9E,尸分
别是AC和A5上动点，且AE=3厂.
（1）求证：
Bfi1Cf.
（2）若人石=2石。
，求二面角4一石尸一人的平面角的余弦值.
19.某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物A,B,C（A,B,C的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示：
（表中的数据都以一个疗程计）
药物
A
B
C
单价（单.位：
元）
600
1000
800
治愈率
85%
95%
90%
市场使用量（单位：
人）
305
122
183
（1）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？
（2）求感染患者在一个疗程的药物治疗费用的分布列及其数学期望.
20.已知OM：
（x-l）2+/=l,直线/：
x=-L9动圆。
与相外切，且与直
线/相切.设动圆心P的轨迹为C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点。
（—1,0）的直线与曲线。
交于A，8两点（点A在点。
，6之间），点。
满
足=3AM,求与△AOQ的面枳之和取得最小值时直线AB的方程.
21.己知/（工）二4/一0¥+2（4£/?
）.
（1）若曲线），=/（X）在X=0处的切线与坐标轴围成的图形面积为4,求实数。
的值：
（2）若求证/（X）之lnx+3.
22.在平面直角坐标系宜为中，将曲线C：
r+）尸=1上的点按坐标变换《,，
ly=>
得到曲线C',M为C与工轴负半轴的交点，经过点M且倾斜角为60。
的直线/与曲
线C的另一个交点为N,与曲线C'的交点分别为A，B（点A在第二象限）.
（I）写出曲线C'的普通方程及直线/的参数方程；
（II）求|4V|一忸必的值.
23.己知函数/（x）=k+4一|2xT|,aeR.
（I）当。
=1时，求不等式/（x）N0的解集；
（H）设函数g（x）=-x+4,若函数/（x）的图象与函数g（x）的图象只有一个公共点,求。
的取值范闱.
参考答案
1.D
【分析】
利用一元二次不等式的解法求出集合A,再利用补集的定义求出厚A即可.
【详解】
因为不等式£—2x—8>0的解集为卜卜>4或x<—2},
所以集合4={X卜>4或xv-2},
由补集的定义可知，Q,.A={x|-2故选：
D
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法和补集的定义：
考杳运算求解能力；属于基础题.
2.A
【分析】
化简z=l-"故屋1+i,得到答案.
【详解】
34i4/2/（—1—/）._
z（i+i）=4"则z=「7[KT（_i+/）（_i）-j，故—•故对应的点位于第一象限.
故选：
A.
【点睛】
本题考查了复数的化简，共枕复数，里数对应象限，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
3.A
【分析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系进行化简求值即可.
【详解】
<3K\।]
因为cos—-+I2J44
因为sufa+cos2q=l,。
是第二象限角,
故选：
A
【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系；考杳运算求解能力：
属于中档题.
4.B
【分析】
计算每个岗位的平均工资，比较得到答案.
【详解】
数据开发的平均工资为：
L5x8%+2.5x25%+3.5x32%+4.5x35%=3.44；
数据分析的平均工资为：
1.5xl5%+2.5x36%+3.5x32%+4.5xl7%=3.01：
数据挖掘的平均工资为：
L5x9%+2.5xl2%+3.5x28%+4.5x51%=3.71:
数据产品的平均工资为：
L5x7%+2.5xl7%+3.5x41%+4.5x35%=3.54；
故数据挖掘〉数据产品〉数据开发〉数据分析.
故选：
B.
【点睛】
本题考查了数据的平均值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5.C
【分析】
由双曲线方程得到渐近线方程，以及右焦点坐标，再由|尸。
|=|「尸I，求出夕点坐标，进而可求出三角形面积.
【详解】
因为双曲线方程为C:
父一尸=2,
所以其渐近线方程为y=±x,右焦点为尸（2,0）,
因为点夕为C的一条渐近线上的点，不妨设点。
在）'=x上，且点P在第一象限；
又IPO1=1尸尸I,所以APOF为等腰三角形，
所以点P横坐标为1,因此尸（口），
所以=日•%=1.
故选c
【点睛】
本题主要考查双曲线中的三角形面枳问题，熟记抛物线的简单性质即司.，属于常考题型.
