由定义可知，对于从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素组成的排列，任意两个不同的排列可分为两种情形：
（1）两个排列中至少有一个元素不相同。
（2）两个排列中的元素相同，但排列的顺序不相同。
只有元素相同且元素排列的顺序也相同的两个排列才是相同的排列。
二、排列数公式
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号
表示。
求排列数
可以这样考虑：
假定有排好顺序的m个空位，从n个不同的元素a1、a2、a3…an中任取m个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就对应一个排列。
因此，所有不同的填法的种数就是排列数
。
填空可分为m个步骤：
第一步，从n个元素中任选一个元素填入第1位，有n种填法。
第二步，从n-1个元素中任选一个元素填入第2位，有n-1种填法。
第三步，从n-2个元素中任选一个元素填入第3位，有n-2种填法。
依次类推，当前面的m-1个空位都填上后，只剩下n-m+1个元素，从中任选一个元素填入第m位，有n-m+1种填法。
根据分步计数原理，全部填满m个空位共有
种填法。
由此可得排列数公式：
m=1、2、3…n
排列数公式的特点是：
等号右边第一个因数是n，后面的每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数为n-m+1，共有m个因数相乘。
例如：
很明显，全排列种数公式为
这就是说，全排列数等于正整数1、2、3…n的连乘积，正整数1、2、3…n的连乘积叫做n的阶乘，记作n！
，即
例1计算下列各题：
（1）
（2）
例2有5本不同的书，发给3名同学，每人1本，共有多少种不同的分法？
解：
分书方法的种数就是从5本书中任取3本书的排列数，即
种
例3某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种信号？
解：
用1面旗表示的信号有
种，用2面旗表示的信号有
种，用3面旗表示的信号有
种。
根据分类计数原理，所求信号种数是
+
+
=3+3×2+3×2×1=15种
三、可重复排列问题举例
5个人的生日的不同情形有多少种？
解：
设一年有365天，5个人中第1个人的生日有365种可能，第2个人的生日有365种可能，依次类推，第5个人的生日还是有365种可能。
根据分步计数原理，5个人的生日的不同情形有
365×365×365×365×365=3655种
一般地，从n个不同的元素中任取可以重复的m个元素的排列数计算公式为
N=nm
§4—3组合
导入：
某航空公司在北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线上，同类型飞机有多少种不同的飞机票价？
我们知道，同类型飞机票价只与起点站和终点站之间的距离有关，如从北京到上海和从上海到北京，飞机票价是相同的，也就是与起点和终点的顺序没有关系。
所以，在北京、上海、广州3个民航站之间只有3种不同的票价：
北京—上海、北京—广州、上海—广州。
一、组合与组合数的概念
上面这个问题相当于从3个元素中每次取出2个元素，不管怎样的顺序而组成一组，求一共有多少个不同的组。
一般地，从n个不同的元素中取中m（m≤n）个元素，不考虑顺序地组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号
表示。
下面我们从研究排列数
与组合数
的关系入手，找出组合数
的计算公式。
从4个不同元素a、b、c、d中取出2个元素的排列与组合的关系如下表所示：
组合
排列
ab
abbc
ac
acca
ad
adda
bc
bccb
bd
bddb
cd
cddc
可以看出，对于每一个组合都有2个不同的排列。
因此，求从4个不同元素中取出2个元素的排列数
，可以按以下两步来求得：
第一步，从4个不同元素中取出2个元素作组合，共有个。
第二步，对每一个组合中的2个不同元素作全排列，各有个。
根据分步计数原理，得
因此
通常，从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步求得：
第一步，先求出从n个不同元素中取出m个元素的组合数
。
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数
。
根据分步计数原理，得
=
由此得到组合数公式：
m=1、2、3…n
例：
计算
（1）
（2）
例：
平面内有12个点，任何3个点不在同一直线上，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形？
解：
因为12个点中任何3个点都不在同一直线上，所以任取3个点都可以画出一个三角形。
因此所求三角形的个数，就是从12个不同的元素中取出3个元素的组合数，也就是一共可画
二、组合数的性质
性质1
