圆的知识点最新.docx

圆的知识点最新.docx

《圆的知识点最新.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆的知识点最新.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

圆的知识点最新

第三章圆

一．与圆相关的概念

1.圆：

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径.【圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆心和半径确定了，圆就确定了】

2.①圆弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，等于半圆的弧叫半圆.

②等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.

等弧也可以通过它所对的圆心角、圆周角、弦来进行判断，具体地说：

a.在同圆或等圆中，所对的圆心角相等的两段弧是等弧。

b.在同圆或等圆中，所对的圆周角相等的两段弧是等弧。

c.在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧。

【温馨提示：

半圆是弧，半圆形不是弧；弧的度数等于弧所对的圆心角的度数.】

3.弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

圆中最长的弦是直径.

【温馨提示：

一条弦对着两条弧，对着两个圆心角（选择题），一般让求“弦所对的圆心角的度数”，指的是“弦所对的小于180°的那个圆心角”（填空题）；一条弧对着一条弦，对着一个圆心角】

4.圆心角：

顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.【圆心角∠AOB的取值范围是0°＜∠AOB＜360°】

5.圆周角：

顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.

6.外心：

过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形外接圆的圆心（外心）到三角形三个顶点的距离相等.

【温馨提示：

三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外接圆的圆心;三角形有且只有一个外接圆，但圆有无数个内接三角形】

以下图为例O为外接圆的圆心，即外心.

温馨提示：

锐角三角形外接圆的圆心（外心）在它的内部；直角三角形外接圆的圆心（外心）在它斜边的中点上（R=）；钝角三角形外接圆的圆心（外心）在它的外部.

7.内心：

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离相等.

【温馨提示：

三角形三条角平分线的交点叫内切圆的圆心;三角形有且只有一个内切圆，但圆有无数个外切三角形】

附注：

①等边三角形的内切圆和外接圆

设等边△ABC的边长为a，内切圆的半径为r，则有，外接圆半径R=a

②直角三角形内切圆

设Rt△ABC两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有或，其中四边形IDCB为正方形，边长ID=r.

三角形的外接圆和内切圆比较

名称

确定方法

图形

性质

外心：

三角形外接圆的圆心

三角形三边中垂线的交点.

1.OA=OB=OC（即圆心到三角形三个顶点的距离相等）.

2.外心不一定在三角形的内部.

内心：

三角形内切圆的圆心

三角形三条内角平分线的交点.

1.圆心到三边的距离相等.

2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB.

3.内心在三角形内部.

等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为2:

1（如图1）

直角三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为=（如图2）

等腰三角形的内心和外心虽然不同，但都在底边的垂直平分线上.

三角形外接圆半径的求法

【即三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商】

三角形内切圆半径r的求法

∵

∴

二．圆的确定：

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

过不在同一条直线上的三点作圆的做法：

三．与圆相关的位置关系

1.点与圆的位置关系

（1）点在圆内点在圆内；

（2）点在圆上点在圆上；

（3）点在圆外点在圆外；

2.直线与圆的位置关系

（1）直线与圆相离无交点；

（2）直线与圆相切有一个交点；

（3）直线与圆相交有两个交点；

3．与圆相关的性质和定理

1.圆的对称性：

圆是轴对称图形,对称轴是任意一条经过圆心的直线（或直径所在的直线）,它有无数条对称轴.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.

圆的旋转不变性：

一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.

★★★2.垂径定理

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3.圆心角定理

圆心角定理：

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

4.圆周角定理

（1）圆周角定理：

同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

（2）圆周角定理的推论：

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

推论2：

半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径.

推论3：

若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（3）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

（补充）平行弦定理：

圆的两条平行弦所夹的弧相等.

5.圆内接四边形

（1）性质定理：

性质定理1：

圆内接四边形的对角互补

即：

在⊙中，

∵四边形是内接四边形

∴

性质定理2：

圆内接四边形的一个外角等于它的内对角

（2）判定定理：

（很重要）

如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.

推论：

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.

附注：

圆的内接平行四边形是矩形；圆的外切平行四边形是菱形.

★★★6.切线的判定定理与性质

（1）切线的判定定理：

过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：

过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：

∵且过半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：

切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：

过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：

过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：

①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

7.切线长及切线长定理

（1）切线长的定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

（2）切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：

∵、是的两条切线∴平分

（3）圆外切四边形两组对边的和相等.

10.圆的内正多边形

（1）正多边形的定义：

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

（2）正多边形与圆的有关定理

把圆分成n（n≥3）等份：

①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；

③任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆.

注意：

①依据正多边形与圆的有关定理①、②，只要能将一个圆分成n（n≥3）等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形.

（3）正多边形的其它性质

①正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

②边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆.

（4）正多边形的有关计算

正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.

正n边形的有关计算公式

每个内角；每个外角

正n边形边长，内切圆半径，正n边形周长

正n边形面积

注意：

①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比.这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比

②常用辅助线：

连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

附注：

（1）正三角形

在⊙中△是正三角形（如图1），有关计算在中进行：

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行（如图2），

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行（如图3），

11.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

（1）扇形：

①弧长公式：

；②扇形面积公式：

：

圆心角：

扇形多对应的圆的半径：

扇形弧长：

扇形面积

（2）圆柱：

①圆柱侧面展开图：

=

②圆柱的体积：

（2）圆锥侧面展开图:

①=②圆锥的体积：

一．选择题

1.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是（）

A.圆的外部（包括边界）；B.圆的内部（不包括边界）；C.圆；D.圆的内部（包括边界）

2.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长（）

A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm

3.⊙O的半径为5,圆心O的坐标为（0,0）,点P的坐标为（4,2）,则点P与⊙O的位置关系是（）

A.点P在⊙O内；B.点P的⊙O上；C.点P在⊙O外；D.点P在⊙O上或⊙O外

4.下列命题：

①直径所对的角是900；②直角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④对同一弦的两个圆周角相等.正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个

5.下列语句中，正确的是（）

①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内任一定点可以作无数条直径；⑤两个半圆是等弧；⑥优弧比劣弧长；⑦面积相等的圆是等圆；⑧菱形的四个顶点在同一个圆上；⑨能够互相重合的弧是等弧；⑩直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线，其中正确的是（）A.①⑦B.③④⑦C.①②③D.①③⑤⑦

6.下列语句中，不正确的是（）

A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形

B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合

D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

7.如果两条弦相等，那么（）

A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等

C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对

8.下列语句中，正确的是（）

A.如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等

B.如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等

C.如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角相等

D.如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等

9.下列命题中错误的命题有（）

（1）弦的垂直平分线经过圆心；

（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）垂直于弦的直径平分弦；（4）圆的对称轴是直径．A．1个B．2个C．3个D．4个

10.下列说法正确的是（）

A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角

C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

11．下列说法错误的是（）

A．等弧所对圆周角相等B．同弧所对圆周角相等

C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D．同圆中，等弦所对的圆周角相等

12.下列命题不正确的是（）

A.三点确定一个圆B.三角形的外接圆有且只有一个

C.经过一点有无数个圆D.经过两点有无数个圆

13.三角形的外心是（）

A.三条中线的交点B.三条边