第十三讲找规律docx教师版.docx
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第十三讲找规律docx教师版
第十三讲找规律
一选择题
1.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,其中a0a1a2均为0或1,传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0+a1,h1=h0+a2.运算规则为:
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( )
A.11010B.10111C.01100D.00011
考点:
规律型:
数字的变化类。
专题:
规律型。
分析:
根据题意,只需验证是否满足h0=a0+a1,h1=h0+a2.经验证,A,C,D都符合.B中,h1=h0+a2=1+1=0,故错误.
解答:
解:
∵h1=h0+a2=1+1=0,
∴B错误
故选B.
点评:
本题是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.此题注意正确理解题意,根据要求进行计算.
2.在一列数1,2,3,4,…,200中,数字“0”出现的次数是( )
A.30个B.31个C.32个D.33个
考点:
规律型:
数字的变化类。
专题:
规律型。
分析:
根据数的表示方法可知,200中数字“0”出现的次数是11+9+11=31.
解答:
解:
∵100个数字中,只有整十的数字含有0,共11个,101~109中又有9个,110~200中又有11个.
∴11+9+11=31.
故选B.
点评:
熟悉数的表示方法:
100个数字中,只有整十的数字含有0,共11个,101~109中又有9个,110~200中又有11个.
3.把在各个面上写有同样顺序的数字1~6的五个正方体木块排成一排(如图所示),那么与数字6相对的面上写的数字是( )X-k-b-1.-c-o-m
A.2B.3C.5D.以上都不对
考点:
规律型:
数字的变化类。
分析:
首先由五个正方体木块有3个露出了4,可推出4的对面是2;
然后由1与4,5,6相邻,可得1的对面是3;
故剩下的5与6相对.
解答:
解:
五个正方体木块有3个露出了4,并且4和1,6,5,3相邻,所以4的对面是2;1与4,5,6相邻,因为4与2相对,故1与2也相邻,所以1的对面是3;剩下的5与6相对.
故选C.
点评:
本题考查正方体各个面的相对位置,锻炼了学生的看图能力和空间想象能力.
4.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:
1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造一组正方形(如下图),再分别依次从左到右取2个,3个,4个,5个正方形拼成如下长方形并记为①,②,③,④,相应长方形的周长如下表所示:
序号
①
②
③
④
周长
6
10
16
26
若按此规律继续作长方形,则序号为⑧的长方形周长是( )
A.288B.178C.28D.110
考点:
规律型:
图形的变化类。
专题:
规律型。
分析:
结合图形分析表格中图形的周长,①的周长为:
2(1+2),②的周长为:
2(2+3),③的周长为:
2(3+5),④的周长为:
2(5+8),由此可推出第n个长方形的宽为第n﹣1个长方形的长,第n个长方形的长为第n﹣1个长方形的长和宽的和.
解答:
解:
由分析可得:
第⑤个的周长为:
2(8+13),
第⑥的周长为:
2(13+21),
第⑦个的周长为:
2(21+34),
第⑧个的周长为:
2(34+55)=178,故选B.
点评:
要想得到长方形的周长规律,应先找长方形长、宽的变换规律.分析图形中的长和宽,然后结合图表中长方形的周长即可得出长方形周长的变换规律.
5.如图,△ABC中,D为BC的中点,E为AC上任意一点,BE交AD于O.某同学在研究这一问题时,发现了如下事实:
①当
=
=
时,有
=
=
;
②当
=
=
时,有
=
;
③当
=
=
时,有
=
;…;则当
=
时,
=( )
A.
B.
C.
D.
考点:
平行线分线段成比例;三角形中位线定理。
分析:
本题可有两种思考方式:
①根据题目中所给数据,寻找其中的规律,能判断出准确结果.②根据三角形中位线性质进行解答.
解答:
解:
过D点作BE的平行线交AC于F,
∵D为BC的中点,∴DF是△BCE的中位线.
∵
=
,∴
=
.
∵DF是△BCE的中位线,∴F是EC的中点,∴
=
.
∵BE∥DF,∴
=
=
.
故选C.
点评:
本题根据所给数据可寻找规律,灵活运用三角形中位线的性质对本题的理解会更加透彻.
二.填空题
6.(2010•南宁)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21…叫做三角形数,它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为a1,第二个三角形数记为a2,…,第n个三角形数记为an,计算a2﹣a1,a3﹣a2,a4﹣a3,…,由此推算,a100﹣a99= 100 ,a100= 5050 .
