专题16 圆锥曲线与方程高中数学经典错题深度剖析及针.docx
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专题16圆锥曲线与方程高中数学经典错题深度剖析及针
【标题01】双曲线的定义理解片面
【习题01】已知，，点满足，记点的轨迹为．求轨迹的方程．
【经典错解】由可知：
点的轨迹是以为焦点的双曲线，由，∴，故轨迹的方程为.
【详细正解】由可知：
点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
由，∴，故轨迹的方程为.
【习题01针对训练】设，，的周长是，求的顶点的轨迹方程.
【标题02】椭圆的几何性质没有过关把长轴短轴记错了
【习题02】已知椭圆的对称轴是坐标轴，焦点在轴上，离心率为，长轴长为12，求椭圆的方程.
【经典错解】由题得所以椭圆方程为.
【详细正解】由题得所以椭圆方程为.
【深度剖析】
（1）经典错解错在椭圆的几何性质没有过关把长轴短轴记错了.
（2）椭圆的长轴为，不是，短轴为,不是，焦距为，不是，这些基础知识不能记错.
【习题02针对训练】已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（）
A．B．C．D．
【标题03】弄错了椭圆的关系
【习题03】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为.
【经典错解】椭圆的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，
∵双曲线与椭圆有相同的焦点，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为，
【详细正解】椭圆的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，
∵双曲线与椭圆有相同的焦点，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.
【习题03针对训练】以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）
A.B.C.D.
【标题04】没有对两渐近线所成的角分类讨论
【习题04】已知双曲线两条渐近线的夹角是，则．
【经典错解】由题得双曲线的渐近线的方程为,
所以，故填.
【详细正解】由题得双曲线的渐近线的方程为
或者，所以，故填或.
【习题04针对训练】已知双曲线的右焦点到其一条渐近线距离为，则实数的值是．
【标题05】利用直线方程的斜截式解答时没有分类讨论
【习题05】已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是．
（1）求曲线的方程；
（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点，且与曲线相交于两点的直线，且，问：
是否存在上述直线使成立？
若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
【经典错解】
（1）设是曲线上任意一点，
那么点满足，化简，得．
（2）设两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在．
设的方程为，由与垂直相交于点且．得，即①
∵∴
即．
将代入方程，得
∵与有两个交点，∴，②
∴
③
将②代入③得
化简，得．∵，∴∴④
由①、④得或，
得存在两条直线满足条件，其方程为：
或．
综上，符合题意的直线有两条：
或．
【详细正解】
（1）同上；
（2）设两点的坐标分别为．
假设使成立的直线存在．
①当垂直于轴时，则为轴，点坐标为，，．
∴，∴，不合题意．
②当不垂直于轴时，设的方程为，同上略.
综上，符合题意的直线有两条：
或．
【习题05针对训练】已知椭圆：
（）过点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线．求直线是否恒过定点，若果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由.
【标题06】把代入抛物线的方程开方时漏掉了一个解
【习题06】已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则点的坐标是.
【经典错解】抛物线的焦点坐标为，设点的坐标为,由题得，所以,所以点的坐标为.
【详细正解】抛物线的焦点坐标为（2,0），设点的坐标为,由题得，所以所以，所以点的坐标为.
【深度剖析】
（1）经典错解错在把代入抛物线的方程开方时漏掉了一个解.
（2）计算时，一定要注意每一步的等价性，本题同时也可以画图观察，由对称性可知有两解.
【习题06针对训练】设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为（ ）
A．（0，±2）B．（0,2）C．（0，±4）D．（0,4）
【标题07】没有认真注意关键词“线段”导致出现双解
【习题07】连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（ ）
A.B.C.D.
【经典错解】抛物线的焦点为且，
所以直线所在的直线方程为，
与抛物线方程联立有，解得，
所以.故选．
【详细正解】上同.解得，
因为点是线段与抛物线的交点，所以点的纵坐标为，
所以．故选．
【习题07针对训练】已知双曲线（，）与直线有交点，则双曲线的离心率的范围是（）
A．B．
C．D．
【标题08】求出轨迹方程后忽略了方程的变量的范围
【习题08】已知圆:
圆：
动圆与圆外切并且与圆内切，则圆心的轨迹方程为_______.
【经典错解】设动圆P的半径为，由题得
所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆，由题得所以
所以动圆圆心的轨迹方程为.