6.B
【分析】
如图所示：
易知DA，DB，0c两两垂直，E为BC中点、,F为AD中点"故球心。
在
平面8C。
的投影为七，R2=EO2+DE2=5，计算表面积得到答案.
【详解】
如图所示：
易知D4,DB，0c两两垂直，E为BC中点、,F为AD中点、,
故球心0在:
平血BCD的投影为E，OF_LAD»DE=—BC=2,OE=DF=—AD=1,
设球半径为R,则在用△OO七中：
R1=EO~+DE~=故S=4/rR?
=20;r.
故选：
B.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
7.D
【分析】
利用偶函数的定义、鬲函数、指数函数和对数函数的单调性进行逐项判断即可.
【详解】
对于选项A：
因为=所以其定义域为（°，+8），不关于原点对称，所以函数
/（x）=|lnM为非奇非偶函数，故选项A排除；
对于选项B：
因为/（力=%=«,所以其定义域为［0,+8）,不关于原点对称，所以函数
/（（）=%为非奇非偶函数，故选项B排除；
对于选项c：
因为/3=工二，所以其定义域为｛中工0｝关于原点对称，
X
1（1、1
因为/（T）=T；=-=_/（%），所以函数/（x）=x__为奇函数，
—X\/X
故选项c排除；
对于选项D：
因为〃X）=3也所以其定义域为R关于原点对称，
因为/（-X）=3T=3N=/（X）,所以函数〃x）=3卜I为R上的偶函数，
又当x>0时，/（x）=3\又因为指数函数y=3、为R上的增函数，
所以函数〃刈=3卜1为（0,+8）上的增函数，故选项D符合题意.
故选：
D
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断和累函数、指数函数和对数函数的单调性：
考查运算求解能力;熟练掌握基本初等函数的图象与性质是求解本题的关键；属于中档题.
8.C
【分析】
如图所示：
在长方体ABC。
—AdGR中，N—A5CD满足三视图，计算棱长得到答案.
【详解】
如图所示：
在长方体ABC。
—AdGR中，N—A5CD满足三视图.
则A6=CQ=3AD=BC=2,NA=ND=2,
NB=NC=4NA2+M?
+AB?
="
故选：
c.
【点睛】
本题考查了三视图，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
9.B
【分析】
把。
的表达式中的分子分母同时乘以R,然后对括号中的每个分式的分子分母同时除以H，结合题中的数据NI和|七|都远小于R，当N远小于1时，（l+x）-1«l-x+x2,化简求解即可.
【详解】
/、
根据题意，u=kd+~^———―
（HR+X]—x,R+X]H一居,
因为同和国都远小于R，当同远小于1时,（1+x[°1—x+F
2keq2xlx2
故选：
B
【点睛】
本题考查U的近似计算：
考查运算求解能力和逻辑推理能力：
对U的表达式进行适当的变形，充分运用题中的数据是求解本题的关键：
属于中档题.
10.C
【分析】
由题意知，C=25=#,利用幕函数），=JF的单调性可得，构造函数〃x）=log？
x-J7,（x>0）,通过求导判断函数“X）的单调性，利用函数/（X）判断。
川的大小关系即可.
【详解】
由题意知，C=75=布，因为幕函数），=«在［0,+8）上单调递增，
所以遮，即4>C;令〃X）=log?
X-J7,（X>O）,
因为ln2=ln*>ln3=如所以ln2>|,（总）<9,
所以〃13）>〃16）=log"6-JT?
=0,即以g213>J!
L所以b>a,
综上可知，c故选：
C
【点睛】
本题考查通过求导判断函数的单调性、利用函数的单调性比较大小；考查运算求解能力和函数与方程的思想;通过构造函数〃x）=log?
x-J7,（x>0）,利用函数的单调性比较。
力的大小是求解本题的关键；属于难度较大型试题.
11.C
【分析】
解得答案.
【详解】
/（x）=>/3sin2x+2cos2x-1=>/3sin2x+cos2x=2sin^2x+-^j,
g（x）=2sin（2x+/2（p）,|/（x1）-^（x2）|=4,
则区一七匕=：
_3=。
一夕=.，故夕=g.
故选：
C.
