本地研发浙江省杭州市浙教版初中七年级下册数学第一章平行线的性质教师版.docx
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本地研发浙江省杭州市浙教版初中七年级下册数学第一章平行线的性质教师版
平行线的性质
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1.理解平行线的概念，掌握平行线的性质；
2.掌握平行线的公理及其推论；
3.能熟练掌握平行线的应用，掌握图象平移的性质及与平行线的关系
1．平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：
______________。
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2.平行线公理及其推论
平行公理：
经过直线外一点，____________一条直线与这条直线平行。
推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3.平行线的性质
（1）两直线平行，_________相等。
（2）两直线平行，_________相等。
（3）两直线平行，__________互补。
4.平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。
平行线间的距离_____________.
5.平行线的性质与平行线的判定的区别
判定：
角的关系平行关系
性质：
平行关系角的关系
6.图形的平移
一个图形沿某个方向移动，在移动过程中，原图形上所有的点都沿______移动______的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．
平移的性质：
（1）平移不改变图形的______和________；
（2）平移的对应点连线_____________.
【答案】1.相交或平行
2.有且只有
3.
（1）同位角
（2）内错角（3）同旁内角
4.处处相等
6.同一方向；相同
（1）形状、大小
（2）互相平行
1.平行线的概念
例题1（2013春•南安市校级月考）一条直线与另两条平行线的关系是（ ）
A．一定与两条平行线都平行
B．可能与两条平行线中的一条平行、一条相交
C．一定与两条平行线相交
D．与两条平行线都平行或都相交
练习1（2015春•兴隆县校级月考）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．重合D．平行或相交
练习2（（2012春•长沙县校级月考）两条线段平行是指（ ）
A．两条线段所在直线平行
B．两条线段都在同一直线上且方向相同
C．两条线段方向相反
D．两条线段都是水平的
2.平行线公理及其推论
例题2（2016春•沧州校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．过一点有一条直线平行于已知直线
C．和已知直线垂直的直线有且只有一条
D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
练习1（2016春•海南校级月考）下面推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥dB．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥cD．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
练习2（2016春•南宁校级月考）如图，过点A画直线L的平行线，能画（ ）
A．两条以上B．2条C．1条D．0条
练习3（2014春•北京校级月考）对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．若a∥b，a⊥c，则b⊥cD．若a⊥b，a⊥c，则b∥c
3.平行线的性质
例题3（2016春•海南校级月考）如图，∠1=62°，若m∥n，则∠2的度数为（ ）
A．118°B．28°C．62°D．38°
练习1（2016春•潮南区月考）两条平行线被第三条直线所截，则（ ）
A．一对内错角的平分线互相平行
B．一对同旁内角的平分线互相平行
C．一对对顶角的平分线互相平行
D．一对邻补角的平分线互相平行
练习2（2016秋•大庆月考）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角（ ）
A．相等B．互补
C．相等或互补D．以上结论都不对
练习3（2016春•无锡校级月考）如图，若AB∥CD，则∠α=150°，∠β=80°，则∠γ=（ ）
A．40°B．50°C．60°D．30°
4.图形的平移
例题4（2016春•云阳县校级月考）下列现象属于平移的是（ ）
①打气筒活塞的轮复运动，②电梯的上下运动，③钟摆的摆动，④转动的门，⑤汽车在一条笔直的马路上行走．
A．③B．②③C．①②④D．①②⑤
练习1（2016春•咸丰县校级月考）如图所示，△FDE经过怎样的平移可得到△ABC（ ）
A．沿射线EC的方向移动DB长B．沿射线CE的方向移动DB长