性质2
例：
计算：
（1）
（2）
（3）
§4—5概率
一、概率的概念
下面的事一定会出现吗？
（1）在标准大气压下，纯水加热到100℃，沸腾。
（2）抛一块石头，落回地面。
（3）没有空气和水，种子发芽。
（4）某人射击一次，中靶。
（5）抛掷一枚均匀硬币，正面朝上。
从上面的各事件中可以看到，事件
（1）
（2）必然会发生；（3）不可能发生；而（4）（5）可能发生，也可能不发生。
根据上面的分析，我们把所有事件分成三类。
在一定条件下必然会发生的事件，叫做必然事件。
在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
上述事件中，
（1）
（2）是必然事件，（3）是不可能事件，（4）（5）是随机事件。
随机事件简称为事件，通常用字母A、B、C等表示。
在实际生活中，我们会经常碰到随机事件。
比如，经检验认定某件产品不合格，某地5月1日下雨等。
将事件的条件实现一次，称为一次试验。
随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，具有偶然性。
但是在大量重复试验的情况下，它的发生又呈现出一定的规律性。
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示。
抛掷硬币试验结果表
抛掷次数（n）
正面向上次数（频数m）
频率（m/n）
2048
4040
12000
24000
30000
72088
1061
2048
6019
12012
14984
36142
0.5181
0.5069
0.5016
0.5005
0.4996
0.5011
我们看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5。
一般地，大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m/n总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
由于随机事件A在n次试验中发生了m次，即
0≤m≤n
则0≤m/n≤1
于是可得0≤P（A）≤1
很明显，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是为0。
二、随机事件的概率
从上文知道，随机事件的概率一般可以通过大量重复试验求得其近似值。
但对于某些随机事件，可以不通过重复试验，只要通过对一次试验中可能发生的结果进行分析，就可计算出它的概率。
例如，掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果有两上：
“正面朝上”和“反面朝上”。
由于硬币是均匀的，可以认为出现这两种结果的可能性是相等的，即可以认为出现“正面朝上”的概率是1/2，出现“反面朝上”的概率也是1/2。
显然，这与大量重复试验所得到的结果是一致。
又如，抛掷一个骰子，它落地时向上的数可能是情形“1”“2”“3”“4”“5”“6”之一，即可能出现的结果有6种。
由于骰子是均匀的，可以认为这6种结果出现的可能性都相等，即出现每一种结果的概率都是1/6。
这种分析与大量重复试验的结果也是一致的。
现在进一步问：
事件A={骰子落地时向上的数是奇数}的概率是多少？
由于事件A包含1、3、5这3个结果，所以有P（A）=3/6=1/2。
我们对上面的问题归纳如下：
一次试验可能发生的每一个结果称为一个基本事件。
设一次试验中总共有个基本事件，且每一个基本事件发生的可能性都相等（简称等可能）。
若试验中的某一事件A由m个（m≤n）基本事件组成，则事件A的概率
在随机试验中，确定事件A的概率时，只需求出基本事件的总数n以及事件A所含的基本事件的个数m。
例：
从编号分别为1、2、3…10的大小相同的10个球中任取1球，求取到的球是公里数号的概率。
解：
从10个球中任取1球的基本事件总数，就是从10个元素中任取1个的组合数，即
由于球的大小相同，且抽取是任意的，这些结果出现的可能都相等。
设事件A={取得偶数号球}，则A包含的基本事件个数
所以P（A）=5/10=0.5
例：
在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，计算：
（1）2件都是合格品的概率。
（2）1件是合格品，1件是次品的概率。
解：
从100件产品中任取2件的基本事件总数是
（1）设A={2件都是合格品}，因为在100件产品中有95件合格品，所以选取2件合格品的基本事件数是
因此，有P（A）=4465/4950=0.9020
（2）设B={1件是合格品，1件是次品}，则B包含的基本事件数是
因此，有P（B）=475/4950=0.0960
三、互斥事件与加法公式
在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个白球，1个黄球，从中任取1球。
