五年级其他题型列方程解应用题李小龙.docx
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五年级其他题型列方程解应用题李小龙
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：
年级：
小五课时数：
3
学员姓名：
辅导科目：
数学学科教师：
授课
类型
T（列方程解应用题一般步骤）
C（专题方法主题）
T（学法与能力主题）
授课日期时段
教学内容
-------列方程解应用题的一般步骤
【趣味导入】如图，天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问该从A盘内拿出多少盐到B盘内，才能使两者所盛盐的质量相等？
【分析】方法：
列方程
关键：
设未知数、找等量关系
（1）设应从A盘拿出xg放到B盘
（2）分析数量
盘A
盘B
原有盐（g）
51
45
现有盐（g）
51-x
45+x
【解答】解：
设应从A盘拿出xg放到B盘内
则根据题意得51-x=45+x
解方程得x=3
经检验符合题意
答：
应从A盘拿出3g放到B盘
一、同步知识梳理
知识点1：
列方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
分析题意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的数量关系；
（2）设未知数：
未知数有直接与间接两种，恰当的设未知数有利于布列方程和解方程，以直接设未知数居多；
（3）根据已知条件找出等量关系列方程；
（4）解方程或；（5）检验并写出答案．
知识点2：
工程问题中涉及到的基本量及基本量之间的关系式
工程问题的基本量有：
工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：
①工作量=工作效率×工作时间；
②工作时间=工作量÷工作效率；
③工作效率=工作量÷工作时间。
知识点3：
数字问题
数字问题是常见的数学问题。
这种列方程解应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：
两位数
=10a+b；三位数
=100a+10b+c。
在求解数字问题时要注意整体设未知数思想的运用。
知识点4：
年龄问题
1、两个人的年龄随着岁月的变化而同时变化；
2、两个人的年龄差不变 ；
3、两个人的年龄倍数关系随着年龄的增加而减少。
知识点5：
盈亏问题
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。
如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。
凡是研究盈和亏这一类的应用题就叫盈亏问题。
盈亏问题的知识背景：
盈亏的问题曾记载在我国古代数学名著《九章算术》中的第六章--------“盈不足章”中，盈，就是有余；亏，就是不足的意思。
典型的盈亏问题一般以下列的形式表述：
把若干个苹果（未知数）分给若干个人（未知数），如果每人分2个还多20个，如果每人分3个则少5个。
问总共有多少人？
有多少个苹果？
题目中的不变量是人数和苹果数，比较两种不同的分配方法，可知苹果相差：
20+5=25（个）；相差25个苹果，亳无疑问是由于每人相差苹果3-2=1（个）而做成的，
事实上，只有唯一一种情况才会导至上述情形，那就是有25人分苹果！
求得人数后，进而可以根据题意，用两种方法求得苹果的数目：
2×25+20=70（个）或3×25－5=70（个）。
二、同步题型分析
题型1：
工程问题
例1：
少先队员参加植树活动，第一小队平均每小时植树22棵，植了48棵后第二小队才开始植。
两个小队6小时后植树的棵数相等。
第二小队平均每小时植树多少棵？
【分析】方法：
列方程
关键：
设未知数、找等量关系
涉及到的关系式为：
工作量=工作效率×工作时间；
【解答】解：
设第二小队平均每小时植树x棵.
则根据题意得6x=22×6+48
解方程得x=30
经检验符合题意
答：
第二小队平均每小时植树30棵.
例2：
工程队运一些黄沙，上午运12车，下午运27车。
上午比下午少运67.5吨。
上午和下午各运几吨？
【分析】方法：
列方程
关键：
设未知数、找等量关系，运用到间接假设的方法。
【解答】解：
设每车装黄沙x吨.
则根据题意得27x-12x=67.5
解方程得x=4.5
经检验符合题意
则12x=12×4.5=54（吨）27x=27×4.5=121.5（吨）
答：
上午运54吨，下午运121.5吨。
例3：
机床厂原计划每天制造机床40台，实际每天制造50台，结果16天就完成了任务。
机床厂实际比原计划提前几天完成任务？
【分析】方法：
列方程
关键：
设未知数、找等量关系，涉及到的公式为：
工作量=工作效率×工作时间
【解答】解：
设机床厂实际比原计划提前x天完成任务.
则根据题意得40×（16+x）=50×16
解方程得x=4
经检验符合题意
答：
机床厂实际比原计划提前4天完成任务。
题型2：
数字问题
例1：
一个小数，小数点向右移动两位，得到的新数与原数的差为18.81，求原来的小数？
【分析】把一个小数的小数点向右移动两位，相当于把这个小数扩大100倍。
注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系。
【解答】解：
设原来的小数为x.