C．沿射线EC的方向移动CD长D．沿射线BD的方向移动BD长
练习2（2015春•平南县校级月考）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.平行线的应用
例题5已知：
如图，AB∥CD，求证：
∠B+∠D=∠BED。
练习1已知：
如图6，AB∥CD，求证：
∠BED=360°-（∠B+∠D）。
练习2已知：
如图7，AB∥CD，求证：
∠BED=∠D-∠B。
基础演练
1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．同旁内角相等，两条直线平行
3．如图，直线a∥b，∠1=110°，那么∠2的度数是（ ）
A．100°B．105°C．115°D．110°
4．根据所给图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．因为∠2=∠4，所以AD∥BC
B．因为∠BAD+∠D=180°，所以AD∥BC
C．因为AB∥CD，所以∠1=∠3
D．因为AD∥BC，所以∠BAD+∠B=180°
5．下列生活中的现象，属于平移的是（ ）
A．抽屉的拉开
B．汽车刮雨器的运动
C．坐在秋千上人的运动
D．投影片的文字经投影变换到屏幕
巩固提高
6．下列说法中错误的是（ ）
A．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥cB．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
C．如果a=b，b=c，那么a=cD．如果a＞b，b＞c，那么a＞c
7．如图，AB∥DE，∠ABC=60°，∠CDE=150°，则∠BCD度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
8．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修筑宽均为2米的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．则草坪的面积为（ ）平方米．
A．500B．504C．530D．534
1．下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条直线是平行线
B．在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点
C．在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．如图所示，BA∥DE，∠B=130°，∠D=140°，则∠C的度数是（ ）
A．60°B．80°C．90°D．75°
3．如图所示，下列推理及所注理由错误的是（ ）
A．∵∠1=∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
D．∵∠2=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
4．将图中的曲线沿箭头方向平移能得到的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，已知∠1=∠2，∠3=50°，则∠4的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
6．如图所示，AB丄MN，CD丄MN，∠1=b0°，求∠2的度数．
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1．下列说法正确的是（ ）
A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B．同一个平面内，两条直线不相交就重合
C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条不相交的直线叫平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．若直线a∥b，a∥c，则b∥c
D．两条直线不相交就平行
3．如图所示，a∥b，∠2是∠1的3倍，则∠2等于（ ）
A．45°B．90°C．135°D．150°
4．如图，∠1=∠2=45°，∠3=70°，则∠4=（ ）
A．70°B．110°C．45°D．135°
5．如果同一平面的两个图形通过平移，不论其起始位置如何，总能完全重合，则这两个图形是（ ）
A．两个点B．两个半径相等的圆
C．两个点或两个半径相等的圆D．两个全等的多边形
6．如图，直线a、b被c所截，a⊥l于M，b⊥l于N，∠1=66°，则∠2= ．
7．推理填空，如图
∵∠B= ；
∴AB∥CD（ ）；
∵∠DGF= ；
∴CD∥EF（ ）；
∵AB∥EF；
∴∠B+ =180°（ ）．
8．如图，已知：
AB∥DE，∠1+∠3=180°，
求证：
BC∥EF．
9．直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，
求证：
EM∥FN．
参考答案
例1.