记A={取得的1个球是红球}，B={取得的1个球是白球}，C={取得的1个球是黄球}，事件A、B、C会同时发生吗？
如果从盒中摸出的1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出的1个球是白球，即事件B发生，那么事件A就不发生。
这就是说，事件A与B不可能同时发生。
同样，事件B与C、A与C也不可能同时发生。
在一次试验中这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或互不相容事件）。
显然，事件A与B、B与C、A与C都是互斥事件。
对于上面的事件A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，这时我们说事件A、B、C彼此互斥。
像这样，如果n个事件中的任何两个都是互斥事件，那么就说这n个事件彼此互斥。
在上述问题中，我们把“从盒中摸出1个球，得到的不是红球”记作
。
由于事件A与
不可能同时发生，它们是互斥事件。
又由于摸出的1个球要么是红球，要么不是红球，事件A与
中必有一个发生。
像这样，两个互斥事件中必有一个发生，则这两个事件叫做对立事件。
事件A的对立事件通常记作
。
如果把“从盒中摸出1个球，得到红球或白球”看作一个事件，当措出的是红球或白球时，这个事件就发生。
我们把这个事件记作A+B。
因为从盒中摸出1个球有10种等可能的方法。
而得到红球或白球的方法有7+2种，所以
P（A+B）=（7+2）/10
另一方面，P（A）=7/10，P（B）=2/10。
因此，我们得到P（A+B）=P（A）+P（B）。
一般地，如果事件A、B互斥，则
P（A+B）=P（A）+P（B）
推广以上结论：
如果n（n≥2）个事件A1、A2…An互斥，则有
P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）
这一公式称为加法公式。
根据对立事件的意义，A+
是一个必然事件，它的概率等于1，又由于A与
互斥，则P（A）+P（
）=P（A+
）=1，因此
P（
）=1—P（A）
例：
一批产品共有100件，其中90件是合格品，10件是次品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率。
解法1：
设A={有次品}，Ai={有i件次品}（i=1、2、3）。
故A=A1+A2+A3，并且A1、A2、A3两两互斥。
因为
则P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.273
解法2：
由于事件A的逆事件
={取出的3件产品全是合格品}，又因为
，所以
P（
）=1—P（A）=1—0.72653=0.273
四、相互独立事件与乘法公式
甲盒中有3个白球、2个黑球；乙盒中有2个白球、2个黑球。
从这两个盒子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
规定：
A={从甲盒中摸出1个球是白球}，B={从乙盒中摸出1个球是白球}。
很容易算出，A的概率为2/5和B的概率为1/2。
很明显，事件A是否发生，不会影响事件B发生的概率；同样，事件B是否发生，也不会影响事件A发生的概率。
也就是说，事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
如果A与B为相互独立事件，那么事件A与
，
与B、
与
都是相互独立事件。
“从两个盒子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件，它的发生就是事件A、B同时发生，记作AB。
从甲盒中摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙盒中摸出1个球，有4种等可能的结果。
因此从两个盒子里各摸出1个球，共有5×4种等可能的结果，其中同时摸出白球的结果有3×2种。
所以
P（AB）=（3×2）/（5×4）=3/10
另一方面，P（A）=3/5，P（B）=2/4。
因此，我们得到P（AB）=P（A）（B）。
一般地，如果事件A、B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
即，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
推广以上结论可得
如果n（n≥2）个事件A1、A2…An相互独立，则有
P（A1A2…An）=P（A1）P（A2）…P（An）
这一公式称为乘法公式。
例：
甲、乙两人同时向同一个目标射击，甲击中目标的概率是0.9，乙击中目标的概率是0.8，求两人都击中目标的概率。
解：
设A={甲击中}，B={乙击中}，因为事件A、B相互独立，所以
P（AB）=P（A）P（B）=0.9×0.8=0.72
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