【详细正解】设动圆P的半径为，由题得
所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆的一部分，由题得所以
所以椭圆的方程为，但是当点时，动圆不存在，此时圆变成了一个点，所以与已知矛盾.所以动圆圆心的轨迹方程为
【习题08针对训练】求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程．
【标题09】利用函数来研究最值时忽略了函数的定义域
【习题09】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为，求椭圆的方程.
【经典错解】
（1）设由，所以
设是椭圆上任意一点，则，所以
所以当时，有最大值，可得，所以
故椭圆的方程为：
【详细正解】
（1）设由，所以
设是椭圆上任意一点，则，所以
当时，当时，有最大值，可得，所以
当时，不合题意.故椭圆的方程为：
【习题09针对训练】已知为椭圆C：
的左右焦点，椭圆上的点到的最近距离为，且离心率为.
（1）椭圆的方程；
（2）若是椭圆上的动点，求的最大值和最小值.
【标题10】没有利用三角形边角关系定理检验导致出错
【习题10】已知分别是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，，则（）
.1或17.1或19.17.19
【经典错解】根据双曲线的定义，有，解得，故选.
【详细正解】根据双曲线的定义，有，解得，由于，三角形两边的和大于第三边，故不符合，舍去.故选.
【深度剖析】
（1）经典错解错在没有利用三角形边角关系定理检验导致出错.
（2）出现双解或者多解后，我们要注意检验，本题可以利用三角形两边之和大于第三边检验，也可以利用检验，因为1<2，所以舍去.
【习题10针对训练】若双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则等于.
【标题11】以为设双曲线方程为什么情况都可以避免分类讨论
【习题11】某一双曲线的焦距为12，且与双曲线有相同的渐近线，求此双曲线的标准方程.
【经典错解】设双曲线的方程为，所以，所以
【详细正解】设双曲线的方程为，所以，
当时，所以，
当时，
综上所述，双曲线的标准方程为或.
【深度剖析】
（1）经典错解错在以为设双曲线方程为什么情况都可以避免分类讨论.
（2）本题即使设成，也要分类讨论.当时，双曲线的焦点在轴上，当时，双曲线的焦点在轴上.（3）如果已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过某一个点P，设成再代点P的坐标可以避免分类讨论，因为此时满足条件的的双曲线是唯一的.所以不要以为设双曲线方程为什么情况都可以避免分类讨论，还是要看具体情况而言.
【习题11针对训练】某一双曲线的焦距为，且与双曲线有相同的渐近线，求此双曲线的标准方程.
【标题12】没有发现双曲线焦点在轴上而当作焦点在轴上解答了
【习题12】双曲线的一个焦点是，则.
【经典错解】由题得，所以所以填“2”.
【详细正解】由题得，因为双曲线的焦点在轴上，所以
所以填“—2”.
【习题12针对训练】点到抛物线的准线的距离是2，则实数.
高中数学经典错解深度剖析及针对训练
第16讲：
圆锥曲线与方程参考答案
【习题01针对训练答案】．
【习题01针对训练解析】由于点满足，知点的轨迹是以为焦点，且的椭圆（由于与不共线，故），
∴，又，∴．
故的顶点的轨迹方程为
【习题02针对训练答案】
【习题02针对训练解析】圆配方得，半径，因此，得，离心率，得，由于焦点在轴上，因此椭圆的方程是．
【习题03针对训练答案】
【习题04针对训练答案】或
【习题04针对训练解析】由题意得，因此，即实数的值是或
【习题05针对训练答案】
（1）；
（2）直线恒过定点.
【习题05针对训练解析】
（1）因为点在椭圆上，所以，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，即，
解得，所以椭圆的方程为．
（2）设，，
【习题06针对训练答案】
【习题06针对训练解析】在中，点为边的中点，故的横坐标为，因此＝＋，解得＝，故抛物线方程为，可得点坐标为（，，故点的坐标为．
【习题07针对训练答案】
【习题07针对训练解析】如图所示，双曲线的渐近线方程为，若双曲线（，）与直线有交点，应有，所以解得故选.
【习题08针对训练答案】
【习题09针对训练答案】
（1）；
（2）.
【习题09针对训练解析】
（1）由已知条件得
解得:
则∴椭圆的方程为:
（2）设E,则有:
∵,,所以
∵点在椭圆上∴
∴当时,所求最小值为.当时,所求最大值为8.
【习题10针对训练答案】18或6.
【习题10针对训练解析】
由题得，经检验，都符号题意.
故填18或6.
【习题11针对训练答案】或
【习题11针对训练解析】设双曲线的方程为，所以，
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