0902 数学错题本数列1.docx

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0902数学错题本数列1

1、已知数列{an}的前n项和sn=14n-n^2（n属于正整数），数列{bn}满足bn=an的绝对值，（n属于正整数）

（1）求当n为何正整数时bn最小，并求bn最小值

（2）求数列{bn}的前n项和

（1）Sn=14n-n^-2当n=1时，a1=S1=13

当n≥2时，an=Sn-S（n-1）=-2n+15

n=1时，上式也成立

∴an=-2n+15

∴n≤7时，an>0

n≥8时，an<0

bn=|an|=|-2n+15|

bn={-2n+15,n≤7

{2n-15,n≥8

∴n=7或n=8时，bn取得最小值1

（2）数列{bn}的前n项和为Tn

n≤7时，an>0,bn=an

Tn=Sn=14n-n^2

n≥8时，bn=-an

Tn=T7+（-a8-an）*（n-7）/2=49+（2n-14）（n-7）/2=n²-14n+98

∴Tn={14n-n^2,（n≤7）{n²-14n+98,（n≥8）

2、将等差数列36912151821……3n……

1的各项依次分组得到数列：

36+912+15+1821+24+27+30……

2这里第一项含1个数，第二项含二个数，第三项含三个数……就数列2的弟n项

第一个的通项公式为an=3n

所求通项公式bn前面共有1+2+。

。

。

。

（n-1）个项

为（n-1）n/2项

bn={An[（n-1）/2+1]+........An[（n+1）/2+1]}

=3[n（n-1）/2+1+n（n-1）/2+2+n（n-1）/2+.....+n（n+1）/2]

=3[（n（n-1）/2+n（n+1）/2+1]*n/2

=3/2*[n^2+1]n

3、三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是？

？

？

我觉得是直角三角形。

三边成等差数列，则中项边长是12，这毫无疑问。

内切圆周长是6π，所以内切圆半径为3，这也不差，三角形周长是36，解题如下：

假设长边为12+d，短边为12-d，三角形的半周长p=18，根据海伦公式

S=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]，代入数据得S=√[18*（6+d）（6-d）*6]=6√[3（36-d^2）]

由内切圆圆心将三角形分成三份，边为底，半径为高，则面积

S=0.5[12*3+3（12-d）+3（12+d）]=54，联立两个面积表达式，可求得d=3

所以三角形三边为9，12，15，即原三角形为直角三角形。

4、已知等差数列共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a下标（n+1）等于多少

奇数项之和：

a1+a3+a5+…+a（2n-1）+a（2n+1）=290

偶数项之和：

a2+a4+a6+…+a（2n-2）+a（2n）=261

用奇数项之和减去偶数项之和：

=a1+（a3-a2）+（a5-a4）+（a7-a6）+…+[a（2n+1）-a（2n）]

除了首项a1，其余每相邻的两项之差为公差d，一共有2n项，和为nd。

所以：

奇数项之和-偶数项之和

290-261=a1+nd

而a（n+1）=a1+nd=290-261=29

5、已经两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn何Tn,且Sn/Tn=7n+1/4n+27,则a11/b11等于多少？

S21=（a1+a21）*21/2

a1+a21=a1+a1+20d=2（a1+10d）=2a11

所以S21=2a11*21/2=21*a11

同理T21=21*b11

所以a11/b11=S21/T21

=（7*21+1）/（4*21+27）

=4/3

9.4下列题很好

1、若关于x的方程x2-x+a=0，和x2-x+b（a≠b）的四个跟可组成首项为1/4的等差数列，则a+b=？

若4个实根组成的等差数列为它们的顺序是怎么确定的、为什么3/4项在最后一项？

设四个数是1/4，1/4+d,1/4+2d,1/4+3d由韦达定理x^2-x+a=0x1+x2=1x^2-x+b=0

x3+x4=1=x1+x2由等差数列的性质必然是1/4和1/4+3d是一个方程的解

1/4+d和1/4+2d是另一个方程的解所以1/4+1/4+3d=1d=1/6

则1/4+3d=3/41/4+d=5/12，1/4+2d=7/12

所以由韦达定理a+b==x1*x2+x3*x4=（1/4）*（3/4）+（5/12）*（7/12）=3/16+35/144=31/72

2..1.若关于X的两方程x2-ax+1=0和x2-bx+1=0的四个根可以排成一个以2为公比的等比数列，则ab的值？

解答：

设方程x²-ax+1=0的两个根是x1,x2

方程x²-bx+1=0的两个根是x3,x4;利用韦达定理，则x1*x2=1,x3*x4=1

设等比数列是x1,x3,x4,x2则x2/x1=8又x1*x2=1

∴x2=2√2，x1=√2/4∴x3=x2*2=√2/2，x4=x2*4=√2

利用韦达定理，则a=x1+x2=2√2+√2/4=9√2/4b=x3+x4=√2/2+√2=3√2/2

∴ab=（9√2/4）*（3√2/2）=27/4

3、

4、 已知Sn=4－an－1/2^（n-2），求an与sn

由题意Sn=4-an-〔1/2^（n-2）〕

得S（n+1）=4-a（n+1）-[1/2^（n-1）]

