人教版第一轮复习理科数学教师用书配套习题课时提升作业三十 52等差数列.docx

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人教版第一轮复习理科数学教师用书配套习题课时提升作业三十52等差数列

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课时提升作业（三十）

等差数列

（25分钟　50分）

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.在等差数列{an}中,2a4+a7=3,则数列{an}的前9项和等于　（　　）

A.3B.6C.9D.12

【解析】选C.设等差数列{an}公差为d,

因为2a4+a7=3,

所以2（a1+3d）+a1+6d=3,

整理得a1+4d=1,即a5=1,

所以S9==9a5=9.故选C.

【加固训练】（2013·安徽高考）设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=　（　　）

A.-6B.-4C.-2D.2

【解析】选A.由S8=4a3⇒8a1+d=4×（a1+2d）;由a7=-2⇒a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.

2.（2015·合肥模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn,并满足:

an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7=　（　　）

A.7B.12C.14D.21

【解析】选C.由an+2=2an+1-an,得2an+1=an+2+an,故数列{an}为等差数列.又a5=4-a3,所以2a4=a3+a5=4,所以a4=2,所以S7===7a4=14.故选C.

3.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an（n∈N*）.若b3=-2,b10=12,则a8=　（　　）

A.0B.3C.8D.11

【解析】选B.因为{bn}是等差数列,且b3=-2,b10=12,

故公差d==2.

于是b1=-6,且bn=2n-8（n∈N*）,

即an+1-an=2n-8.

所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+（-6）+（-4）+（-2）+0+2+4+6=3.

4.（2015·芜湖模拟）在等差数列{an}中,a1=1,a6=2a3+1,对任意的n,设Sn=a1-a2+a3-a4+…+（-1）n-1an,则满足S2k+1>35的最小正整数k的值等于　（　　）

A.16B.17C.18D.19

【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a1=1,a6=2a3+1,所以a1=1,d=2,an=2n-1,所以Sn=1-3+5-7+…+（-1）n-1·（2n-1）,所以S2k+1=S2k+（-1）2k+1-1·a2k+1=-2k+（-1）2k·a2k+1=-2k+[2·（2k+1）-1]=-2k+4k+1=2k+1>35,所以2k>34,所以k>17,所以最小正整数k的值为18.

【加固训练】已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,Sn是数列{an}的前n项和,则　（　　）

A.S5>S6B.S5

【解题提示】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.

【解析】选D.因为d<0,|a3|=|a9|,所以a3>0,a9<0,且a3+a9=0,所以a6=0,a5>0,a7<0,所以S5=S6.

5.（2015·西安模拟）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:

把100个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小的1份为　（　　）

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d（其中d>0）;

则（a-2d）+（a-d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100,所以a=20;

由（a+a+d+a+2d）=a-2d+a-d,得3a+3d=7（2a-3d）;所以24d=11a,所以d=;

所以,最小的1份为a-2d=20-=.

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.在等差数列{an}中,若共有n项,且前四项之和为21,后四项之和为67,前n项和Sn=286,则n=________.

【解析】依题意知a1+a2+a3+a4=21,

an+an-1+an-2+an-3=67.

由等差数列的性质知a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,

所以4（a1+an）=88,

所以a1+an=22.

又Sn=,即286=,所以n=26.

答案:

26

7.（2015·宝鸡模拟）已知数列{an}满足a1=1,an>0,-=1（n∈N*）,那么使an<5成立的n的最大值为________.

【解析】因为-=1,

所以数列{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,

所以=1+（n-1）=n.

又an>0,所以an=.

因为an<5,所以<5,

即n<25,故n的最大值为24.

答案:

24

【方法技巧】求等差数列前n项和的最值的常用方法

（1）利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得Sn的最值.

（2）利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数）为二次函数,根据二次函数的性质求最值.

（3）注意区别等差数列前n项和Sn的最值和Sn的符号.

【加固训练】在数列{an}中,a1=-18,an+1=an+3（n∈N*）,则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________.

【解析】由an+1=an+3知{an}是等差数列,首项为-18,公差为3,所以an=-21+3n.

当n=7时,an=0,

当n≤6时,an<0,

所以当n=6或7时,Sn有最小值-63.

答案:

-63

8.若数列{an}满足-=d（n∈N*,d为常数）,则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列{}为“调和数列”,且x1+x2+…+x20=200,则

（1）x5+x16=________,

（2）x3x18的最大值是______.

