高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 213 第2课时.docx

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高中数学新学案同步必修2苏教版第2章平面解析几何初步213第2课时

第2课时　两条直线的垂直

学习目标　1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两条直线垂直.3.会利用两直线垂直求参数及直线方程．

知识点　两条直线垂直的判断

图示

对应

关系

l1⊥l2（两直线斜率都存在）⇔k1k2＝－1

l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2

1．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．

（　×　）

2．如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.（　×　）

类型一　两条直线垂直关系的判定

例1　判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：

（1）l1经过点A（－1，－2），B（1,2），l2经过点M（－2，－1），N（2,1）；

（2）l1的斜率为－10，l2经过点A（10,2），B（20,3）；

（3）l1经过点A（3,4），B（3,100），l2经过点M（－10,40），N（10,40）．

解　

（1）直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．

（2）直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.

（3）l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．

直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴．

故l1⊥l2.

反思与感悟　判断两直线垂直的步骤

方法一

方法二　若两条直线的方程均为一般式：

l1：

A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不全为0），l2：

A2x＋B2y＋C2＝0（A2，B2不全为0）．则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

跟踪训练1　下列各组中直线l1与l2垂直是________．（填序号）

①l1：

2x－3y＋4＝0和l2：

3x＋2y＋4＝0；

②l1：

2x－3y＋4＝0和l2：

3y－2x＋4＝0；

③l1：

2x－3y＋4＝0和l2：

－4x＋6y－8＝0；

④l1：

（－a－1）x＋y＝5和l2：

2x＋（2a＋2）y＋4＝0.

答案　①④

解析　①由题知，≠，∴l1与l2不平行．

又2×3＋（－3）×2＝0，∴l1⊥l2.

②由题知，＝≠，∴l1∥l2.

③由题知，＝＝＝－，∴l1与l2重合．

④由题知，当a＝－1时，l1：

y＝5，l2：

x＋2＝0，

∴l1⊥l2.

当a≠－1时，＝不成立，

故l1与l2不平行．

又（－a－1）×2＋（2a＋2）×1＝0，

∴l1⊥l2.综上，l1⊥l2.

类型二　由两直线垂直求参数或直线方程

例2　三条直线3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值．

解　①当直线3x＋2y＋6＝0与直线2x－3m2y＋18＝0垂直时，有6－6m2＝0，∴m＝1或m＝－1.

当m＝1时，直线2mx－3y＋12＝0也与直线3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能构成三角形，故m＝1应舍去．

∴m＝－1.

②当直线3x＋2y＋6＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有6m－6＝0，得m＝1（舍）．

③当直线2x－3m2y＋18＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有4m＋9m2＝0，

∴m＝0或m＝－.经检验，这两种情形均满足题意．

综上所述，所求的结果为m＝－1或0或－.

反思与感悟　此类问题常依据两直线垂直的条件列关于参数的方程或方程组求解．

跟踪训练2　已知直线l1经过点A（3，a），B（a－2，－3），直线l2经过点C（2,3），D（－1，a－2），如果l1⊥l2，则a的值为________．

答案　5或－6

解析　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.

∵直线l2经过点C（2,3），D（－1，a－2），且2≠－1，

∴l2的斜率存在．

当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．当k2≠0时，即a≠5，

由k1k2＝－1，得·＝－1，

解得a＝－6.

综上可知，a的值为5或－6.

例3　求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的三角形AOB周长为10的直线方程．

解　设所求直线方程为3x＋4y＋b＝0.

令x＝0，得y＝－，即A；

令y＝0，得x＝－，即B.

又∵三角形周长为10，

即OA＋OB＋AB＝10，

∴＋＋＝10，

解得b＝±10，

故所求直线方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.

反思与感悟　

（1）若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y＝kx＋b垂直，则可设直线l的方程为y＝－x＋m（k≠0），然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程．

（2）若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）垂直，则可设l的方程为Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程．

跟踪训练3　已知点A（2,2）和直线l：

3x＋4y－20＝0，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程．

解　方法一　因为klk1＝－1，所以k1＝，

故直线l1的方程为y－2＝（x－2），

即4x－3y－2＝0.

方法二　设所求直线l1的方程为4x－3y＋m＝0.

因为l1经过点A（2,2），所以4×2－3×2＋m＝0，

解得m＝－2.故l1的方程为4x－3y－2＝0.

类型三　垂直与平行的综合应用

例4　已知四边形ABCD的顶点B（6，－1），C（5,2），D（1,2）．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．

解　①若∠A＝∠D＝90°，如图

（1），由已知AB∥DC，

AD⊥AB，而kCD＝0，故A（1，－1）．

②若∠A＝∠B＝90°，如图

（2）．

设A（a，b），则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝.

由AD∥BC⇒kAD＝kBC，即＝－3；①

由AB⊥BC⇒kAB·kBC＝－1，

即·（－3）＝－1.②

解①②得

故A.

综上，A点坐标为（1，－1）或.

