4.选择排序—堆排序(HeapSort)
堆排序是一种树形选择排序,是对直接选择排序的有效改进。
基本思想:
堆的定义如下:
具有n个元素的序列(k1,k2,...,kn),当且仅当满足
时称之为堆。
由堆的定义可以看出,堆顶元素(即第一个元素)必为最小项(小顶堆)。
若以一维数组存储一个堆,则堆对应一棵完全二叉树,且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值,根结点(堆顶元素)的值是最小(或最大)的。
如:
(a)大顶堆序列:
(96,83,27,38,11,09)
(b) 小顶堆序列:
(12,36,24,85,47,30,53,91)
初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树(一维数组存储二叉树),调整它们的存储序,使之成为一个堆,将堆顶元素输出,得到n个元素中最小(或最大)的元素,这时堆的根节点的数最小(或者最大)。
然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆,输出堆顶元素,得到n个元素中次小(或次大)的元素。
依此类推,直到只有两个节点的堆,并对它们作交换,最后得到有n个节点的有序序列。
称这个过程为堆排序。
因此,实现堆排序需解决两个问题:
1.如何将n个待排序的数建成堆;
2.输出堆顶元素后,怎样调整剩余n-1个元素,使其成为一个新堆。
首先讨论第二个问题:
输出堆顶元素后,对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。
调整小顶堆的方法:
1)设有m个元素的堆,输出堆顶元素后,剩下m-1个元素。
将堆底元素送入堆顶((最后一个元素与堆顶进行交换),堆被破坏,其原因仅是根结点不满足堆的性质。
2)将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。
3)若与左子树交换:
如果左子树堆被破坏,即左子树的根结点不满足堆的性质,则重复方法
(2).
4)若与右子树交换,如果右子树堆被破坏,即右子树的根结点不满足堆的性质。
则重复方法
(2).
5)继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作,直到叶子结点,堆被建成。
称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。
如图:
再讨论对n个元素初始建堆的过程。
建堆方法:
对初始序列建堆的过程,就是一个反复进行筛选的过程。
1)n个结点的完全二叉树,则最后一个结点是第个结点的子树。
2)筛选从第个结点为根的子树开始,该子树成为堆。
3)之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选,使之成为堆,直到根结点。
如图建堆初始过程:
无序序列:
(49,38,65,97,76,13,27,49)
算法的实现:
从算法描述来看,堆排序需要两个过程,一是建立堆,二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。
所以堆排序有两个函数组成。
一是建堆的渗透函数,二是反复调用渗透函数实现排序的函数。
[cpp]viewplaincopyprint?
1.void print(int a[], int n){
2. for(int j= 0; j3. cout<4. }
5. cout<6.}
7.
8./**
9. * 已知H[s…m]除了H[s] 外均满足堆的定义
10. * 调整H[s],使其成为大顶堆.即将对第s个结点为根的子树筛选,
11. *
12. * @param H是待调整的堆数组
13. * @param s是待调整的数组元素的位置
14. * @param length是数组的长度
15. *
16. */
17.void HeapAdjust(int H[],int s, int length)
18.{
19. int tmp = H[s];
20. int child = 2*s+1; //左孩子结点的位置。
(i+1 为当前调整结点的右孩子结点的位置)
21. while (child < length) {
22. if(child+1