最新版高考理科数学《数列》题型归纳与训练.docx

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最新版高考理科数学《数列》题型归纳与训练

高考理科数学《数列》题型归纳与训练

【题型归纳】

等差数列、等比数列的基本运算

题组一等差数列基本量的计算

例1设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn＋2−Sn=36，则n=

A．5B．6

C．7D．8

【答案】D

【解析】解法一：

由题知，Sn＋2=（n＋2）2，由Sn＋2−Sn=36得，（n＋2）2−n2=4n＋4=36，所以n=8.

解法二：

Sn＋2−Sn=an＋1＋an＋2=2a1＋（2n＋1）d=2＋2（2n＋1）=36，解得n=8.所以选D．

【易错点】对Sn＋2−Sn=36，解析为an＋2，发生错误。

题组二等比数列基本量的计算

例2在各项均为正数的等比数列{an}中，若，则a6的值是________．

【答案】4

【解析】设公比为q（q≠0），∵a2=1，则由得，即，解得q2=2，

∴.

【易错点】忘了条件中的正数的等比数列.

【思维点拨】

等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差（比）数列基本运算的解题思路：

（1）设基本量a1和公差d（公比q）．

（2）列、解方程组：

把条件转化为关于a1和d（q）的方程（组），然后求解，注意整体计算，以减少运算量．

等差数列、等比数列的判定与证明

题组一等差数列的判定与证明

例1设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项．

（1）证明：

数列{an}为等差数列；

（2）若bn=−n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值．

【答案】

（1）见解析；

（2）当n=2或n=3时，{an·bn}的最大项的值为6.

【解析】

（1）由已知可得2Sn=a＋an，且an>0，

当n=1时，2a1=a＋a1，解得a1=1；

当n≥2时，有2Sn−1=a＋an−1，

所以2an=2Sn−2Sn−1=a−a＋an−an−1，

所以a−a=an＋an−1，即（an＋an−1）（an−an−1）=an＋an−1，

因为an＋an−1>0，

所以an−an−1=1（n≥2）．

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．

（2）由

（1）可知an=n，

设cn=an·bn，则cn=n（−n＋5）=−n2＋5n=−2＋，

因为n∈N*，

所以当n=2或n=3时，{an·bn}的最大项的值为6.

【易错点】Sn是a和an的等差中项，无法构建一个等式去求解出an。

【思维点拨】

等差数列的判定与证明的方法：

定义法：

或是等差数列；

定义变形法：

验证是否满足；

等差中项法：

为等差数列；

通项公式法：

通项公式形如为常数为等差数列；

前n项和公式法：

为常数为等差数列．

注意：

（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；

（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．

题组二等比数列的判定与证明

例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn＋1=4an＋2.

（1）设bn=an＋1−2an，证明：

数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

【答案】

（1）见解析；

（2）an=（3n−1）·2n−2.

【解析】

（1）由a1=1及Sn＋1=4an＋2，得a1＋a2=S2=4a1＋2.

∴a2=5，

∴b1=a2−2a1=3.

又

①−②，得an＋1=4an−4an−1，

∴an＋1−2an=2（an−2an−1）．

∵bn=an＋1−2an，

∴bn=2bn−1，

故{bn}是首项b1=3，公比为2的等比数列.

（2）由

（1）知bn=an＋1−2an=3·2n−1，

∴−=，

故是首项为，公差为的等差数列．

∴=＋（n−1）·=，

故an=（3n−1）·2n−2.

【易错点】对于bn=an＋1−2an，在条件中无法构造出来，等比数列的判定与证明常用的方法不清楚.

【思维点拨】

等比数列的判定与证明常用的方法：

（1）定义法：

为常数且数列是等比数列．

（2）等比中项法：

数列是等比数列．

（3）通项公式法：

数列是等比数列．

（4）前项和公式法：

若数列的前项和，则该数列是等比数列．

其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．

注意：

（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.

等差数列、等比数列的性质

题组一等差数列性质的应用

例1若{an}是等差数列，首项a1>0，a2016＋a2017>0，a2016·a2017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是

A．2016B．2017

C．4032D．4033

【答案】C

【解析】因为a1>0，a2016＋a2017>0，a2016·a2017<0，所以d<0，a2016>0，a2017<0，

所以，，所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4032.

