基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析.docx
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基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析
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基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析
学院:
航空宇航学院
专业:
工程力学
指导教师:
姓名:
学号:
;..
.
1.问题描述
考虑端点受集中力F作用的矩形截面的悬臂梁,如图1所示,长度l=10m,
高度h=1m,宽度b=1m。
材料为理想弹塑性钢材(如图2),并遵守Mises屈服
准则,屈服强度为Y380MPa,弹性模量E200GPa,泊松比0.3。
图1受集中力作用的悬臂梁图2钢材的应力-应变行为
首先通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁的弹塑性弯曲,得到悬臂梁的弹塑
性弯曲变形的规律和塑性区形状,确定弹性极限载荷Fe和塑性极限载荷FY;其
次利用ABAQUS模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程,得出弹性极限载荷Fe、塑性极限载荷FY、塑性区形状和载荷-位移曲线,与理论分析的结果进行对比,验证有限元分析的准确性。
2.理论分析
2.1梁的弹塑性纯弯曲
对于矩形截面Euler-Bernoulli梁,受弯矩M作用,如图3所示,根据平截
面假定,有
图3矩形截面梁受弯矩M的作用
y
(1)
;..
.
其中为弯曲后梁轴的曲率,规定梁的挠度w以与y同向为正,则在小变形
情况有
-d2w
(2)
dx2
当弯矩M由零逐渐增大时,起初整个截面都处于弹性状态,这是
Hooke定
律给出
y
E
Ey
(3)
再由平衡方程,可得到
M
EI
(4)
其中,
I
1
3
是截面的惯性矩。
将
M/EI带入()式,可知
bh
3
12
My/I
显然,最外层纤维的应力值最大。
当M增大时,最外层纤维首先达到屈服,
即
yh/2
M/1bh2
Y
(5)
6
这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩,
即为弹性极限弯
矩,它等于
Me1
Ybh2
(6)
6
对应的曲率可由式(4)求得
eMe/EI2Y/Eh
(7)
当M
Me时,梁的外层纤维的应变继续增大,但应力值保持为Y不再增加,
塑性区将逐渐向内扩大。
弹塑性的交界面距中性面为ye
h(0
1)。
2
在弹性区:
0y
y
Y;
ye,
ye
h
在塑性区:
yey2,
Y
在弹塑性区的交界处,Y,因而E(h)Y,由此可求出此时的曲率
2
和弯矩分别为
;..
.
2Y
1
e/
(8)
Eh
M
Me
3
2
(9)
2
从这两个式子消去
,可得M
Me时的弯矩-曲率关系为
M
1
2
3
e
(10)
Me
2
或
1
(12)
M
e
3
2
Me
当M继续增加使得
0时,截面全部进入塑性状态。
这时M
3Me,而
2
。
当梁的曲率无限增大时,弯矩趋向一极限值,此极限值即为塑性极限弯
矩。
可得矩形截面梁的塑性极限弯矩为
Mp
1
Ybh2
(13)
4
采用以下量纲为一的量:
mM/Me,/e
(14)
矩形截面梁的弯矩-曲率关系可以写成
m,m
1
(15)
1/
3
2m,1m
1.5
2.2梁在横向载荷作用下的弹塑性弯曲
考虑端点受集中力F作用的矩形截面悬臂梁,若l
h(本例中l
10满足
h
此要求),则梁中的剪应力可以忽略,平截面假定近似成立,于是就可以利用弹
塑性纯弯曲的分析结果来研究横向载荷作用下的弹塑性弯曲问题。
本例中,显然根部弯矩最大,因而根部截面的最外层纤维(图1中的A点
与B点)应力的绝对值最大。
当F增加时,A、B点将进入塑性,这时的载荷是梁的弹性极限载荷
FeMe/lYbh2/6l
(16)
;..
.
__
当FFe时,弯矩仍沿梁轴方向呈线性分布。
设在xx处有F(lx)Me,
__
则xl(Me/F)。
在xx范围内的各截面,都有部分区域进入塑性,且由式(9)
可知各截面上弹塑性区域的交界线决定于
(32
M
)21
[3
2F(lx)]
12
(17)
Me
Fel
其中已用到MFlx。
式(17)证明,弹塑性区域的交界线是两段抛
物线。
当F
F
3F
bh2
l时,梁的根部(
x=0
)处的弯矩达到塑性极限弯
Y
2e
Y
/4
矩,即M
FYl
Mp
3Me,这时梁内塑性区如图
4
中的阴影部分所示,且塑性
2
区域分界线连接成一条抛物线,梁的根部形成塑性铰。
这时,由于根部的曲率可
以任意增长,悬臂梁丧失了进一步承载的能力。
因此,
FYMp/l即为悬臂梁的
极限载荷,悬臂梁不能承受超过FY的载荷。
图4受集中力作用的悬臂梁
在小挠度情形下,利用y''的关系可以求得梁的挠度。
具体来说,在悬臂
梁受端部集中载荷的问题中,以MFlx带入式(15)可得
;..