【点睛】
本题考查了三角函数平移，根据函数最值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12.C
【分析】
画出函数图像，如图所示，讨论加之3和m<3两种情况，判断分段函数的零点个数，计算得到答案.
【详解】
当x<0时，/（x）=（x+2）e\则r（x）=（x+3）e、，函数在（一叫一3）上单调递减，在
[-3,0]上单调递增，〃—3）=-二，画出“X）的图像，如图所示：
利用平面向量加减法的三角形法则和坐标表示求出A氏的坐标，再利用平面向量数量积
的坐标表示即可求解.
【详解】如图，在oABC。
中，AD=BC^
由平面向量加法的三角形法则知，AC=AB+BC
即而二尼-元，所以而二（2,1）,
又加=而一加,A5=（0,2）,所以85=（-2,1）,
由平面向量的数量积的坐标表示知，
而屈=2x（-2）+lxl=-3.
故答案为：
—3
【点睛】
本题平面向量加减法的三角形法则和坐标表示、平面向量数量积的坐标表示；考查运算求解
能力；熟练掌握平面向量加减法的三角形法则和坐标表示是求解本题的关键；属于中档题.
1
15.-6
【分析】
根据面积公式和正弦定理得到sinAsinC=L,利用和差公式计算得到cosAcosC=」，23
再根据cos6=-cos（A+C）展开得到答案.
【详解】
Z?
2]
S=—acsinB=，故=2acsin,B，即sinAsinC=-.
24smB2
21
cos（A-C）-cosB=cos（A-C）+cos（A+C）=2cosAcosC=—,故cosAcosC=-.
故cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=
6
故答案为:
【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
16"3
【分析】
根据题意作出图形，设怛”|=x,则闾=2x,忸国=|人回=3x,利用椭圆的定义求出
|Ag|的表达式，在“3尼中利用余弦定理求出cos/ABF?
在△61心中，利用余弦定
理求出|丹心|的表达式，代入离心率公式求解即可.
【详解】
根据题意，作图如下：
设网|=x,Ijiij\AF]\=2x,\BF2\=\AB\=3x,由椭圆的定义知,
AF{+AF2=2a,\BF^+\BF^=x+?
>x=Ax=2a,
因为|A1|=2x,所以|AFj=2x,在-5尼中，由余弦定理可得,
（3x）2+（3x）2-（2x）2_7,
2-3x-3x-9
在△出熊中，由余弦定理可得，因乙「=怛［「+怛区「一2怛修.|64.85445区,
即比用（=犬+（3］『一2*3十，解得比尸卜”x，
4/T
所以2〃=4x,2c=至1，所以椭圆离心率_c_丁'
4e=—==—
a2x3
故答案为：
正3
【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质、椭圆中焦点三角形的性质和余弦定理；考查数形结合的思想和运算求解能力：
熟练掌握椭圆的定义和性质、椭圆中焦点三角形的性质是求解本题的关键;属于中档题.
17.（I）ait=21（II）Tn=—
n+1
【分析】
（I）由2。
“一S”=1（〃GM），可得，n>2,2/t—S,i=1,两式相减得到。
”=2az
利用等比数列通项公式求解即可；
（II）结合（I）可求出S“的表达式，进而可得”的通项公式，利用裂项相消法求和即可.
【详解】
（I）2。
“-S〃=l,令〃=1,解得可=1,
〃之2,2o〃t-S〃_i=1,两式相减，得
所以数列｛%｝是以q=1为首项，4=2为公比的等比数列,
所以数列｛q｝的通项公式为。
“=2”」；
（H）由（I）知，牝=2〃T,S“=2q「1,
所以S,=2〃—1,即bn=log2（l+\）=log2T=n,
1F1x2
【点睛】本题考查利用。
”与s”的关系求数列的通项公式、等比数列通项公式和裂项相消法求和；考查运算求解能力：
熟练掌握已知与S”的关系求数列通项的方法和裂项相消法求和是求解本题的关键：
属于中档题.
2
18.
（1）证明见解析
（2）-
【分析】
（1）以点A为原点，分别以A5,AC,所在直线为x轴，）'轴，z轴建立坐标系，
设=瓦万•池=0,得到证明.
