浙江专版高中数学第2章概率252离散型随机变量的方差学案新人教A版选修2 3数学教案.docx
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浙江专版高中数学第2章概率252离散型随机变量的方差学案新人教A版选修23数学教案
2．5.2 离散型随机变量的方差
预习课本P64～67，思考并完成以下问题
1．离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？
2．方差具有哪些性质？
3．两点分布与二项分布的方差分别是什么？
1．离散型随机变量的方差
（1）设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称D（X）＝
（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，其算术平方根
为随机变量X的标准差．
（2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
2．几个常见的结论
（1）D（aX＋b）＝a2D（X）．
（2）若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）．
（3）若X～B（n，p），则D（X）＝np（1－p）．
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．（ ）
（2）若a是常数，则D（a）＝0.（ ）
（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）√
2．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5,则E（X）和D（X）分别为（ ）
A．0.5和0.25 B．0.5和0.75
C．1和0.25D．1和0.75
答案：
A
3．D（ξ－D（ξ））的值为（ ）
A．无法求B．0
C．D（ξ）D．2D（ξ）
答案：
C
4．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D（X）等于________．
答案：
0.196
求离散型随机变量的方差
题点一：
用定义求离散型随机变量的方差
1．已知随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.15
0.25
0.25
0.15
0.1
则D（X）＝________.
解析：
因为E（X）＝0.1×0＋0.15×1＋0.25×2＋0.25×3＋0.15×4＋0.1×5＝2.5，
所以D（X）＝（0－2.5）2×0.1＋（1－2.5）2×0.15＋（2－2.5）2×0.25＋（3－2.5）2×0.25＋（4－2.5）2×0.15＋（5－2.5）2×0.1＝2.05.
答案：
2.05
题点二：
两点分布的方差
2．某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数ξ的方差为________．
解析：
依题意知：
ξ服从两点分布，
所以D（ξ）＝0.8×（1－0.8）＝0.16.
答案：
0.16
题点三：
二项分布的方差
3．一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是
.
（1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；
（2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
解：
（1）易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B
，
∴E（ξ）＝6×
＝2，D（ξ）＝6×
×
＝
.
（2）由已知η＝30ξ，
∴E（η）＝30E（ξ）＝60，D（η）＝900D（ξ）＝1200.
求离散型随机变量X的方差的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；
（2）求X取各个值的概率，写出分布列；
（3）根据分布列，由期望的定义求出E（X）；
（4）根据公式计算方差．
离散型随机变量方差的性质
[典例] 已知随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
试求D（X）和D（2X－1）．
[解] E（X）＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.
∴D（X）＝（0－1.8）2×0.2＋（1－1.8）2×0.2＋（2－1.8）2×0.3＋（3－1.8）2×0.2＋（4－1.8）2×0.1＝1.56.
利用方差的性质D（aX＋b）＝a2D（X）．
∵D（X）＝1.56,∴D（2X－1）＝4D（X）＝4×1.56＝6.24.
求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解．
[活学活用]
已知随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
x
P
p
若E（ξ）＝
.
（1）求D（ξ）的值；
（2）若η＝3ξ－2，求
的值．
解：
由分布列的性质，得
＋
＋p＝1，解得p＝
，
∵E（ξ）＝0×
＋1×
＋
x＝
，∴x＝2.
（1）D（ξ）＝
2×
＋
2×
＋
2×
＝
＝
.
（2）∵η＝3ξ－2，
∴D（η）＝D（3ξ－2）＝9D（ξ）＝5，∴
＝
.
方差的实际问题
[典例] 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中的10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
（1）求ξ，η的分布列；
（2）求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
[解]
（1）依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，
∴乙射中7环的概率为1－（0.3＋0.3＋0.2）＝0.2.
∴ξ，η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
（2）由
（1）可得
E（ξ）＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2（环）；
E（η）＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7（环）；
D（ξ）＝（10－9.2）2×0.5＋（9－9.2）2×0.3＋（8－9.2）2×0.1＋（7－9.2）2×0.1＝0.96；
D（η）＝（10－8.7）2×0.3＋（9－8.7）2×0.3＋（8－8.7）2×0.2＋（7－8.7）2×0.2＝1.21.
由于E（ξ）>E（η），说明甲平均射中的环数比乙高；
又因为D（ξ）所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值：
离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
（2）在均值相等的情况下计算方差：
方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
（3）下结论：
依据均值和方差的几何意义做出结论．
[活学活用]
甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区：
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
解：
甲保护区违规次数X的数学期望和方差为
E（X）＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D（X）＝（0－1.3）2×0.3＋（1－1.3）2×0.3＋（2－1.3）2×0.2＋（3－1.3）2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为：
E（Y）＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D（Y）＝（0－1.3）2×0.1＋（1－1.3）2×0.5＋（2－1.3）2×0.4＝0.41.
因为E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y），所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．
层级一 学业水平达标
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计（ ）
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析：
选B ∵D（X甲）>D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
2．若X～B（n，p），且E（X）＝6，D（X）＝3，则P（X＝1）的值为（ ）
A．3·2－2 B．2－4
C．3·2－10D．2－8
解析：
选C E（X）＝np＝6，D（X）＝np（1－p）＝3，
∴p＝
，n＝12，则P（X＝1）＝C
×
×
11＝3·2－10.
3．设随机变量X的概率分布列为P（X＝k）＝pk·（1－p）1－k（k＝0,1），则E（X），D（X）的值分别是（ ）
A．0和1B．p和p2
C．p和1－pD．p和（1－p）p
解析：
选D 由X的分布列知，P（X＝0）＝1－p，P（X＝1）＝p，故E（X）＝0×（1－p）＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D（X）＝p（1－p）．
4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B（10,0.6），则E（η），D（η）分别是（ ）
A．6和2.4B．2和2.4
C．2和5.6D．6和5.6
解析：
选B ∵X～B（10,0.6），∴E（X）＝10×0.6＝6，D（X）＝10×0.6×（1－0.6）＝2.4，
∴E（η）＝8－E（X）＝2，D（η）＝（－1）2D（X）＝2.4.
5．设10≤x1，
，
，
，
的概率也均为0.2，若记D（ξ1），D（ξ2）分别为ξ1，ξ2的方差，则（ ）
A．D（ξ1）>D（ξ2）
B．D（ξ1）＝D（ξ2）
C．D（ξ1）D．D（ξ1）与D（ξ2）的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
解析：
选A 由题意可知E（ξ1）＝E（ξ2），又由题意可知，ξ1的波动性较大，从而有D（ξ1）>D（ξ2）．
6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
解析：
事件在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D（ξ）＝p（1－p），所以p（1－p）＝0.25，解得p＝0.5.
答案：
0.5
7已知随机变量X服从二项分布B（n，p）．若E（X）＝30，D（X）＝20，则p＝________.
解析：
由E（X）＝30，D（X）＝20，可得
解得p＝
.
答案：
8．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
若E（X）＝0，D（X）＝1，则a＝________，b＝________.
解析
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