《几何学》辅导纲要.docx
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《几何学》辅导纲要
《几何学》辅导纲要
第一章公理化方法与非欧几何
主要内容：
1几何学公理化方法的构造和原理及其作用、意义
2.希尔伯特公理体系的结构
3•公理系统的相容性、独立性和完备性
4.罗氏几何和黎曼几何的数学模型
重点掌握：
1.公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题、完备性问题。
2.公理法的结构是原始概念的列举；定义的叙述；公理的叙述；定理的叙述和证明.
3.三角形内角和等于180度与欧氏平行公理等价。
4.欧氏几何与非欧几何的本质区别为平行公设不同。
5.公理系统的完备性：
如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。
6.几何公理：
公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系
的少数思想规定。
在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。
因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这
就是公理。
7.公理系统的相容性：
一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。
8.欧几里得的第五公设：
在一平面上如果直线I与另外两条直线a,b相交，有一侧的两个同侧内角，的
和小于两直角，则直线a与b在同侧内角的和小于两直角的那一侧相交。
9．公理法的基本思想：
若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。
全部元素的集合构成了这种几何的空间。
在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。
10．公理系统的独立性：
如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。
如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。
第二章射影变换群与几何学
主要内容：
1．点变换的概念
2．正交变换的不变性质与不变量
3．相似变换的不变性质与不变量
4．仿射变换的不变性质与不变量
5．射影变换的不变性质与不变量
6．非齐次坐标
7．利用不变量对二次曲线进行分类
8．利用不变量将二次曲线的一般方程化简为标准型
重点掌握：
1．仿射变换把平行线变成平行线，把正三角形变成三角形，把矩形变成平行四边形。
2•设共线三点A0,2,B（2,0）,C（1,1），则（ACB）2。
4．共点的直线经仿射变换后变成共点的直线。
5．不共线的点经仿射变换后变成不共线的点。
6•在仿射对应下，单比不变。
7•设点AB,C共线，且在仿射变换下分别变成A',B',C'，则A',B',C'三点共线
8•正方形在仿射变换下变成平行四边形。
9•对正方形，对边平行、对角线互相平分是仿射性质。
10•线段的中点、交比、点偶的调和共轭性、两平行线段的比和对称中心都属于仿射性质。
11•求一个仿射变换，它把抛物线y22x变成自身，把原点（0,0）变成点（2,2）
由它把（0,0）变成（2,2）可知aa22
%y2
a22y2
2
a
ai1
2
2
ya2i■
2
应满足y'22x'，
比较方程两边的系数得
2
x'x2y2
y'y2
它依赖于参数
12.求出将点（2,3）变成点（0,1）的平移变换，在这个平移变换下，抛物线
y2x8y180变成什么曲线?
设所求的平移变换为
x'xay'yb
将已知对应点的坐标代入上式得
02a
13b
于是a
2,
b4
所以所求的平移变换为
x'
x2即xx'2
y'
y4yy'4
将此变换用于所给的抛物线上
2
（y'4）（x'2）8（y'4）180
即y'2x'0
13•求出将点（3,1）变成点（1,3）的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线
2
yx
8y180上。
设所求的旋转变换为
x'
xcos
ysin
y'
xsin
ycos
则
2
于是所求的旋转变换为
x'
y即
xy'
y'x
yx'
将此变换用于所给的抛物线得
2
x'8x'y'180。
14•求仿射变换
x'
7x
y1
的二重直线
y'
4x
2y4
设所求的不变直线为
AxByC0（A,B不同时为0）
即在所给的变换下，AxByC0对应Ax'By'C0
因为
Ax'By'CA（7xy1）B（4x2y4）C
（7A4B）x（A2B）y（A4BC）
7A4BA
（1）
所以
A2BB
（2）
A4BCC
（3）
消去AB,C得
740