考点:
规律型:
数字的变化类。
专题:
规律型。
分析:
两数相减等于前面数的下标,如:
an﹣an﹣1=n.
利用(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+(a4﹣a3)+…+(an﹣an﹣1)=an﹣a1,求a100.
解答:
解:
a2﹣a1=3﹣1=2;
a3﹣a2=6﹣3=3;
a4﹣a3=10﹣6=4;
…;
an﹣an﹣1=n.
所以a100﹣a99=100.
∵(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+(a4﹣a3)+…+(an﹣an﹣1)
=2+3+4+…+n
=
﹣1=an﹣a1,
∴a100=
=5050.
点评:
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
7.(2008•烟台)表2是从表1中截取的一部分,则a= 18 .
考点:
规律型:
数字的变化类。
专题:
规律型。
分析:
分析可得:
表1中,第一行分别为1的1,2,3…的倍数;第二行分别为2的1,2,3…的倍数;第三行分别为3的1,2,3…的倍数;…;表2中,第一行为5的2倍,第三行为7的3倍;故a=6×3=18.
解答:
解:
a=6×3=18.
点评:
本题考查学生分析数据,总结、归纳数据规律的能力,关键是找出规律,要求学生要有一定的解题技巧.
8.(2007•防城港)瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据
,…中,成功地发现了其规律,从而得到了巴尔末公式,继而打开了光谱奥妙的大门.请你根据这个规律写出第9个数
.
考点:
规律型:
数字的变化类。
专题:
规律型。
分析:
分子的规律依次是:
32,42,52,62,72,82,92…,分母的规律是:
规律是:
5+7=1212+9=2121+11=3232+13=45…,即分子为(n+2)2,分母为n(n+4).
解答:
解:
由题可知规律,第9个数的分子是(9+2)2=121;
第五个的分母是:
32+13=45;第六个的分母是:
45+15=60;第七个的分母是:
60+17=77;
第八个的分母是:
77+19=96;则第九个的分母是:
96+21=117.
因而第九个数是:
.
故答案为:
.
点评:
主要考查了学生的分析、总结、归纳能力,规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析,从特殊值的规律上总结出一般性的规律.
9.(2000•江西)有一列数:
1,2,3,4,5,6,…,当按顺序从第2个数数到第6个数时,共数了 5 个数;当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时,共数了 n﹣m+1 个数.
考点:
规律型:
数字的变化类。
分析:
后一个数减前一个数还要加上1.
解答:
解:
当按顺序从第2个数数到第6个数时,共数了6﹣2+1=5个数;
当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时,共数了n﹣m+1个数.
点评:
通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.
10.我们把形如
的四位数称为“对称数”,如1991、2002等.在1000~10000之间有 90 个“对称数”.
考点:
规律型:
数字的变化类。
分析:
由对称数定义可知,在1000~10000之间,a可取值为1,2,3,4,5,6,7,8,9,9个数,b可取的值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个数,a每取一个值b对应的可取10个.
解答:
解:
由对称数定义可知,a可取值为1,2,3,4,5,6,7,8,9;
当a任取9个数中的一个时,b对应的可取0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个数;
所以在1000~10000之间的对称数共有9×10即90个.
点评:
本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.对于本题而言,关键是找到a与b的取值规律.
11.在十进制的十位数中,被9整除并且各位数字都是0或5的数有 9 个.
考点:
规律型:
数字的变化类。
分析:
被9整除的数,数字和一定是9的倍数.只能出现0或5,因此必须有9个5,0不能出现在首位,因此共有9个.
解答:
解:
只能出现0或5,因此必须有9个5,0不能出现在首位,因此共有9个.故答案为9.
点评:
解决本题的关键是得到被9整除的十位数的特点.
12.(2008•武汉)下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成:
拼搭第1个图案需4根小木棒,拼搭第2个图案需10根小木棒,…,依次规律,拼搭第8个图案需小木棒 88 根.
考点:
规律型:
图形的变化类。
专题:
规律型。
分析:
分析题意,找到规律,并进行推导得出答案.
解答:
解:
分析可得:
第1个图形中,有4根火柴;第2个图形中,有4+6=10根火柴;第3个图形中,有10+8=18根火柴;…第8个图形中,共用火柴的根数是4+6+8+10+12+14+16+18=88根.
点评:
本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力.
13.(2006•崇左)如下图所示,由一些点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)个点,每个图形总的点数是S,当n=50时,S= 147 .
