故选A。
答案
（1）A
（2）A
解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法
（1）充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答。
（2）如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决。
变|式|训|练
1．（2018·陕西检测）已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于（ ）
A.B．2
C．3D．4
解析 由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－（＋）＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，|PD|＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2。
故选B。
答案 B
2．（2018·全国卷Ⅲ）已知向量a＝（1,2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）。
若c∥（2a＋b），则λ＝________。
解析 由题可得2a＋b＝（4,2）。
因为c∥（2a＋b），c＝（1，λ），所以4λ－2＝0，即λ＝。
答案
微考向2：
平面向量的数量积运算
【例2】
（1）（2018·全国卷Ⅱ）已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（ ）
A．4B．3
C．2D．0
（2）圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________。
（3）如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点。
若·＝1，则AB的长为______。
解析
（1）因为a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2|a|2－（－1）＝2＋1＝3。
故选B。
（2）因为＋＝2，所以O是BC的中点。
所以△ABC为直角三角形。
在△AOC中，有||＝||，所以∠B＝30°。
由定义，得向量在向量方向上的投影为||cosB＝2×＝3。
（3）解法一：
由题意可知＝＋，＝－＋。
因为·＝1，所以（＋）·＝1，即2＋·－2＝1。
①
因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||。
因此①式可化为1＋||－2＝1，解得||＝0（舍去）或||＝。
所以AB的长为。
解法二：
以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，过点D作DM⊥AB于点M。
由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝。
设|AB|＝m（m>0），则B（m,0），C，D。
因为E是CD的中点，所以E。
所以＝，＝。
由·＝1可得＋＝1，即2m2－m＝0。
所以m＝0（舍去）或m＝。
故AB的长为。
答案
（1）B
（2）3 （3）
解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法
（1）选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解。
（2）若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决。
变|式|训|练
1．平面向量a与b的夹角为45°，a＝（1,1），|b|＝2，则|3a＋b|＝（ ）
A．13＋6B．2
C.D.
解析 依题意得|a|＝，a·b＝×2×cos45°＝2，则|3a＋b|＝＝＝＝。
故选D。
答案 D
2．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF。
若·＝1，则λ的值为________。
解析 解法一：
如图，由题意可得·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2。
在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2。
解法二：
以A为原点建立直角坐标系如图，则A（0,0），B（2,0），C（1，），D（－1，），E，设F（x0，），则·＝·（x0，）＝1，则x0＋1＝1，则x0＝0，所以F为DC中点，所以DC＝2DF，即λ＝2。
答案 2
微考向3：
平面向量的最值问题
【例3】 （2018·浙江高考）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量。
若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是（ ）
A．－1B．＋1
C．2D．2－
解析 解法一：
设O为坐标原点，a＝，b＝＝（x，y），e＝（1,0），由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即（x－2）2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C（2,0）为圆心，1为半径的圆。
因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x（x>0）上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1。
故选A。
解法二：
由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝（b－e）·（b－3e）＝0。
设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图。
设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|（a－2e）＋（2e－b）|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1。
故选A。
答案 A
平面向量的最值问题的两种解法
（1）坐标法：
建立平面直角坐标系，计算有关向量的坐标，利用向量的坐标计算。
（2）几何法：
根据向量的几何意义构造图形，通过分析图形得出结论。
变|式|训|练
已知A，B，C是圆O：
x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是（1,1），则|＋＋|的最大值为（ ）
A．3B．4
C．3－1D．3＋1
解析 解法一：
因为A，B，C是圆O：
x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，所以设A（cosθ，sinθ），B（－cosθ，－sinθ），C（cosα，sinα），其中0≤θ<2π，0≤α<2π，因为M（1,1），所以＋＋＝（cosθ－1，sinθ－1）＋（－cosθ－1，－sinθ－1）＋（cosα－1，sinα－1）＝（cosα－3，sinα－3），所以|＋＋|
＝
＝
＝，当且仅当sin＝－1时，|＋＋|取得最大值，最大值为＝3＋1。
故选D。
解法二：
连接AB，因为AC⊥BC，所以AB为圆O的直径，所以＋＝2，所以|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，易知点M与圆上动点C的距离的最大值为＋1，所以||≤＋1，所以|＋＋|≤3＋1。
故选D。
答案 D
考向二复数的运算
【例4】
（1）（2018·全国卷Ⅱ）＝（ ）
A．－－iB．－＋i
C．－－iD．－＋i
（2）（2018·北京高考）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析
（1）因为＝＝＝－＋i。
故选D。
（2）＝＝＋i，其共轭复数为－i，对应的点为。
故选D。
答案
（1）D
（2）D
复数问题的解题思路
（1）以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题。
（2）若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题。
变|式|训|练
1．设i是虚数单位，若复数a＋（a∈R）是纯虚数，则a＝（ ）
A．－1B．1
C．－2D．2
解析 因为a＋＝a＋＝a－2＋i为纯虚数，所以a－2＝0，得a＝2。
故选D。
答案 D
2．复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（ ）
A．（3,3）B．（－1,3）
C．（3，－1）D．（2,4）
解析 因为z＝＝＝＝－1＋3i，所以其在复平面内对应的点的坐标为（－1,3）。
故选B。
答案 B
3．复数z满足＝i（i为虚数单位），则＝（ ）
A．1＋i B．1－iC. D.
解析 因为＝i，所以z＝（z－i）i＝zi＋1，z＝＝，＝，故选D。
答案 D
1．（考向一）（2018·河北、河南、山西联考）如图，在等边△ABC中，O为△ABC的重心，点D为BC边上靠近B点的四等分点，若＝x＋y，则x＋y＝（ ）
A.B.
C.D.
解析 设点E为BC的中点，连接AE，可知O在AE上，由＝＋＝＋＝（＋）＋（－）＝－，故x＝，y＝－，x＋y＝。
故选B。
答案 B
2．（考向一）（2018·天津高考）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1。
若点E为边CD上的动点，则·的最小值为（ ）
A．B．
C．D．3
解析 解法一：
如图，以D为原点DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（1,0），B，C（0，），令E（0，t），t∈[0，]，所以·＝（－1，t）·＝t2－t＋，因为t∈[0，]，所以当t＝－＝时，·取得最小值，（·）min＝－×＋＝。
故选A。
解法二：
令＝λ（0≤λ≤1），由已知可得DC＝，因为＝＋λ，所以＝＋＝＋＋λ，所以·＝（＋λ）·（＋＋λ）＝·＋2＋λ·＋2＝3λ2－λ＋。
当λ＝－＝时，·取得最小值。
故选A。
答案 A
3．（考向二）（2018·株洲二模）设i为虚数单位，1－i＝，则实数a＝（ ）
A．2B．1
C．0D．－1
解析 因为1－i＝，所以2＋ai＝（1－i）（1＋i）＝2，所以a＝0。
故选C。
答案 C
4．（考向二）已知复数z的共轭复数为，若（1－2i）＝5－i（i为虚数单位），则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析 依题意，设z＝a＋bi（a，b∈R），则＋＝2a＋bi，故2a＋bi＝＝1＋i，故a＝，b＝，则在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限。
故选A。
答案 A
升级会员 