反思与感悟　有关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是根据已知条件列方程（组）求解．如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解．

跟踪训练4　已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（1,0），C（3,2），求第四个顶点D的坐标．

解　设第四个顶点D的坐标为（x，y），

因为AD⊥CD，AD∥BC，

所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.

所以

解得

所以第四个顶点D的坐标为（2,3）.

1．下列直线中，与直线l：

y＝3x＋1垂直的是________．（填序号）

①y＝－3x＋1;②y＝3x－1；

③y＝x－1;④y＝－x－1.

答案　④

2．已知A（1,2），B（m,1），直线AB与直线y＝0垂直，则m的值为________．

答案　1

解析　直线AB与x轴垂直，则点A，B横坐标相同，

即m＝1.

3．直线l1，l2的斜率分别是方程x2－3x－1＝0的两个根，则l1与l2的位置关系是________．

答案　垂直

解析　设l1，l2的斜率分别为k1，k2由根与系数的关系可得k1k2＝－1，所以l1⊥l2.

4．直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直，则a＝________.

答案　1

解析　由题意知1×1＋1×（－a）＝0，得a＝1.

5．过点（3，－1）与直线3x＋4y－12＝0垂直的直线方程为__________．

答案　4x－3y－15＝0

解析　直线3x＋4y－12＝0的斜率为－，则与该直线垂直的直线的斜率为.

∴所求直线方程为y＋1＝（x－3）．

即4x－3y－15＝0.

1．两条直线垂直与斜率的关系

图形表示

对应关系

l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1

l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2

2.l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

3．与l：

Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋C1＝0.

一、填空题

1．已知平面内有A（5，－1），B（1,1），C（2,3）三点，则下列说法正确的是________．（填序号）

①△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°；

②△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°；

③△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°；

④△ABC不是直角三角形．

答案　②

解析　∵kAB＝＝－，kBC＝＝2，

∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°.

2．已知两条直线y＝ax－2和y＝（a＋2）x＋1互相垂直，则a＝________.

答案　－1

解析　由题意得a（a＋2）＝－1，解得a＝－1.

3．已知点A（0,1），B（a,0），C（3,2），直线l经过B，C两点，且l垂直于AB，则a的值为________．

答案　1或2

解析　由题意知AB⊥BC，则×＝－1，

解得a＝1或2.

4．已知直线l1：

y＝x，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为________．

答案　135°

解析　因为直线y＝x的斜率k1＝1，所以若直线l2⊥l1，则直线l2的斜率k＝－1.所以直线l2的倾斜角为135°.

5．已知直线l1的斜率k1＝3，若直线l2过点（0,5），且l1⊥l2，则直线l2的方程是________．

答案　x＋3y－15＝0

解析　∵k1＝3，l1⊥l2，∴l2的斜率为－.

又直线l2过点（0,5），

∴l2的方程是y＝－x＋5，

即x＋3y－15＝0.

6．过原点作直线l的垂线，若垂足为（－2,3），则直线l的方程是__________________．

答案　2x－3y＋13＝0

解析　设垂足为A，则kOA＝＝－，

由题意可知kl＝－＝，

所以直线l的方程是y－3＝（x＋2）．

整理得2x－3y＋13＝0.

7．已知直线l上两点A，B的坐标分别为（3,5），（a,2），且直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则a的值为________．

答案　

解析　因为直线3x＋4y－5＝0的斜率为－，故直线l的斜率为.由直线的斜率计算公式，可得＝，解得a＝.

8．顺次连结A（－4,3），B（2,5），C（6,3），D（－3,0）四点所组成的图形是____________．

答案　直角梯形

解析　kAB＝＝，kBC＝＝－，

kCD＝＝，kAD＝＝－3，

∵kAB＝kCD，kAD≠kBC，kAD·kAB＝－1，kAD·kCD＝－1.

∴四边形ABCD为直角梯形．

9．与直线3x＋4y－7＝0垂直，并且在x轴上的截距为－2的直线方程是______________．

答案　4x－3y＋8＝0

解析　设所求直线方程为4x－3y＋C＝0，将（－2,0）代入得C＝8，故方程为4x－3y＋8＝0.

10．将直线l：

x－y＋1＝0绕点A（2,3）逆时针旋转90°，得到的直线l1的方程是____________．

答案　x＋y－5＝0

解析　根据题意知，直线l1与直线l垂直，而直线l：

x－y＋1＝0的斜率为1，所以直线l1的斜率为－1.又直线l1也过点A（2,3），故直线l1的方程是y－3＝－1×（x－2），即x＋y－5＝0.

11．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A（3,2）和B（a，－1），且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x＋by＋1＝0，且直线l2与直线l1平行，则a＋b＝______.

答案　－2

解析　由直线l的倾斜角得l的斜率为－1，

∵直线l与l1垂直，

∴l1的斜率为1.

由直线l1经过点A（3,2）和B（a，－1），

得l1的斜率为.

故＝1，解得a＝0.

又直线l2的斜率为－，l1