【易错点】等差数列的求和与等差数列的某一项有关系。

题组二等比数列性质的应用

例2已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=

A．40　　　B．60

C．32D．50

【答案】B

【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．

【易错点】，等式不会转化.

【思维点拨】

等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.

应用等差数列性质的注意点：

（1）熟练掌握等差数列性质的实质

等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.

（2）应用等差数列的性质解答问题的关键

寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若，则

，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{an}的前n项和Sn中的n为奇数时，才有Sn=na中成立.

应用等比数列性质时的注意点：

（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.

等差数列与等比数列的综合

例1已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则

A．a1d>0，dS4>0B．a1d<0，dS4<0

C．a1d>0，dS4<0D．a1d<0，dS4>0

【答案】B

【解析】由a=a3a8，得（a1＋2d）（a1＋7d）=（a1＋3d）2，整理得d（5d＋3a1）=0，又d≠0，∴a1=−d，则a1d=−d2<0，又∵S4=4a1＋6d=−d，∴dS4=−d2<0，故选B．

【易错点】对三项成等差数列的中项性质应用.

例2已知数列{an}满足：

an＋1−an=d（n∈N*），前n项和记为Sn，a1=4，S3=21.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足b1=，，求数列{bn}的通项公式．

【答案】

（1）an=3n＋1；

（2）bn=×23n＋1.

【解析】

（1）由已知数列{an}为等差数列，公差为d，则S3=3×4＋d=21，解得d=3，

所以数列{an}的通项公式为an=3n＋1.

（2）由

（1）得bn＋1−bn=23n＋1.

当n≥2时，bn=（bn−bn−1）＋（bn−1−bn−2）＋…＋（b2−b1）＋b1，

所以．

又b1=满足bn=×23n＋1，

所以∀n∈N*，bn=×23n＋1.

【易错点】累加法的联想和使用.

考点5等差数列与等比数列的创新问题

题组一等差数列与等比数列的新定义问题

例1设Sn为数列{an}的前n项和，若（n∈N*）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{cn}是首项为2、公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d=________.

【答案】4

【解析】由题意可知，数列{cn}的前n项和为，前2n项和为，所以==2＋=2＋，所以当d=4时，为非零常数．

【易错点】数列新定义型创新题.

【思维点拨】

数列新定义型创新题的一般解题思路：

（1）阅读审清“新定义”；

（2）结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识；

（3）利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论．

题组二等差数列与等比数列的文化背景问题

例2《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：

“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？

”其中“欲均容”的意思是：

使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间两节容量分别是

A．升、升B．2升、3升

C．升、升D．升、升

【答案】D

【解析】设从上而下，记第节的容量为升，故，，设公差为，则有，解得，故，，选D．

【易错点】数学文化和数学知识的结合需要学生的应用意识.

公式法求和

题组一等差数列的求和公式

例1设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17＞0，S18＜0，则，，…，中最大的项为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】因为{an}是等差数列，所以S17==17a9＞0，所以a9＞0，又S18==9（a9＋a10）＜0，所以a10＜0，即该等差数列前9项均是正数项，从第10项开始是负数项，则最大，故选C．

【易错点】等差数列的公差和求和的关系.

题组二等比数列的求和公式

例2在等比数列{an}中，a1＋an=34，a2·an−1=64，且前n项和Sn=62，则项数n等于

A．4B．5

C．6D．7

【答案】B

【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意得a2an−1=a1an=64，

又a1＋an=34，解得a1=2，an=32或a1=32，an=2.

当a1=2，an=32时，Sn====62，解得q=2.又an=a1qn−1，所以2×2n−1=2n=32，解得n=5.

同理，当a1=32，an=2时，由Sn====62，解得q=.又an=a1qn−1=32×n−1=2，所以n−1==4，即n−1=4，n=5.

综上，项数n等于5，故选B．

【易错点】等比数列中项性质的求解.

例3已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若an≠a1（当n≥2时），数列{bn}满足bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

【答案】

（1）an=n＋1或an=3；

（2）Tn=2n＋2−4.

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d.由题意得a=a1a7，即（a1＋2d）2=a1（a1＋6d），化简得d=a1或d=0.

当d=a1时，S3=3a1＋×a1=a1=9，得a1=2，d=1，

∴an=a1＋（n−1）d=2＋（n−1）=n＋1，即an=n＋1；

当d=0时，由S3=9，得a1=3，

∴a