【解答】解：
∵在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：
平行和相交，
∴如果一条直线与另两条平行线中的一条相交，则它与另一条平行线也相交，否则与平行公理相矛盾；
如果一条直线与另两条平行线中的一条平行，根据平行于同一直线的两条直线平行，则它与另一条平行线也平行．
故选D．
练习1
【解答】解：
∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，
∴b与c的位置关系是相交，
故选B．
练习2
【解答】解：
两条线段平行是指两线段所在的直线平行．
故选A．
例2
【解答】解：
A、应为两点之间线段最短，故本选项错误；
B、应为过直线外一点有且只有一条一条直线平行于已知直线，故本选项错误；
C、应为在同一平面内，和已知直线垂直的直线有且只有一条，故本选项错误；
D、在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线正确，故本选项正确．
故选D．
练习1
【解答】解：
A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；
B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行．
故选C．
练习2
【解答】解：
因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
所以如图，过点A画直线L的平行线，能画1条．
故选：
C．
练习3
【解答】解：
A．a∥b，b∥c，则a∥c，正确；
B．a⊥b，a⊥c，则b∥c，故错误；
C．a∥b，a⊥c，则b⊥c，正确；
D．a⊥b，a⊥c，则b∥c，正确；
故选B．
例3
【解答】解：
∵m∥n，
∴∠2=∠1=62°．
故选C．
练习1
【解答】解：
A、如图①：
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE，
∵EM与FN分别是∠BEF与∠CFE的角平分线，
∴∠MEF=
∠BEF，∠NFE=
∠CFE，
∴∠NFE=∠MEF，
∴EM∥FN；
故本选项正确；
B、如图②：
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵EM与FM分别是∠BEF与∠DFE的角平分线，
∴∠MEF=
∠BEF，∠MFE=
∠DFE，
∴∠MEF+∠MFE=90°，
∴∠M=90°，
∴EM⊥FM；
故本选项错误；
C、如图④：
∵∠KEA=∠BEF，EM与EN分别是∠BEF与∠AEK的角平分线，
∴∠AEN=∠BEM，
∴∠NEK+∠BEK+∠BEM=∠AEN+∠NEK+∠BEK=180°，
∴M，E，N共线；
故本选项错误；
D、如图④：
∵FM与FN分别是∠EFD与∠EFC的角平分线，
∴∠EFN=
∠EFC，∠EFM=
∠EFD，
∴∠EFN+∠EFM=
（∠EFC+∠EFD）=90°，
∴∠MFN=90°，
∴NF⊥MF；
故本选项错误．
故选A．
练习2
【解答】解：
如图所示，
∠1和∠2，∠1和∠3两对角符合条件．
根据平行线的性质，得到∠1=∠2．
结合邻补角的定义，得∠1+∠3=∠2+∠3=180°．
故选C．
练习3
【解答】解：
过点E作EF∥AB，
∵∠α=150°，
∴∠AEF=180°﹣∠α=180°﹣150°=30°．
∵∠β=80°，
∴∠CEF=∠β﹣∠AEF=80°﹣30°=50°．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠γ=∠CEF=50°．
故选B．
例4
【解答】解：
①②⑤都是平移现象；
③④是旋转．
故选D．
练习1
【解答】解：
由图中可以看出B和D是对应顶点，C和E是对应顶点，那么△FDE沿射线EC的方向移动DB长可得到△ABC，故选A．
练习2
【解答】解：
A、左图与右图的形状不同，所以A选项错误；
B、左图与右图的大小不同，所以B选项错误；
C、左图通过翻折得到右图，所以C选项错误；
D、左图通过平移可得到右图，所以D选项正确．
故选D．
例5
【答案】证明：
过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。
练习1
【答案】证明：
过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。
∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。
练习2
【答案】证明：
过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BED=∠FED-∠FEB，
∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。
1.
【解答】解：
在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行和相交．
故选C．
2.
【解答】解：
由平行线的性质及判定可知A、D错误，
由平行线的公理及推论可知B错误C正确．
故选C．
3.
【解答】解：
∵a∥b，
∴∠1=∠2，
而∠1=110°，
∴∠2=110°．
故选D．
4.
【解答】解：
A、因为∠2=∠4，所以AB∥CD，故此选项错误；
B、因为∠BAD+∠D=180°，所以AB∥CD，故此选项错误；
C、因为AB∥CD，所以∠2=∠4，故此选项错误；
D、因为AD∥BC，所以∠BAD+∠B=180°，故此选项正确；
故选：
D．
5.
【解答】解：
A、抽屉的拉开沿直线运动，符合平移的定义，属于平移；
B、汽车刮雨器是旋转运动，不属于平移；
C、坐在秋千上人的运动不是沿直线运动，不符合平移的定义，不属于平移；
D、投影片的文字经投影变换到屏幕，大小发生了变化，不符合平移的定义，不属于平移．
故选A．
6.