考点:
规律型:
图形的变化类。
分析:
根据已知图形可以发现,前几个图形中的点数分别为:
3,6,9,12,所以可得规律为:
第n个图形中的点数为3n.
解答:
解:
根据题意分析可得:
n=2时,S=3.此后,n每增加1,S就增加3个.
故当n=50时,S=(50﹣1)×3=147.
故答案为:
147.
点评:
此题主要考查了图形的变化规律,可以培养学生的观察能力和分析、归纳能力,属于规律性题目.注意由特殊到一般的归纳方法,此题的规律为:
第n个图形中的点数为3n.
14.请你将一根细长的绳子,沿中间对折,再沿对折后的绳子中间再对折,这样连续对折5次,最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断,此时绳子将被剪成 33 段.
考点:
规律型:
图形的变化类。
分析:
此题主要考查二个内容,一是对折后的段数问题,即对折几次,段数就是2的几次方;二是剪的次数与段数问题,即剪的次数+1=段数.
解答:
解:
根据题意分析可得:
连续对折5次后,共25段即32段;故剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断,此时绳子将被剪成32+1=33段.故应填33.
点评:
本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
15.观察下列各图中小圆点的摆放规律,并按这样的规律继续摆放下去,则第5个图形中小圆点的个数为 50 .
考点:
规律型:
图形的变化类。
专题:
规律型。
分析:
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
解答:
解:
根据题意分析可得:
第1个图形中小圆点的个数为11=(1+2)2+1;
第2个图形中小圆点的个数为17=(2+2)2+1;
第3个图形中小圆点的个数为26=(3+2)2+1;
…;
第5个图形中小圆点的个数为7×7+1=50.
故第5个图形中小圆点的个数为50.
点评:
本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.
16.如图所示,黑珠、白珠共126个,穿成一串,这串珠子中最后一个珠子是 白 颜色的,这种颜色的珠子共有 32 个.
考点:
规律型:
图形的变化类。
分析:
除了第一个黑珠外,后边的黑珠和白珠有一定的规律,即是一个白珠和三个黑珠.
解答:
解:
因为这串珠总共有126个,(126﹣1)÷4=31…1,则最后一个珠子为白颜色.白颜色的珠子共有31+1=32个.
故这串珠子中最后一个珠子是白颜色的,共有32个.
点评:
关键是通过归纳与总结,得到其中的规律.
17.观察规律:
如图,PM1⊥M1M2,PM2⊥M2M3,PM3⊥M3M4,…,且PM1=M1M2=M2M3=M3M4=…=Mn﹣1Mn=1,那么PMn的长是
(n为正整数).
考点:
规律型:
图形的变化类;规律型:
数字的变化类。
专题:
规律型。
分析:
先用勾股定理可求出Rt△PM1M2,Rt△PM2M3,Rt△PM3M4等直角三角形的斜边的长,从这些数据中可发现规律,得到PMn的长是
.
解答:
解:
在Rt△PM1M2中,∵PM1=M1M2=1,∴用勾股定理有:
PM2=
=
.
在Rt△PM2M3中,∵PM2=
,M2M3=1,∴用勾股定理有:
PM3=
=
.
在Rt△PM3M4中,∵PM3=
,M3M4=1,∴用勾股定理有:
PM4=
=
=2.
按此规律可知:
PMn=
.
点评:
运用勾股定理进行计算,求出几个直角三角形斜边的长,从这几个数据中发现规律再确定PMn的长.
18.探索规律:
右边是用棋子摆成的“H”字,按这样的规律摆下去,摆成第10个“H”字需要 52 个棋子.
考点:
规律型:
图形的变化类。
专题:
规律型。
分析:
图形①用棋子的个数=2×(2×1+1)+1;
图形②用棋子的个数=2×(2×2+1)+2;
图形③用棋子的个数=2×(2×3+1)+3;
…
图形⑩用棋子的个数=2×(2×10+1)+10=52个.
故答案为:
52.
解答:
解:
观察图形可知第10个“H”字用棋子的个数=2×(2×10+1)+10=52个.
点评:
通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.本题的关键规律为各个图形中两竖行棋子的个数均为2n+1,横行棋子的个数为n.
19.现有各边长度均为1cm的小正方体若干个,按下图规律摆放,则第5个图形的表面积是 90 cm2.
考点:
规律型:
图形的变化类。
专题:
规律型。
分析:
对于找规律的题目首先应找出哪个部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
解答:
解:
根据题意可得:
每个图形的表面积为最下层正方体的表面积之和;第5个图形中,共5层;从上到下,每层正方体个数为1,3,6,10,15,共35个正方体;其表面积为15×6=90cm2.