则根据题意得100x-x=18.81
解方程得x=0.19
经检验符合题意
答：
原来的小数为0.19。
例2：
有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若把这个两位数的十位与个位对调，所得的两位数比原数小18，求原来的两位数。
【分析】用到的知识点为：
两位数=10×十位数字+个位数字．可设原数个位数字为未知数x,原数为10（x+2）+x，对调后的两位数为10x+（x+2）,然后建立等量关系。
【解答】解：
设原数个位数字为x.
则根据题意得10（x+2）+x–[10x+（x+2）]=18
解方程得18=18
x为任意正整数都可以.
十位上的数字满足比个位大2即可比如31，,42,53,64……
答：
十位上的数字满足比个位大2即可比如31，,42,53,64……
例3：
一个三位数，三个数位上的数字和为13，百位上的数字比十位上的数少3，个位上的数字是十位上的数字的2倍，求这三位数。
【分析】解答本题的关键是设出未知数，表示三个数位上的数字．
【解答】解：
设十位上的数字为x，则个位上的数字为2x,百位上的数字为（x-3）.
则根据题意得x+2x+（x-3）=13
解方程得x=4
经检验符合题意
即可得个位数字为8，十位数字为4，百位数字为1
答：
这三位数是148。
题型3：
年龄问题
例1：
父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父子二人各几岁？
【分析】两个人的年龄随着岁月的变化而同时变化。
可以假设儿子两年前的年龄为x岁。
【解答】设设儿子两年前的年龄为x岁，则两年前父亲8x岁，今年儿子（x+2）岁，父亲（8x+2）岁.
则根据题意得（x+2）+（8x+2）=40
解方程得x=4
经检验符合题意
即可得父亲8x=8×4=32
答：
两年前父亲32岁，儿子4岁。
例2：
小兵今年13岁，小毛的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求小毛的年龄，设小毛的年龄为X岁，请你列出方程。
【分析】此题容易找出等量关系：
“小毛的年龄×3=小兵的年龄×2倍+10岁，”设小毛的年龄为x岁，由此即可列出方程解决问题．
【解答】解：
设小毛的年龄是x岁，根据题意可得方程：
3x=13×2+10，
3x=36，
x=12，
经检验符合题意
答：
小毛的年龄是12岁．
例3：
小胖问爷爷多少岁，爷爷说我像你这么大时你才2岁，你长我这么大时，我就128岁了，小胖的爷爷今年多少岁？
【分析】根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，年龄差+2=孙子现在的年龄，年龄差+爷爷现在的年龄=128，所以爷爷+孙子的年龄=130，设爷爷今年岁数为x，则孙子的岁数是130-x岁，再根据年龄差+爷爷现在的年龄=128，列出方程解决问题．
【解答】解：
设爷爷今年岁数为x，则孙子的岁数是130-x岁，根据题意可得方程：
x-（130-x）+x=128，
x-130+x+x=128，
3x=258，
x=86，
经检验符合题意
答：
爷爷今年86岁．
题型四：
盈亏问题
【例1】一个植树小组，如果每人植5棵，还剩14棵；如果每人植7棵，就缺4棵。
这个植树小组有多少人？
一共有多少棵树？
【分析】因为树苗数一定，可知本题中的等量关系：
小队人数×5+14=小队人数×7-4，据此等量关系可列方程解答．
【解答】解：
设这个植树小组有x名学生，根据题意得
5x+14=7x-4
解方程得x=9
经检验符合题意
则可得5x+14=5×9+14=59
答：
这个植树小组有9人，一共有59棵树。
【例2】小波从家去体育馆参加比赛，先以每分钟50米的速度走了4分钟，发现这样走下去要迟到3分钟；后来他改用每分钟65米的速度前进，结果提前3分钟到达。
问：
小波家和体育馆相距多少米？
【分析】设准确到达的时间为x分钟，那么以每分钟50米的速度走了x+3分钟，路程表示为50×（x+3）米，改用每分钟65米的速度走了x-3-4分钟，路程表示65×（x-3-4）+50×4米，然后根据路程相等列方程解答即可．
【解答】解：
设准确到达的时间为x分钟，根据题意得
50×（x+3）=65×（x-3-4）+50×4
解方程得x=25
经检验符合题意
则可得50×（25+3）=1400
答：
小波家和体育馆相距1400米。
【例3】猴子分桃。
如果每只猴子分5个，还剩32个；如果其中10只小侯分4个，其余的猴子分8个，就恰好分完。
问：
猴山有猴子多少只？
共有桃子多少个？
【分析】这道题是典型的盈亏问题，我们可以直接假设猴子有x只，建立等量关系即可。