所以S（n+1）-Sn={4-a（n+1）-[1/2^（n-1）]}-{4-an-〔1/2^（n-2）〕}=-a（n+1）-1/2^（n-1）+an+1/2^（n-2）

而S（n+1）-Sn=a（n+1）

所以a（n+1）=

-a（n+1）-1/2^（n-1）+an+1/2^（n-2）

所以a（n+1）=（1/2）an+1/2^（n-1）-1/2^n

————————

所以an=（1/2）a（n-1）+1/2^（n-2）-1/2^（n-1）

即（1/2）an=1/2^2a（n-1）+1/2^（n-1）-1/2^n

所以a（n+1）=1/2^2a（n-1）+（1/2^（n-1）-1/2^n）*2

所以a（n+1）=1/2^（n-1）a1+（1/2^（n-1）-1/2^n）*（n-1）

由因为s1=4-a1-1/2^（-1）

所以a1=1

所以a（n+1）=1/2^（n-1）+（1/2^（n-1）-1/2^n）*（n-1）

即an=1/2^（n-2）+（1/2^（n-2）-1/2^（n-1））*（n-2）

=n/（2^（n-1））

5、

6、生产最低档次（称第1档）产品每件利润为8元,如果每提高2元，同样的工时，最低档60件，而每提高一个档次，每天将减少3件产品，该厂为获得最大利润应生产第几档？

其中为什么x要减去1

设生产第x档，利润为y；因为每提高1档，利润提高2元，所以第x档的利润为8+2*（x-1）【为什么要x-1,表示第x档比第1档提高了（x-1）档】又因为每提高1档，每天减小3件，所以生产第x档每天的件数60-3*（x-1）件所以y=[8+2*（x-1）][60-3*（x-1）]=-6x^2+108x+378=-6（x-9）^2+864

所以生产第9档，利润最大是864元

7、某礼堂有18排座位，第一排有26个座位，以后每排比前一排多2个座位，求礼堂可坐几人

Sn=18x26+18x（18-1）x2/2

=468+306

=774

20140906

9、等差数列{an}的前n项和为sn已知s3=a2^2且s1,s2,s4成等差数列求an的通项公式

设数列{an}的公差为d

则S1=a1,S2=S1+a2=a1+a1+d=2a1+d，S3=S2+a3=2a1+d+a1+2d=3a1+3d，S4=S3+a4=3a1+3d+a1+3d=4a1+6d

所以由S3=（a2）²可得3a1+3d=（a1+d）²标注为①

由于S1，S2，S4成等差数列，所以2S2=S1+S4

故2（2a1+d）=a1+4a1+6d标注为②

连接上面的①②，解得a1=0，d=0，或a1=2/3，d=-1/3

所以数列{an}的通项公式为an=0，或an=2/3+（n-1）（-1/3）=（-1/3）n+1

10、已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn．

（I）若1，a1，a3成等比数列，求a1；

（II）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．

18、已知不等式1/n+1+1/n+2+1/n+3+……+1/2n＞a对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围