（2）平面A"的法向量1二（6,3,2）,平面E4厂的法向量不=（0,0,1）,计算夹角得到答案.
【详解】
（1）以点A为原点，分别以A5,AC,所在直线为不轴，）'轴，z轴建立坐标系，不妨设舫=3,则4（0,0,0）,6（3,0,0）,C（0,3,0）,.（0,0,3）,4（3,0,3）,G（0,3,3）.
设=则石（0,〃,0）,尸（3—“,0,0）,
•••聒=（-3,〃,-3）,可=（3-〃,-3,-3）,
•・•雨可=（—3,〃,一3）（3—〃,一3,—3）=0,・••愿_L不，即4E_LC/\
（2）由A石=2EC,得石（0,2,0）,F（1,0,0）,
•・・厄=（02-3）,EF=（l,-2,0）,AF=（l,0,0）,
设平面4£万的法向量成=（x,y,Z）,VAE=（O,2,-3）,£F=（l,-2,0）,
f/?
"-AE=0f2y-3z=0—/、
由｛」鼻得《令y=3,得x=6,z=2,・・・4=6,3,2）,
[nLEF=0[x-2y=0
•・•Aa1•平面E4广，.••平面E4尸的法向量记=（0,0,1）,
27
于所以二面角2反黄的余弦值为余
Xx
【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19.
（1）0.885
（2）详见解析
【分析】
（1）直接利用概率定义公式计算得到答案.
（2）X的取值有600,1000,800,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.
【详解】
305x85%+122x95%+183x90%
（1）
分布列为
X
600
1000
800
P
0.5
0.2
0.3
EX=600x0.5+1000x0.2+800x0.3=740元.
【点睛】
本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
”小d△2应2>/22VI2近
20.
（1）y-=4x
（2）v=_^―X+——或v=———X———’33’33
【分析】
（1）根据题意有—+=X+1,化简得到答案.
（2）设方程为y=h+攵，设a（%,%），6（天,%），计算％=4见，联立方程得到其月=4,
S&f+S。
农=2|刈+|七|,利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
（1）设尸（x,y）,根据题意有J（x-l『+），2=x+l，化简后，得），2=4儿
（2）易知直线A6的斜率存在，且不为零，其方程为），=丘+女，
设A（X],），J,6（七，%），
QA=3AM,即（七一”,片一%）=3（1-玉,0-弘），♦・・%=4乂，
4（%,片），6（4,乃）满足，消去X，得心2-4），+4k=0，）\y2=4,[y=4K
S£\ABM+Saadq=^^QDM+L.BDM~2s△s”=—X2|}?
2|+—X2|}\|—2X—x2|），1|乙乙乙
=闻+冈-2M=4闻+网-2M|=2闻+冈之2j2Ml.冈=2j21yM=4&.
△A6M与△A。
。
的面积之和最小，最小值为4无・
2&2丘个
X+或
33
2[1\
%=_0b时,々=
—~Ya[]，一应》直线/的方程为），=—
△A6M与△A。
。
的面积之和最小值直线/的方程为），=
【点睛】
本题考查了轨迹方程，三角形面枳的最值问题，意在考杳学生的计算能力和综合应用能力.
13
21.
（1）。
=—,或。
=—
（2）证明见解析
22
【分析】
2
（1）求导得到/（0）=1-4,/（0）=2得到切线方程，^4=1—n=4,解得答案.
（2）x-ex-cix-hix-l>x-ex-x-1»设g（x）=xe，-x-lnx-l（x>0）,求导
1
得到g'3=（x+l）e'——,设零点为七,则ga）』=g
（1）=O,得到证明.\x）
【详解】
（1）由1（x）=（x+l”'-4,・•.1（0）=1-4,又"0）=2,
213
，切线方程为y=（1-4）X+2,则Sj=：
_：
=4,解得。
=/,或4=］；
（2）由/（x）—Inx—3=xev-o¥-lnx-1,易知x>0,
当。
VI时，x-ex-ax-hix-l>x-ex-x-hix-1^
令g（x）=xe"_x_lnx_l（x>0）,
（1A
则g'（x）=（x+l）/一一，设g'（x）的零点为飞，\x）
则*一"-=0,即％夕”=1且
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