【解答】解：
设猴子有x只，根据题意得
5x+32=4×10+（x-10）×8
解方程得x=24
经检验符合题意
则可得50×24+32=1232
答：
猴山有猴子24只，共有桃子1232个。
【例4】某中学买一批英文打字机，分给高中三年级各个班。
其中两个班各分6台，其余各班分3台，则多6台；如果一个班分7台，其余每个班分5台，则还差12台。
问：
学校买来多少台打字机？
分给多少个班？
【分析】这道题是典型的盈亏问题，我们可以直接假设有x个班，建立等量关系即可。
【解答】解：
设分给x个班，根据题意得
2×6+（x-2）×3+6=7+（x-1）×5-12
解方程得x=11
经检验符合题意
则可得2×6+（11-2）×3+6=45
答：
学校买来45台打字机，分给11个班。
三、课堂达标检测
1、解方程.（打*的要检验）
（1）12.6（x+4.8）÷2=63*
（2）18.5－2（x+5）＝4.2
【答案】x=5.2x=2.15
（3）
（4）46＋4x―18=9x
【答案】x=3x=5.6
2、填空题。
（1）梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，如果用S表示梯形面积，a表示上底，b表示下底，h表示高，那么梯形面积的计算公式用字母表示是（）。
（2）如果用S表示路程，v表示速度，t表示时间，根据路程＝速度×时间可知
S＝（），v＝（）,t＝（）。
（3）在含有字母的式子里，数字和字母中间的乘号可以（），但应当把（）写在（）前面。
（4）一箱苹果重25千克，a箱苹果重（）千克。
【答案】
（1）S=（a+b）×h÷2
（2）S＝vt，v＝s÷t,t＝s÷v（3）省略数字字母（4）25a
3、选择（将正确答案的序号填在括号里）
1、a2与（）相等。
（1）a×2
（2）a＋2（3）a×a
2、2x一定（）x2。
（1）大于
（2）小于（3）等于（4）不能确定
3、丁丁比昕昕小，丁丁今年a岁，昕昕今年b岁，2年后丁丁比昕昕小（）岁。
（1）2
（2）b－a（3）a－b（4）b－a＋2
4、当a=5、b=4时，ab＋3的值是（）。
（1）5＋4＋3=12
（2）54＋3=57（3）5×4＋3=23
5、甲数是a，比乙数的4倍少b，乙数是（）。
（1）a÷4－b
（2）（a－b）÷4（3）（a＋b）÷4
6.在奇数a后面的两个奇数分别是（）.
①a+1,a+2②a+1,a+3③a+2,a+4④a-2,a-4
7、用含有字母的式子表示比x的2倍少18的数，应是（）.
①18-2x②2x-18③18+2x④2x+18
8、用含有字母的式子表示：
a的2倍与b的和的2倍，是（）.
①2a+2b②2（a+2b）③2（2a+2b）④2（2a+b）
9、小明身高a厘米，小刚比小明高18厘米，小刚比小强矮12厘米，三人的平均身高是（）.
①（a+16）厘米②（a+12）厘米③（a+8）厘米④（a+10）厘米
【答案】（3）（4）
（2）（3）（3）（3）
（2）（4）
（1）
3、列方程解应用题。
（1）一个三位数，基个位上的数字相加之和为9，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字小1，求这个三位数。
【答案】432
（2）兄弟两人的年龄相差5岁，哥哥7年后的年龄是弟弟的4年前的3倍。
问兄弟两人今天各是多少岁？
【答案】弟弟12岁，哥哥17岁
（3）甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个，问乙每天生产这种零件多少个？
【答案】60个
（4）箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2个。
每次从箱子里取出7个白球和15个红球。
如果经过若干次后，箱子里还剩下3个白球和53个红球。
问：
箱子里原有的红球比白球多多少个？
【答案】106个
（5）某校有若干个学生寄宿学校，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍。
问宿舍有多少间？
住宿学生有多少人？
【答案】62间406人
----其他类型的列方程解应用题
一、专题精讲
例1：
已知三个连续奇数的和比它们相间的两个偶数的和多15，求这三个连续奇数。
【分析】三个连续的奇数的设法（2n+1）（2n+3）（2n+5）相间的两个偶数分别为（2n+2）（2n+4）
【解答】解：
设这三个连续的奇数为（2n+1）（2n+3）（2n+5），则相间的两个偶数分别为（2n+2）（2n+4）