【解析】因为数列{}为“调和数列”,所以xn+1-xn=d（n∈N*,d为常数）,即数列{xn}为等差数列,由x1+x2+…+x20=200得=200,即x1+x20=20,

（1）由等差数列性质知x5+x16=x1+x20=20.

（2）由于x3+x18=x1+x20=20,

易知x3,x18都为正数且相等时,x3x18取得最大值,所以x3x18≤=100,即x3x18的最大值为100.

答案:

（1）20　

（2）100

三、解答题

9.（10分）（2015·九江模拟）已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数,且a1=-2,a2=2,S3=6.

（1）求Sn.

（2）证明:

数列{an}是等差数列.

【解析】

（1）设Sn=An2+Bn+C（A≠0）,

则

解得A=2,B=-4,C=0,故Sn=2n2-4n.

（2）当n=1时,a1=S1=-2;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2（n-1）2-4（n-1）]=4n-6,a1=-2也满足.

故an=4n-6（n∈N*）.

因为an+1-an=4,

所以数列{an}成等差数列.

【加固训练】1.已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.

（1）求{an}的通项公式.

（2）设cn=,bn=,求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn的值.

【解析】

（1）设{an}的公差为d,

由已知条件

解得a1=3,d=-2.

所以an=a1+（n-1）d=-2n+5.

（2）因为an=-2n+5,

所以cn===n,

所以bn==2n,

所以T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn=log22+log222+log223+…+log22n=1+2+3+…+n=.

2.（2015·桂林模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:

a2+a4=14,S7=70.

（1）求数列{an}的通项公式.

（2）设bn=,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值.

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d,

则有

即解得

所以an=3n-2.

（2）因为Sn=[1+（3n-2）]=,

所以bn==3n+-1

≥2-1=23,

当且仅当3n=,即n=4时取等号,

故数列{bn}的最小项是第4项,该项的值为23.

3.（2014·郑州模拟）数列{an}满足a1=,an+1=（n∈N*）.

（1）求证:

为等差数列,并求出{an}的通项公式.

（2）设bn=-1,数列{bn}的前n项和为Bn,对任意n≥2都有B3n-Bn>成立,求正整数m的最大值.

【解析】

（1）an+1=,===-1+,所以-=-1,所以为首项为-2,公差为-1的等差数列,所以=-2+（n-1）×（-1）=-（n+1）,所以an=.

（2）bn=-1=,令Cn=B3n-Bn=++…+,

所以Cn+1-Cn=++…+--…-

=-+++

=-+>-=0,

所以Cn+1-Cn>0,所以{Cn}为单调递增数列,

所以（B3n-Bn）min=B6-B2=+++=,所以<,

所以m<19,又m∈N*,所以m的最大值为18.

（20分钟　40分）

1.（5分）（2015·六安模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn,若S15为一确定常数,下列各式也为确定常数的是　（　　）

A.a2+a13B.a2a13

C.a1+a8+a15D.a1a8a15

【解析】选C.等差数列中,S15=15a8=15（a1+7d）,

a2+a13=2a1+13d,a2a13=（a1+d）（a1+12d）,a1+a8+a15=3a1+21d=3（a1+7d）=,

a1a8a15=a1（a1+7d）（a1+14d）,其中只有a1+a8+a15=为定值.故选C.

【加固训练】等差数列{an}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为　（　　）

A.{1}B.

C.D.

【解析】选B.等差数列{an}中,设=是与n无关的常数m,所以a1+（n-1）d=ma1+m（2n-1）d对任意n恒成立,即（2md-d）n+（ma1-md+d-a1）=0对任意n恒成立,故由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二个方程可得m=1（因为a1≠0）;若m=,代入第二个方程得d=a1.

2.（5分）下列命题中正确的个数是　（　　）

（1）若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列

（2）若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列

（3）若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列

（4）若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解析】选B.对于

（1）取a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,

（1）错.

对于

（2）a=b=c⇒2a=2b=2c,

（2）正确;

对于（3）因为a,b,c成等差数列,所以

a+c=2b,所以（ka+2）+（kc+2）=k（a+c）+4

=2（kb+2）,（3）正确;

对于（4）,a=b=c≠0⇒==,（4）正确,综上选B.

3.（5分）等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+…+a7,则k=________.

【解析】由a1=0,公差d≠0,得到an=（n-1）d,

则ak=a1+a2+a3+…+a7=（a1+a7）+（a2+a6）+（a