1200
141
展开化简得
（1）（7）
（2）4
（1）0
解得1,3,6
由于当1时，AB0,因此不对应不变直线，分别将3,6代入
（1）,
（2）,
（3）得
AB,C3B和A4B,C0
2
所以不变直线为2x2y30和4xy0
15•若存在，求下列各点的非齐次坐标
（1）（0,5,6）,
（2）（1,8,0）
⑴.存在，设（^xx）（0,5,6）,则这个点的非齐次坐标为
x1x25
（x,y）（」,」）（0,-）。
X3X36
（2）.不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。
16.证明：
使向量内积保持不变的仿射变换是正交变换。
设在使二向量内积不变的仿射变换下，点A变成点A，点B变成点B，贝U
2——————2
d2（A,B）ABABABABABABd2（A,B）
所以d（A,B）d（A,B）（d表示两点间的距离）。
由于这个变换保持两点间的距离不变，因此它是正交变换。
17.线坐标1,1,1所表示的直线方程
为捲X2X30或xy10。
18.在仿射变换下，
菱形的对边平行、对角线互相平分和对边相等的性质在仿射变换下保持不变；邻边
相等、对角线互相垂直和对角线平分菱形对角的性质都改变了
19•相交于影消线的二直线必射影成两平行线。
设二直线li和I2交于P点，P点在影消线上，11和12经射影对应，对应直线为ll和I2，则P点对应无穷远点。
由于射影对应保持结合性不变，所以P的对应点是li和12的交点，即无穷远点,
也就是l1//l2
20.将二次曲线
9x2
30xy
25y
212x20y40化简成标准型
A9B
15C25D6E
10F4
1）计算不变量
AB
2
丨1
AC34,
I2
ACB0
BC
ABD
9
15
6
13
BCE
15
25
10
0
DEF
6
10
4
2）判别类型
120说明曲线为抛物线型
130说明曲线为退化的抛物线
故曲线为两重合直线
标准方程为y20
证明：
如图所示
于是对有向线段AT,BT,BR,CR,CS,AS
由塞瓦定理，可得AR,BS,CT交于一点
如图所示
在ADB中，巳C,F分别为三边AD,DB,BA上的点，（或其延长线上的点），由梅内劳
斯定理有
AEDCBF
DEBCAF
AE1BF
1
DE2AF
AE2AF
DEBF
表示，求
（1）21；
（2）
的象为原点。
所求变换的公式为
所以
此处h,k是参数。
x'y'1（x'y'1）
y
2
y1
2
由此得出所求的仿射变换为
xx'一
2
xy'2
第三章向量方法在几何中的应用
主要内容：
1•向量的概念及其运算对于学习过向量的学员来讲并不陌生，但是利用向量来解决初等几何问题，如：
共点问题、共面问题、求线段的长度问题和直线间的夹角问题等等，是以往我们没涉及到的方法，他给我们提供了另一种解决初等几何问题的新思路。
2•向量的概念、向量的运算以及向量的线性相关和线性无关。
3.熟悉向量的运算，包括向量的加减法、向量数乘运算、向量的内积、外积，以及向量的线性相关和线性无关的定义及几何意义。
4.熟悉如何用向量扌田述几何冋题。
重点掌握：
y3
yrbra
i.设a与b是两个非零向量，若a与b线性相关，则a
2.已知向量ax,x2,x3,by1,y2,y3，则a与b之间的内积
3.空间中三个向量线性相关当且仅当它们共面，空间中的四个向量一定线性相关。
4.如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是平行或重合，夹角为0或
5.设a与b是两个非零向量，若
6.平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线;平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行；平面上的三个向量一定线性相关。
7.
若a与b是两个非零向量，则abab。
a
J22232届
b
J3242025
r
r
a
b132430
5，
夹角的余弦为
rr
r.hab5
1
cos'a,b?
|—；=—
abV145
10•试用向量法证明：
半圆的圆周角是直角
设O为半圆的圆心，AB为直径，C为半圆上任意一点，见图，
uuuruuuruuurr
要证明/ACB-，取OAa，贝UOBa，设OCc，由于OA,OB,OC都是圆2
的半径，所以ac，
11•试用向量法证明：
等腰三角形的中线垂直于底边。
uuuruuurruuurruuurir
设厶ABC为等腰三角形，记ABa,ACb，则BCba，并设中线ADm，
根据已知条件
所以
urrr
mba0，即ADBC。
12.试用向量法证明：
平行四边形是菱形的充分必要条件是其对角线互相垂直。
设a,b表示平行四边形的两个邻边，见图，
即ab当且仅当ab与ab垂直
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