【解答】解：
A、∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，故本选项错误，符合题意；
B、符合平行公理，故本选项正确，不符合题意；
C、属等量代换，故本选项正确，不符合题意；
D、符合不等式的性质，故本选项正确，不符合题意．
故选A．
7.
【解答】解：
反向延长DE交BC于M，
∵AB∥DE，
∴∠BMD=∠ABC=60°，
∴∠CMD=180°﹣∠BMD=120°；
又∵∠CDE=∠CMD+∠BCD，
∴∠BCD=∠CDE﹣∠CMD=150°﹣120°=30°．
故选D．
8.
【解答】解：
把路平移到边上，得
矩形的长是28米，宽是18米，
矩形的面积是28×18=504（平方米），
故选：
B
1.
【解答】解：
A、不相交的两条直线是平行线，错误，应强调在同一平面内．
B、在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点，错误，在同一平面内，两条平行的直线没有交点．
C、正确．
D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
故选C．
2.
【解答】解：
过点C作CF∥AB∥DE，
∵CF∥AB∥DE，
∴∠BCF=180°﹣∠B=50°，∠DCF=180°﹣∠D=40°．
∴∠C=∠BCF+∠DCF=90°．
故选C．
3.
【解答】解：
A、由∠1=∠3能推出AB∥CD，故本选项错误；
B、由AB∥CD能推出∠1=∠3，故本选项错误；
C、由AD∥BC能推出∠2=∠4，故本选项错误；
D、由∠2=∠4不能推出AB∥CD，故本选项正确；
故选D．
4.
【解答】解：
A、图形的形状发生了变化，不符合平移的性质，故此选项错误；
B、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项正确；
C、图形由轴对称得到，不属于平移得到，故此选项错误；
D、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误．
故选：
B．
5.
【解答】解：
∵∠5=∠2（对顶角相等），∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∴a∥b，
∴∠3=∠4，
∵∠3=50°，
∴∠4=50°．
故选D．
6.
【解答】解：
∵AB丄MN，CD丄MN，
∴∠5=∠6，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠4，
∵∠1=60°，
∴∠4=60°，
∴∠2=180°﹣60°=120°．
1.
【解答】解：
A、应该是不相交的两条直线，故错误；
B、还有平行的情况，故错误；
C、正确；
D、应该是在同一平面内，故错误．
故选C．
2.
【解答】解：
A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；
B、一条直线的平行线有无数条，故本选项错误；
C、若直线a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行公理的推论，故本选项正确；
D、在同一平面内两条直线不相交就平行，故本选项错误．
故选C．
3.
【解答】解：
如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3，
而∠2是∠1的3倍，
∴∠2是∠3的3倍，
而∠2+∠3=180°，
∴4∠3=180°，
∴∠3=45°，
∴∠2=135°．
故选C．
4.
【解答】解：
∵∠1与∠5是对顶角，
∴∠1=∠2=∠5=45°，
∴a∥b，
∴∠3+∠4=180°，
∵∠3=70°，
∴∠4=110°．
故选B．
5.
【解答】解：
A、答案不全，错误；
B、答案不全，错误；
C、正确；
D、如果这两个全等的多边形关于某直线对称，那么它们不能通过平移重合，必须翻折，错误．
故选C．
6.
【解答】解：
∵a⊥l于M，b⊥l于N，
∴a∥b，
∵∠1=66°，
∴∠3=∠1=66°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣66°=114°．
7.
【解答】解：
∵∠B=∠BGD；
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
∵∠DGF=∠F；
∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）；
∵AB∥EF；
∴∠B+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
8.
【解答】证明：
∵AB∥DE，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴BC∥EF．
9.
【解答】证明：
∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，
∴∠BEF=2∠MEF，∠DFH=2∠NFH，
∵∠BEF=∠DFH，
∴∠MEF=∠NFH，
∴EM∥FN．
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