.
m
p(1
),1
1
1
y''
p
(18)
1
1
e
e
1/
3
2p3p,0
3
2m
1
p
其中,m
M/Me,f
F/Fe
,
x/l,y''
d2y2,利用边界条件y(0)y'(0)0
dx
和在1-
1处的关于y和y'
的连续性条件,可对式(
18)积分两次,得到梁端
p
挠度y(l)的表达式
e[5(3f)32p]/f2
(19)
其中e是f=1(即F
Fe)时的
,可按材料力学方法求出为
e
el2/3
(20)
当f
3(即F
FY
3Fe)时,式(19)给出相应的梁端挠度为
2
2
20
(21)
p
e
9
代入题目所给数据可得到
Fe
Ybh2
6.33106N
6l
3
6
FY
2Fe
9.50
10N
Mel2
2Yl
2
e
3EI
12.7mm
3Eh
20
28.2mm
p
e
9
3.有限元分析
3.1有限元模型
此问题属于平面应力问题,采用二维有限元模型,选取平面图形作为分析模
型,其长度l=10m,高度h=1m。
3.2材料属性定义
;..
.
圆筒材料为钢材,弹性模量200Gpa,屈服强度380Mpa,泊松比0.3,截面
属性选用实体、匀质,采用理想弹塑性本构关系。
3.3分析步的定义
由于是非线性分析,Step中设置分析过程和输出要求选择静态分析,最小分
析步取0.05,最大分析步取0.1,输出要求采用默认输出。
3.4载荷施加和边界条件
布置载荷边界条件和位移边界条件,将模型左端固支,右上端顶点施加集中
力载荷。
3.5网格划分
按照四节点四边形平面应力单元CPS4I(如图5)划分网格,定义不同大小
位移载荷进行分析计算,分析采用Mises准则。
图5悬臂梁的有限元网格
3.6结果及分析
3.6.1弹性极限载荷和塑性载荷压力的确定
当取F6.76106N时,等效塑性应变分布如图6所示,结构的等效塑性应
变均为0,可以看出系统处于弹性状态并未产生塑性应变,此时悬臂梁处于弹性
阶段。
;..
.
图6F6.76106N等效塑性应变云图
当取F
6.77106N时,等效塑性应变分布如图7所示,最大等效塑性应变
均为3.811e-6,最小等效塑性应变为0,可以看出系统部分处于弹性状态,部分
处于塑性阶段,此时结构处于弹塑性阶段。
图7F6.77106N等效塑性应变云图
当取F
9.84106N时,应力分布如图8所示,可以看出根部还没有形成塑
性铰,即根部还没有完全进入塑性,也就是说系统部分处于弹性状态,部分处于
塑性阶段,此时结构仍处于弹塑性阶段。
;..
.
图8
F9.84
106N应力云图
当取F
9.85106N时,应力分布如图
9所示,可以看出根部形成塑性铰,
悬臂梁不能再承受超过F9.85
106N的载荷。
图9F9.85106N应力云图
综上分析可知,有限元模拟所得的弹性极限载荷在6.76
106~6.77106N之
间,塑性极限载荷在9.84106~9.85106N之间。
与理论解相比,有限元所得弹
6.77-6.33
性极限载荷的误差大约为6.9%,有限元所得塑性极限压力的误差大
约为9.85-9.50
6.33
3.6%,与理论解相比,误差较小。
不仅如此,图
9表明,弹塑
9.50
性区域的交界线是两段抛物线,与塑性力学解式(17)相同。
3.6.2悬臂梁弹塑性弯曲过程分析
对于这种悬臂梁在端部受集中力的问题,在ABAQUS中施加位移载荷模拟,
取位移30mm,可以得到载荷作用点的载荷-位移曲线,如图10所示,
;..
.
图10有限元所得的载荷-位移曲线
将有限元所得的载荷-位移曲线与式(19)相比可知,有限元中悬臂梁的变形与理论分析结果基本一致,刚开始都是弹性阶段,随着载荷增大,进入弹塑性阶段,直到载荷增大到塑性极限载荷,根部形成塑性铰,悬臂梁丧失进一步承载的能力。
由上图也可看出,Fe大约为6.77106N,FY大约为9.85106N,同时可以
得到e大约为13.6mm,p大约为30.0mm,与理论解相比,弹性极限位移误差
大约为13.612.7
7.1%,塑性极限位移误差大约为
30.0-28.2
6.4%,位移误
12.7
28.2
差相对于载荷误差较大。
原因可能有:
一是随着位移增加,可能会进入弹塑性大挠度情形;二是模型所采用的单元不独有弯曲应力,即不满足平截面假设。
4.总结
首先,本文通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁受集中力作用的弹塑性弯
曲,得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的一般规律和塑性区形状,确定了弹性极限载
荷Fe和塑性极限载荷FY;其次,利用ABAQUS模拟了该悬臂梁受集中载荷作用
的变形过程,得出弹性极限载荷Fe、塑性极限载荷FY、塑性区形状和载荷-位移
曲线,与理论分析的结果进行对比,结果相差不大,验证了有限元分析悬臂梁弹
塑性弯曲的准确性。
;..