f（n）=1/（n+1）+1/（n+2）+……+1/2nf（n+1）-f（n）=1/（2n+1）+1/（2n+2）-1/（n+1）

=1/（2n+1）-1/（2n+2）=1/（2n+1）（2n+2）>0因此f（n）随n单调增加

故f（n）>a对于一切大于1的自然数n都成立等价于a

（2）=1/3+1/4=7/12

即a的取值范围是（-∞，7/12）

19、已知数列{an}的前n项和sn=n^2-8n,求数列{|an|}的通向公式

（1）求{an}的通项公式

（2）求{|an|}的通项公式

（3）{|an|}前n项和Sn公式

（1）

由题意：

a1=1^2-8×1=-7由条件sn=n^2-8n…①s（n-1）=（n-1）^2-8（n-1）…②

①-②得：

sn-s（n-1）=2n-9由an=sn-s（n-1）故an=2n-9，此式适用于a1

从而{an}的通项公式为2n-9

（2）

n为整数，n≤4时2n-9＜0，n≥5时2n-9＞0从而{|an|}的通项公式n≤4时，|an|=9-2n

n≥5时，|an|=2n-9；

（3）

当n≤4时各项是负数所以去掉绝对值要加个负号所以Sn=8n-n^2（n≤4）

当n≥5时，因为s4=a1+a2+a3+a4=|-7|+|-5|+|-3|+|-1|=16

故Sn=s4+[1+3+...+（2n-9）]=（1+2n-9）（n-4）/2+16=n^2-8n+32

故n≤4时，Sn=8n-n^2n≥5时，Sn=n^2-8n+32

20、在三角形ABC中，lgsinA，lgsinB，lgsinC为等差数列，且三角形内角A,B,C也是等差数列，判断三角形形状

由三角形内角A,B,C成等差数列可得A+C=2B又A+B+C=180°所以B=60°

由lgsinA+lgsinC=2lgsinB可得sinA*sinC=sinB*sinB即ac=b*b

由余弦定理得b*b=a*a+c*c-2a*c*cosB所以由以上两式结合B=60°可得

ac=a*a+c*c-ac即（a-c）*（a-c）=0所以a=c，又因为B=60°

所以△ABC是等边三角形

21、等比数列An的前n项和为20,前2n项和为60,则前3n项和为多少

sn=a1（1-q^n）/（1-q）=20s2n=a1（1-q^2n）/（1-q）=60sn/s2n=（1-q^n）/（1-q^2n）=1/3

设q^n=x（1-x）/（1-x^2）=1/3x=1（舍去）,x=2q^n=2

s3n=a1（1-q^3n）/（1-q）sn/s3n=（1-q^n）/（1-q^3n）=（1-2）/（1-2^3）=1/7

s3n=7*sn=140

22、已知f

（1）=lg（1/a）,f（n-1）=f（n）-lga^（n-1），求f（n），并用数学归纳法证明

解：

f（n-1）=f（n）-lga^（n-1）得f（n）-f（n-1）=（n-1）lga

f（n）=f

（1）+f

（2）-f

（1）+f（3）-f

（2）+……+f（n）-f（n-1）=lg（1/a）+lga+2lga+……+（n-1）lga

=lg（1/a）+n（n-1）/2lga=（n^2-n-2）/lga

22.2已知f（x）=lg（x+1）

（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数。

23、已知等比数列{an}的公比q=-1/2

（1）若a3=1/4求数列an前n项的和

（2）证明

（1）解∵q=-1/2，a3=1/4由（a1）q²=a3得：

（a1）（-1/2）²=1/4　∴（a1）=1

∴数列an前n项的和Sn=[（a1）（1-qⁿ）]/（1-q）　={1×[1-（-1/2）ⁿ]}/[1-（-1/2）]=[2-2·（-1/2）ⁿ]/3

（2）证明：

∵k∈N*　∴2[S（k+2）]-{（Sk）+[S（k+1）]}　=2[S（k+2）]-（Sk）-[S（k+1）]

　　=2{（a1）[1-q^（k+2）]}/（1-q）-{（a1）[1-（q^k）]}/（1-q）-{（a1）[1-q^（k+1）]}/（1-q）

　　=[（a1）（q^k）]/（1-q）·（2q²-1-q）①

　　∵q=-1/2∴2q²-1-q=2×（-1/2）²-1-（-1/2）=1/2-1+1/2=0　∴①式=0

　　∴2[S（k+2）]-{（Sk）+[S（k+1）]}=0∴S（k+2）、（Sk）、S（k+1），成等差数列

24、

24.2、已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2）,a1=1／2,

（1）求证：

｛1／Sn｝是等差数列。

（2）求an的表达式

an+2Sn*S（n-1）=0Sn-S（n-1）+2Sn*S（n-1）=0S（n-1）-Sn=2Sn*S（n-1）

两边除以Sn*S（n-1）S（n-1）/Sn*S（n-1）-Sn/Sn*S（n-1）=21/Sn-1/S（n-1）=2

即相减是个常数所以1/Sn是等差数列

公差d=2S1=a1=1/2所以1/Sn=1/S1+d（n-1）=2nSn=1/（2n）

所以an=Sn-S（n-1）=1/（2n）-1/2（n-1）即an=-1/（n²-n）

25、已知数列{an}中，a1=1,前n项和Sn=（n+2）/3*an。

（1）求a2,a3

（2）求{an}的通项公式

解：

S2-a1=4*a2/3-a1=a2，解得a2=3a1=3

S3-a2-a1=5*a3/3-a1-a2=a3，解得a3=6

当n>=2时：

an=Sn-S（n-1）=（n+2）/3*an-（n+1）/3*a（n-1），化简得：

an/a（n-1）=（n+1）/（n-1）;所以

an=[an/a（n-1）]*[a（n-1）/a（n-2）]*……*[a4/a3]*[a3/a2]*[a2/a1]*a1

=[（n+1）/（n-1）]*[（n）/（n-2）]*……*[5/3]*[6/3]*[3/1]*1

=[（n+1）!

/24]/[（n-1）!

/2]*6

=n（n+1）/2

综上，an=n（n+1）/2

26、已知Sn是数列An的前n项和,A1=2,根号Sn-根号S（n-1）=根号2

（1）求Sn

（2）求an

（3）bn=AnA（n+1）/4，（n属于N*），是否存在自然数n使得1/b1+1/b2+...+1/bn＞1/2成立？

若存在，请求出n的最小值；若不存在，请说明理由。

（1）由已知得｛√Sn｝是首项为√2，公差为√2的等差数列，

因此√Sn=√2*n，所以Sn=2n^2。

（2）由

（1）得an=Sn-S（n-1）=2n^2-2（n-1）^2=4n-2。

（3）由

（2）得bn=an*a（n+1）/4=（2n-1）（2n+1），

由于1/b1+1/b2+....+1/bn=1/（1*3）+1/（3*5）+.....+1/[（2n-1）（2n+1）]

=1/2*[1-1/3+1/3-1/5+....+1/（2n-1）-1/（2n+1）]=1/2*[1-1/（2n+1）]=n/（2n+1）<1/2所以，不存在满足条件的自然数n

27、