由题意得（2n+1）+（2n+3）+（2n+5）—（2n+2）—（2n+4）=15
解得n=6
所以2n+1=132n+3=152n+5=17
答：
这三个连续的奇数为131517
【点评】此题难度稍大，关键是能否设出三个连续奇数和偶数
例2：
三年前，父亲的年龄是儿子的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，求父子今年各多少岁？
【分析一】这个问题的相等关系式三年后父亲的年龄=儿子年龄的3倍
三年前
现在
三年后
儿子
x-3
x
x+3
父亲
4（x-3）
4（x-3）+3
4（x-3）+6
【解答一】设儿子现在的年龄是x岁，则三年前为（x-3）岁，三年后为（x+3）岁,则父亲三年后的年龄为（4（x-3）+6）岁
则由题意得3（x+3）=4（x-3）+6
解得x=15
答：
父亲今年的年龄是51岁，儿子三年后的年龄是15岁
【分析一】这个问题的相等关系式三年后父亲的年龄=儿子年龄的3倍
三年前
现在
三年后
儿子
x
X+3
x+6
父亲
4x
4x+3
4x+6
【解答一】三年前儿子的年龄为X岁，那么父亲的年龄为4X岁。
三年后儿子X+6岁，父亲4X+6岁。
由题意得3（x+6）=4x+6
解得x=12
4x=48
答：
父亲今年的年龄是51岁，儿子三年后的年龄是15岁
【点评】此题属于年龄问题，难度较大，等量关系很多，但未知数的假设直接决定了方程的难易程度。
例3：
箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2个。
每次从箱子里取出7个白球和15个红球。
如果经过若干次后，箱子里还剩下3个白球和53个红球。
问：
箱子里原有的红球比白球多多少个？
【分析】本题的难度较大，有几个未知数，红球的数目、白球的数目、若干次取的次数等，未知数可以设白球表示红球，但是取的次数再设一个未知数方程就变为二元方程；故只设未知数为取的次数为n，总共取了7n个白球15n个红球又因为还剩余3白53红所以可得总共有7n+3个白球和15n+53个红球，通过红球数是白球数的3倍多2个来建立方程即可。
【解答】解：
设总共取了n次，则白球有（7n+3）个，红球有（15n+53）个
由题意得15n+53=3×（7n+3）+2
解得n=7
7n+3=52（个）15n+53=158（个）158-52=106（个）
答：
红球比白球多106个
【点评】本题难度较大，未知数的假设是这道题的关键。
例4：
回收公司搬运工搬运1000个啤酒瓶，规定运1个可得运费3角，但打碎一个，不仅不计运费，还要赔5角，如果运完后，搬运工共得搬运费260元，问搬运时，他一共打碎了多少个啤酒瓶？
【分析】本题需要注意打碎一个瓶子不但没有运费而且会赔0.5元钱，假设1000个瓶子都安全运到，那么搬运费应该是300元，现在搬运费只有260元，故一定打碎了瓶子。
【解答】设：
搬运打碎了x个啤酒瓶，则有（1000-x）个安全运到
则由题意得（1000-x）×0.3-0.5x=260
解得x=50
答：
他一共打碎了50个啤酒瓶。
【点评】本题难度较前面几题而言难度相对较小，理解题意是本题的关键。
二、专题过关
1、填空题
（1）每包书有12册，n包书有（）册
（2）一本书共a页，每天看b页，则10天看了（）页，剩下（）页
（3）甲鱼缸有金鱼b条，比乙鱼缸的条数少12条，b+12表示（），2b+12表示（）
（4）钢笔每支a元，本子每本b元，李明买了3支钢笔和5个本子，一共（）元
（5）甲每小时加工零件a个，乙每小时比甲多2个，两个人1小时加工（）个，m小时加工（）个
（6）三个连续整数之和是81，这三个整数分别是：
_______ 、_______、_______
（7）连续三个偶数之和是276，这三个数分别是：
_______、_______、_______
【解答】
（1）12n
（2）10ba-10b（3）乙鱼缸的金鱼数两鱼缸共有多少条（4）3a+5b（5）2a+2m（2a+2）（6）26、27、28（7）90、92、94
2、解方程（打※的要检验）
4.6x＋2（16－x）=45※15-2.5（x+5）=2.5
【解答】x=5;x=0
3、应用题
（1）叔叔今年的年龄是侄子的6倍，6年后，叔叔的年龄是侄子的3倍，今年两人各多少岁？
【解答】叔叔24岁；侄子4岁。
（2）有拾圆钞票和伍圆钞票共128张，其中拾圆的比伍圆的多260元，两种面额的钞票各多少张？
【解答】拾元的有60张；伍元的有68张。
（3）某校四、五年级的学生乘坐汽车去春游。
如果每车坐65人，则有15人坐不下；如果每车坐70人，恰好多出一辆车。
四、五年级去春游的学生共有多少人？
【解答】一共有1120人。