点评:
本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.
20.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲,乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 104 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.
考点:
规律型:
图形的变化类。
分析:
由正五边形广场ABCDE的周长为2000米,可得其边长为400米;
甲、乙两人分别从A,C两点同时出发时距离是800米,
若甲、乙两人第一次行走在同一条边上时,极有可能此时距离为一条边长400米,此时时间为400÷(50﹣46)=100分.
而就在此时,甲、乙分别在CD、ED中点处,不再同一条边上,需继续前行,则甲至少还需走200米,即4分,此时甲在点D,乙在边DE上,也就是说出发后经过104分钟,甲乙两人第一次行走在同一条边上.
解答:
解:
因为正五边形广场ABCDE的周长为2000米,则其边长为400米,甲,乙两人分别从A,C两点同时出发时距离是400×2即800米,若甲、乙两人第一次行走在同一条边上时,极有可能此时距离为一条边长400米,此时时间为400÷(50﹣46)=100分.而就在此时,甲、乙分别在CD、ED中点处,不再同一条边上,需继续前行,则甲至少还需走200米,即4分,此时甲在点D,乙在边DE上,也就是说出发后经过104分钟,甲乙两人第一次行走在同一条边上.
点评:
这是一道发散性的题.注意反证思想的应用.此题属于追及问题与正五边形知识的综合应用.
三.解答题
21.(试比较20062007与20072006的大小.为了解决这个问题,写出它的一般形式,即比较nn+1和(n+1)n的大小(为正整数),从分析n=1、2、3、…这些简单问题入手,从中发现规律,经过归纳、猜想出结论:
(1)在横线上填写“<”、“>”、“=”号:
12 < 21,23 < 32,34 > 43,45 > 54,56 > 65,…
(2)从上面的结果经过归纳,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是:
当n≤ 2 时,nn+1 < (n+1)n;
当n> 2 时,nn+1 > (n+1)n;
(3)根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小:
20062007 > 20072006.
考点:
规律型:
数字的变化类。
分析:
此题中的规律为当n≤2时,nn+1<(n+1)n;当n>2时,nn+1>(n+1)n.
解答:
解:
(1)12<21,23<32,34>43,45>54,56>65,…
(2)当n≤2时,nn+1<(n+1)n;
当n>2时,nn+1>(n+1)n;
(3)20062007>20072006.
点评:
本题是一道找规律的题目,要求学生的通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于找到“<”、“>”的临界点.
22.从1开始,连续的自然数相加,它们的和的倒数情况如下表:
(1)根据表中规律,求
=
.
(2)根据表中规律,则
=
.
(3)
+
+
+
的值是
.
考点:
规律型:
数字的变化类。
分析:
根据上图的几个例子我们可以总结出规律,即根据表中规律,则
=
=
.
解答:
解:
(1)按照下表的规律,可以
=
;
(2)根据表中规律,则
=
;X-k-b-1.-c-o-m
(3)由表中几个式子我们可以得出规律,即
=
=
.所以
+
+
+
=2(
+…
)=2(
)=
;
点评:
本题属于找规律的题目,另外还需要学生对规律灵活应用.
23.从1开始,连续的奇数相加,它们和的情况如下表:
(1)如果n=11时,那么S的值为 121 ;
(2)猜想:
用n的代数式表示S的公式为S=1+3+5+7+…+2n﹣1= n2 ;
(3)根据上题的规律计算1001+1003+1005+…+2007+2009= 1523081 .
考点:
规律型:
数字的变化类。
分析:
观察图中n与对应S之间的关系可知:
当数为n时,S=1+3+5+7+…+2n﹣1,此为等差数列,a1=1,an=2n﹣1.
由等差数列前n项和的公式:
S=
就可以容易的做此题.
解答:
解:
(1)当n=11是an=2n﹣1=21
由等差数列前n项和的公式:
S=
=
=121
(2)因为a1=1,an=2n﹣1,由等差数列前n项和的公式:
S=
=
=n2所以S=1+3+5+7+…+2n﹣1=n2(3)1001+1003+1005+…+2007+2009可以化为1000×n+(1+3+5+7+…+1007+1009)
由此可知1009=2n﹣1,即n=505.所以
1001+1003+1005+…+2007+2009=1000×505+(1+3+5+7+…+1007+1009)=505000+5052=505000+255025=760025.
点评:
本题考查同学们都数字的规律性变化的总结以及前n项和公式的知识.