（4）一个书架有两层，上层放的书是下层的4倍，如果把上层的书搬60本到下层，则两层的书的本书相同。
原来上、下各有多少本书？
【解答】上层有160本；下层有40本。
（5）甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A地，丙从B地同时出发，相向而行，丙遇到乙后2分钟遇到甲，求A、B两地的距离是多少？
【解答】距离是3120米。
三、学法提炼
1、专题特点：
用字母表示未知数，根据题目中数量之间的相等关系，列出一个含有未知数的等式（也就是方程），再解出来。
本专题较同步专题难度稍大，不管在列方程还是在解方程都需要认真仔细，解题方法多样灵活，对学生思维能力灵活的培养和解决问题能力的提高都是很有帮助的。
2、解题方法：
（1）审清楚题意，找出已知条件与未知条件；
（2）找出应用题中数量之间的等量关系，并用x表示未知数，列出方程；（3）解方程；（4）检验，并写出答句。
3、注意事项：
（1）审清题意，找准“等量关系”：
找等量关系要抓住关键词，“比”“是”“等于”等；
（2）设未知数时要注意是直接设（问什么设什么），还是间接设（问什么不设什么，设与之有关系的量），另，设未知数时含有x或者x的式子后面要带上单位（式子要整体打括号带单位）,
（3）列出方程正确求解，判断解的正确性，即检验过程，注意正确的检验过程。
一、能力培养
1、今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。
问人数、物价各几何？
-----《九章算术》“盈不足”问题
【分析】《九章算术》是在中国数学著作中影响最大的一部。
全书分九章共２４６个应用问题，是以问题集形式出现的数学名著。
它成书于公元１世纪，内容丰富多彩，在许多方面都居于世界领先地位。
本题意思：
几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱;如每人出7钱，则少4钱，问有多少人，物品的价格是多少？
【解答】设有x人
由题意得8x-3=7x+4
解得x=7
7×8-3=53
答：
人数为7人，物价为53
2、某校附小举行了两次数学竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4人，第二次及格人数增加5人，正好是不及格人数的6倍，问参加竞赛的有多少人？
【分析】两次竞赛的总人数没有改变，当及格人数增加时，不及格人数必然减少相同的人数，所以可以以此为等量关系列方程。
由于第二次竞赛的及格人数和第一次有关系，而第一次及格人数又和不及格人数有关系，所以可以设第一次不及格人数为未知数，进而可以表达出第二次的及格人数。
解：
设第一次不及格人数为x人，则第一次及格人数为（3x+4）人，那么第二次及格人数即为
（3x+4+5）人，第二次不及格人数为（x-5）
（3x+4+5）=6（x-5）
x=134x+4=56
答：
参加竞赛的有56人。
3、如图所示，蚂蚁和蜗牛同时从A点出发，沿着各自方向绕长方形行进，蚂蚁的速度为0.5米/分，蜗牛的速度为0.3米/分。
当蚂蚁达到C点时，蜗牛到达离C点1.2米处的E店，它们各行了及分钟？
解：
设它们各行了x分钟，那么，蚂蚁行的路程是0.5x，蜗牛行的路程是0.3x米。
由题意得0.5x=0.3x+1.2
0.2x=1.2
X=0.6
答：
它们各行了0.6分钟。
二、能力点评
培养学生的综合能力，能对一些跟古代数学有关、实际的行程问题的理解能力，建立方程并求解，题目本身不是很难，但是有一定的综合性。
学法升华
一、知识收获
1、首先是审题，确定未知数。
审题，理解题意。
就是全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。
特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向、相向、增加到、增加了等，并确立未知数。
即用x表示所求的数量或有关的未知量。
在小学阶段同学们遇到的应用题并不十分复杂，一般只需要直接把要求的数量设为未知数，如：
“学校图书馆里科技书的本数比文艺书的2倍多47本，科技书有495本，文艺书有多少本？
”在这道题目中只有“文艺书的数量”不知道，所以只要设“文艺书的数量”为未知数x就可以了。
2、寻找等量关系，列出方程是关键。
“含有未知数的等式称为方程”，因而“等式”是列方程必不可少的条件。
所以寻找等量关系是解题的关键。
如上题中“科技书得本数比文艺书的2倍多47本”这是理解本题题目意思的
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